Theorem psrvscafval 21908

Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrvscafval	⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,ℎ,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   · ,𝑓,𝑥   ∙ ,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑓,ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem psrvscafval

Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvsca.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrvsca.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrvsca.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrvsca.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrvsca.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
9	1, 2, 6, 7, 8	psrbas 21893	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
11	1, 7, 3, 10	psrplusg 21896	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
13	1, 7, 4, 12, 6	psrmulr 21902	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
15		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16	psrval 21875	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
18	17	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
19		psrvsca.n	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
20	2	fvexi 6849	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
21	7	fvexi 6849	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
22	20, 21	mpoex 8025	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) ∈ V
23		psrvalstr 21876	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
24		vscaid 17244	. . . . 5 ⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
25		snsstp2 4774	. . . . . 6 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
26		ssun2 4132	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
27	25, 26	sstri 3944	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
28	23, 24, 27	strfv 17134	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
29	22, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r‘𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
30	18, 19, 29	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)))
31		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∅ = ∅
32		fn0 6624	. . . . . 6 ⊢ (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
33	31, 32	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ∅ Fn ∅
34		reldmpsr 21874	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mPwSer
35	34	ovprc 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
36	1, 35	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
37	36	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘∅))
38	24	str0 17120	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
39	37, 19, 38	3eqtr4g 2797	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = ∅)
40	34, 1, 7	elbasov 17147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
41	40	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ¬ 𝑓 ∈ 𝐵)
42	41	eq0rdv 4360	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
43	42	xpeq2d 5655	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = (𝐾 × ∅))
44		xp0 5725	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 × ∅) = ∅
45	43, 44	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = ∅)
46	39, 45	fneq12d 6588	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∅ Fn ∅))
47	33, 46	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
48		fnov 7491	. . . 4 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∙ 𝑓)))
49	47, 48	sylib 218	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∙ 𝑓)))
50	41	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 ∙ 𝑓)))
51	50	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾 → (𝑓 ∈ 𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 ∙ 𝑓))))
52	51	3imp 1111	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑓 ∈ 𝐵) → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = (𝑥 ∙ 𝑓))
53	52	mpoeq3dva 7437	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∙ 𝑓)))
54	49, 53	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)))
55	30, 54	pm2.61i 182	1 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400  Vcvv 3441   ∪ cun 3900  ∅c0 4286  {csn 4581  {ctp 4585  ⟨cop 4587   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ∘_f cof 7622   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  1c1 11031  ℕcn 12149  9c9 12211  ℕ₀cn0 12405  ndxcnx 17124  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  ._rcmulr 17182  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  TopSetcts 17187  TopOpenctopn 17345  ∏_tcpt 17362   mPwSer cmps 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-tset 17200  df-psr 21869

This theorem is referenced by:  psrvsca  21909