MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscafval 19751
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n = ( ·𝑠𝑆)
psrvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m · = (.r𝑅)
psrvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrvscafval = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   · ,𝑓,𝑥   ,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑓,)   ()   · ()   𝐾()

Proof of Theorem psrvscafval
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrvsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2825 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrvsca.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
5 eqid 2825 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrvsca.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrvsca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 simpl 476 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 19739 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
10 eqid 2825 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
111, 7, 3, 10psrplusg 19742 . . . . 5 (+g𝑆) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12 eqid 2825 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
131, 7, 4, 12, 6psrmulr 19745 . . . . 5 (.r𝑆) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
14 eqid 2825 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
15 eqidd 2826 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
16 simpr 479 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16psrval 19723 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1817fveq2d 6437 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
19 psrvsca.n . . 3 = ( ·𝑠𝑆)
202fvexi 6447 . . . . 5 𝐾 ∈ V
217fvexi 6447 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2220, 21mpt2ex 7510 . . . 4 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V
23 psrvalstr 19724 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
24 vscaid 16375 . . . . 5 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
25 snsstp2 4566 . . . . . 6 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
26 ssun2 4004 . . . . . 6 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2725, 26sstri 3836 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2823, 24, 27strfv 16270 . . . 4 ((𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2922, 28ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
3018, 19, 293eqtr4g 2886 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)))
31 eqid 2825 . . . . . 6 ∅ = ∅
32 fn0 6244 . . . . . 6 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3331, 32mpbir 223 . . . . 5 ∅ Fn ∅
34 reldmpsr 19722 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
3534ovprc 6942 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
361, 35syl5eq 2873 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3736fveq2d 6437 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘∅))
38 df-vsca 16322 . . . . . . . 8 ·𝑠 = Slot 6
3938str0 16274 . . . . . . 7 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
4037, 19, 393eqtr4g 2886 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ∅)
4134, 1, 7elbasov 16284 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4241con3i 152 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ¬ 𝑓𝐵)
4342eq0rdv 4204 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
4443xpeq2d 5372 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = (𝐾 × ∅))
45 xp0 5793 . . . . . . 7 (𝐾 × ∅) = ∅
4644, 45syl6eq 2877 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = ∅)
4740, 46fneq12d 6216 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∅ Fn ∅))
4833, 47mpbiri 250 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → Fn (𝐾 × 𝐵))
49 fnov 7028 . . . 4 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5048, 49sylib 210 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5142pm2.21d 119 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓)))
5251a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾 → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓))))
53523imp 1143 . . . 4 ((¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑥𝐾𝑓𝐵) → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓))
5453mpt2eq3dva 6979 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5550, 54eqtr4d 2864 . 2 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)))
5630, 55pm2.61i 177 1 = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  {crab 3121  Vcvv 3414  cun 3796  c0 4144  {csn 4397  {ctp 4401  cop 4403   × cxp 5340  ccnv 5341  cima 5345   Fn wfn 6118  cfv 6123  (class class class)co 6905  cmpt2 6907  𝑓 cof 7155  𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222  1c1 10253  cn 11350  6c6 11410  9c9 11413  0cn0 11618  ndxcnx 16219  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  .rcmulr 16306  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  TopSetcts 16311  TopOpenctopn 16435  tcpt 16452   mPwSer cmps 19712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-tset 16324  df-psr 19717
This theorem is referenced by:  psrvsca  19752
  Copyright terms: Public domain W3C validator