MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscafval 21374
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
psrvsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
psrvsca.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrvsca.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
psrvsca.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrvscafval βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐡   𝑓,β„Ž,𝐼,π‘₯   𝑓,𝐾,π‘₯   𝐷,𝑓,π‘₯   𝑅,𝑓,π‘₯   Β· ,𝑓,π‘₯   βˆ™ ,𝑓,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑓,β„Ž)   βˆ™ (β„Ž)   Β· (β„Ž)   𝐾(β„Ž)

Proof of Theorem psrvscafval
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrvsca.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 psrvsca.m . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 psrvsca.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 psrvsca.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 21362 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
10 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
111, 7, 3, 10psrplusg 21365 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
131, 7, 4, 12, 6psrmulr 21368 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
14 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))
15 eqidd 2734 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
16 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16psrval 21333 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1817fveq2d 6847 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
19 psrvsca.n . . 3 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
202fvexi 6857 . . . . 5 𝐾 ∈ V
217fvexi 6857 . . . . 5 𝐡 ∈ V
2220, 21mpoex 8013 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) ∈ V
23 psrvalstr 21334 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
24 vscaid 17206 . . . . 5 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 β€˜ndx)
25 snsstp2 4778 . . . . . 6 {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩} βŠ† {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}
26 ssun2 4134 . . . . . 6 {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2725, 26sstri 3954 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2823, 24, 27strfv 17081 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2922, 28ax-mp 5 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘†)⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
3018, 19, 293eqtr4g 2798 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)))
31 eqid 2733 . . . . . 6 βˆ… = βˆ…
32 fn0 6633 . . . . . 6 (βˆ… Fn βˆ… ↔ βˆ… = βˆ…)
3331, 32mpbir 230 . . . . 5 βˆ… Fn βˆ…
34 reldmpsr 21332 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
3534ovprc 7396 . . . . . . . . 9 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
361, 35eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3736fveq2d 6847 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜βˆ…))
3824str0 17066 . . . . . . 7 βˆ… = ( ·𝑠 β€˜βˆ…)
3937, 19, 383eqtr4g 2798 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = βˆ…)
4034, 1, 7elbasov 17095 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4140con3i 154 . . . . . . . . 9 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ Β¬ 𝑓 ∈ 𝐡)
4241eq0rdv 4365 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
4342xpeq2d 5664 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐾 Γ— 𝐡) = (𝐾 Γ— βˆ…))
44 xp0 6111 . . . . . . 7 (𝐾 Γ— βˆ…) = βˆ…
4543, 44eqtrdi 2789 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐾 Γ— 𝐡) = βˆ…)
4639, 45fneq12d 6598 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ↔ βˆ… Fn βˆ…))
4733, 46mpbiri 258 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
48 fnov 7488 . . . 4 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ↔ βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ βˆ™ 𝑓)))
4947, 48sylib 217 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ βˆ™ 𝑓)))
5041pm2.21d 121 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓) = (π‘₯ βˆ™ 𝑓)))
5150a1d 25 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾 β†’ (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓) = (π‘₯ βˆ™ 𝑓))))
52513imp 1112 . . . 4 ((Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓) = (π‘₯ βˆ™ 𝑓))
5352mpoeq3dva 7435 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ βˆ™ 𝑓)))
5449, 53eqtr4d 2776 . 2 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)))
5530, 54pm2.61i 182 1 βˆ™ = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆͺ cun 3909  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {ctp 4591  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ∘f cof 7616   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  1c1 11057  β„•cn 12158  9c9 12220  β„•0cn0 12418  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  TopSetcts 17144  TopOpenctopn 17308  βˆtcpt 17325   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-tset 17157  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  psrvsca  21375
  Copyright terms: Public domain W3C validator