Theorem psrvscafval 21927

Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrvscafval	⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,ℎ,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   · ,𝑓,𝑥   ∙ ,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem psrvscafval

Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvsca.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrvsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrvsca.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrvsca.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrvsca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
9	1, 2, 6, 7, 8	psrbas 21912	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
11	1, 7, 3, 10	psrplusg 21915	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
13	1, 7, 4, 12, 6	psrmulr 21921	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
14		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
15		eqidd 2726	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
16		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16	psrval 21882	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
18	17	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
19		psrvsca.n	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
20	2	fvexi 6910	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
21	7	fvexi 6910	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	20, 21	mpoex 8084	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) ∈ V
23		psrvalstr 21883	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
24		vscaid 17320	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
25		snsstp2 4822	. . . . . 6 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
26		ssun2 4171	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
27	25, 26	sstri 3986	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
28	23, 24, 27	strfv 17192	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
29	22, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
30	18, 19, 29	3eqtr4g 2790	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)))
31		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ ∅ = ∅
32		fn0 6687	. . . . . 6 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
33	31, 32	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ ∅ Fn ∅
34		reldmpsr 21881	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mPwSer
35	34	ovprc 7457	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
36	1, 35	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
37	36	fveq2d 6900	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘∅))
38	24	str0 17177	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
39	37, 19, 38	3eqtr4g 2790	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = ∅)
40	34, 1, 7	elbasov 17206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
41	40	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ¬ 𝑓 ∈ 𝐵)
42	41	eq0rdv 4406	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
43	42	xpeq2d 5708	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = (𝐾 × ∅))
44		xp0 6164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 × ∅) = ∅
45	43, 44	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = ∅)
46	39, 45	fneq12d 6650	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∅ Fn ∅))
47	33, 46	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
48		fnov 7552	. . . 4 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∙ 𝑓)))
49	47, 48	sylib 217	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∙ 𝑓)))
50	41	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 ∙ 𝑓)))
51	50	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 → (𝑓 ∈ 𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 ∙ 𝑓))))
52	51	3imp 1108	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 ∙ 𝑓))
53	52	mpoeq3dva 7497	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∙ 𝑓)))
54	49, 53	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)))
55	30, 54	pm2.61i 182	1 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461   ∪ cun 3942  ∅c0 4322  {csn 4630  {ctp 4634  ⟨cop 4636   × cxp 5676  ^◡ccnv 5677   “ cima 5681   Fn wfn 6544  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ∘_f cof 7683   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  1c1 11146  ℕcn 12250  9c9 12312  ℕ₀cn0 12510  ndxcnx 17181  Basecbs 17199  +_gcplusg 17252  ._rcmulr 17253  Scalarcsca 17255   ·_𝑠 cvsca 17256  TopSetcts 17258  TopOpenctopn 17422  ∏_tcpt 17439   mPwSer cmps 21871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-tset 17271  df-psr 21876

This theorem is referenced by:  psrvsca  21928