Theorem psrbas 21880

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
psrbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbas

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m 𝐷) = (𝐾 ↑m 𝐷))
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷))) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14	psrval 21862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
16	15	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
18		ovex 7388	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V
19		psrvalstr 21863	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20		baseid 17133	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
21		snsstp1 4769	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩}
22		ssun1 4129	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
23	21, 22	sstri 3941	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
24	19, 20, 23	strfv 17124	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V → (𝐾 ↑m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
25	18, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
26	16, 17, 25	3eqtr4g 2793	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
27		reldmpsr 21861	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom mPwSer
28	27	ovprc2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
30	1, 29	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
31	30	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
32		base0 17135	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
33	31, 17, 32	3eqtr4g 2793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
34		fvprc 6823	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) = ∅)
36	2, 35	eqtrid 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐾 = ∅)
37	6	fczpsrbag 21868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
38	12, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
40	39	ne0d 4293	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐷 ≠ ∅)
41	2	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
42		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	6, 42	rabex2 5283	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	41, 43	map0 8820	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐷) = ∅ ↔ (𝐾 = ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅))
45	36, 40, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m 𝐷) = ∅)
46	33, 45	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
47	26, 46	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  ∅c0 4284  {csn 4577  {ctp 4581  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   ↾ cres 5623   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357   ∘_f cof 7617   ∘_r cofr 7618   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8878  0cc0 11016  1c1 11017   ≤ cle 11157   − cmin 11354  ℕcn 12135  9c9 12197  ℕ₀cn0 12391  ndxcnx 17114  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  ._rcmulr 17172  Scalarcsca 17174   ·_𝑠 cvsca 17175  TopSetcts 17177  TopOpenctopn 17335  ∏_tcpt 17352   Σ_g cgsu 17354   mPwSer cmps 21851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-fsupp 9256  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-tset 17190  df-psr 21856

This theorem is referenced by:  psrelbas  21881  psrplusg  21883  psraddcl  21885  psraddclOLD  21886  psrmulr  21889  psrmulcllem  21892  psrsca  21894  psrvscafval  21895  psrvscacl  21898  psr0cl  21899  psrnegcl  21901  psrgrp  21903  psr1cl  21908  resspsrbas  21921  resspsradd  21922  resspsrmul  21923  subrgpsr  21925  mvrf  21932  mplmon  21980  mplcoe1  21982  opsrtoslem2  22001  psdcl  22086  psr1bas  22113  psrbaspropd  22157  ply1plusgfvi  22164  mhmcompl  22305  fply1  33532  mplvrpmga  33586  esplympl  33599  psrmnd  42653  mhmcopsr  42657  evlsbagval  42674  mhpind  42702