MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscafval 19713
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n = ( ·𝑠𝑆)
psrvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m · = (.r𝑅)
psrvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrvscafval = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   · ,𝑓,𝑥   ,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑓,)   ()   · ()   𝐾()

Proof of Theorem psrvscafval
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrvsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2799 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrvsca.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
5 eqid 2799 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrvsca.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrvsca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 simpl 475 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 19701 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
10 eqid 2799 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
111, 7, 3, 10psrplusg 19704 . . . . 5 (+g𝑆) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12 eqid 2799 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
131, 7, 4, 12, 6psrmulr 19707 . . . . 5 (.r𝑆) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
14 eqid 2799 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
15 eqidd 2800 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
16 simpr 478 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16psrval 19685 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1817fveq2d 6415 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
19 psrvsca.n . . 3 = ( ·𝑠𝑆)
202fvexi 6425 . . . . 5 𝐾 ∈ V
217fvexi 6425 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2220, 21mpt2ex 7483 . . . 4 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V
23 psrvalstr 19686 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
24 vscaid 16337 . . . . 5 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
25 snsstp2 4536 . . . . . 6 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
26 ssun2 3975 . . . . . 6 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2725, 26sstri 3807 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2823, 24, 27strfv 16232 . . . 4 ((𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2922, 28ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
3018, 19, 293eqtr4g 2858 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)))
31 eqid 2799 . . . . . 6 ∅ = ∅
32 fn0 6222 . . . . . 6 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3331, 32mpbir 223 . . . . 5 ∅ Fn ∅
34 reldmpsr 19684 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
3534ovprc 6915 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
361, 35syl5eq 2845 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3736fveq2d 6415 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘∅))
38 df-vsca 16284 . . . . . . . 8 ·𝑠 = Slot 6
3938str0 16236 . . . . . . 7 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
4037, 19, 393eqtr4g 2858 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ∅)
4134, 1, 7elbasov 16246 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4241con3i 152 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ¬ 𝑓𝐵)
4342eq0rdv 4175 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
4443xpeq2d 5342 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = (𝐾 × ∅))
45 xp0 5769 . . . . . . 7 (𝐾 × ∅) = ∅
4644, 45syl6eq 2849 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = ∅)
4740, 46fneq12d 6194 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∅ Fn ∅))
4833, 47mpbiri 250 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → Fn (𝐾 × 𝐵))
49 fnov 7002 . . . 4 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5048, 49sylib 210 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5142pm2.21d 119 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓)))
5251a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾 → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓))))
53523imp 1138 . . . 4 ((¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑥𝐾𝑓𝐵) → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓))
5453mpt2eq3dva 6953 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5550, 54eqtr4d 2836 . 2 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)))
5630, 55pm2.61i 177 1 = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3093  Vcvv 3385  cun 3767  c0 4115  {csn 4368  {ctp 4372  cop 4374   × cxp 5310  ccnv 5311  cima 5315   Fn wfn 6096  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  𝑓 cof 7129  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  1c1 10225  cn 11312  6c6 11372  9c9 11375  0cn0 11580  ndxcnx 16181  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  TopSetcts 16273  TopOpenctopn 16397  tcpt 16414   mPwSer cmps 19674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-psr 19679
This theorem is referenced by:  psrvsca  19714
  Copyright terms: Public domain W3C validator