MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscafval 21927
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n = ( ·𝑠𝑆)
psrvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m · = (.r𝑅)
psrvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrvscafval = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   · ,𝑓,𝑥   ,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑓,)   ()   · ()   𝐾()

Proof of Theorem psrvscafval
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrvsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2725 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrvsca.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
5 eqid 2725 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrvsca.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrvsca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 21912 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾m 𝐷))
10 eqid 2725 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
111, 7, 3, 10psrplusg 21915 . . . . 5 (+g𝑆) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
131, 7, 4, 12, 6psrmulr 21921 . . . . 5 (.r𝑆) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘f𝑥)))))))
14 eqid 2725 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
15 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
16 simpr 483 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16psrval 21882 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1817fveq2d 6900 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
19 psrvsca.n . . 3 = ( ·𝑠𝑆)
202fvexi 6910 . . . . 5 𝐾 ∈ V
217fvexi 6910 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2220, 21mpoex 8084 . . . 4 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) ∈ V
23 psrvalstr 21883 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
24 vscaid 17320 . . . . 5 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
25 snsstp2 4822 . . . . . 6 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
26 ssun2 4171 . . . . . 6 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2725, 26sstri 3986 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2823, 24, 27strfv 17192 . . . 4 ((𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2922, 28ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
3018, 19, 293eqtr4g 2790 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)))
31 eqid 2725 . . . . . 6 ∅ = ∅
32 fn0 6687 . . . . . 6 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3331, 32mpbir 230 . . . . 5 ∅ Fn ∅
34 reldmpsr 21881 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
3534ovprc 7457 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
361, 35eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3736fveq2d 6900 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘∅))
3824str0 17177 . . . . . . 7 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
3937, 19, 383eqtr4g 2790 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ∅)
4034, 1, 7elbasov 17206 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4140con3i 154 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ¬ 𝑓𝐵)
4241eq0rdv 4406 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
4342xpeq2d 5708 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = (𝐾 × ∅))
44 xp0 6164 . . . . . . 7 (𝐾 × ∅) = ∅
4543, 44eqtrdi 2781 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = ∅)
4639, 45fneq12d 6650 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∅ Fn ∅))
4733, 46mpbiri 257 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → Fn (𝐾 × 𝐵))
48 fnov 7552 . . . 4 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
4947, 48sylib 217 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5041pm2.21d 121 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 𝑓)))
5150a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾 → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 𝑓))))
52513imp 1108 . . . 4 ((¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑥𝐾𝑓𝐵) → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 𝑓))
5352mpoeq3dva 7497 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5449, 53eqtr4d 2768 . 2 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)))
5530, 54pm2.61i 182 1 = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  cun 3942  c0 4322  {csn 4630  {ctp 4634  cop 4636   × cxp 5676  ccnv 5677  cima 5681   Fn wfn 6544  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  f cof 7683  m cmap 8845  Fincfn 8964  1c1 11146  cn 12250  9c9 12312  0cn0 12510  ndxcnx 17181  Basecbs 17199  +gcplusg 17252  .rcmulr 17253  Scalarcsca 17255   ·𝑠 cvsca 17256  TopSetcts 17258  TopOpenctopn 17422  tcpt 17439   mPwSer cmps 21871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-tset 17271  df-psr 21876
This theorem is referenced by:  psrvsca  21928
  Copyright terms: Public domain W3C validator