Theorem psrbaspropd 22375

Description: Property deduction for power series base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbaspropd.e	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
psrbaspropd	⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Proof of Theorem psrbaspropd

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
6	1, 2, 3, 4, 5	psrbas 22065	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
10	7, 8, 3, 9, 5	psrbas 22065	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
11		psrbaspropd.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
12	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
13	12	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
14	10, 13	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
15	6, 14	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
16		reldmpsr 22045	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
17	16	ovprc1 7451	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
18	16	ovprc1 7451	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑆) = ∅)
19	17, 18	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑆))
20	19	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
21	20	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
22	15, 21	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455  ∅c0 4287  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270   mPwSer cmps 22035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-psr 22040

This theorem is referenced by:  psrplusgpropd  22376  mplbaspropd  22377  psropprmul  22378