Theorem psrbas 21953

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
psrbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbas

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m 𝐷) = (𝐾 ↑m 𝐷))
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷))) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14	psrval 21935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
16	15	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
18		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V
19		psrvalstr 21936	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20		baseid 17250	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
21		snsstp1 4816	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩}
22		ssun1 4178	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
23	21, 22	sstri 3993	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
24	19, 20, 23	strfv 17240	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V → (𝐾 ↑m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
25	18, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
26	16, 17, 25	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
27		reldmpsr 21934	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom mPwSer
28	27	ovprc2 7471	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
29	28	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
30	1, 29	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
31	30	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
32		base0 17252	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
33	31, 17, 32	3eqtr4g 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
34		fvprc 6898	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
35	34	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) = ∅)
36	2, 35	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐾 = ∅)
37	6	fczpsrbag 21941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
38	12, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
40	39	ne0d 4342	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐷 ≠ ∅)
41	2	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
42		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	6, 42	rabex2 5341	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	41, 43	map0 8927	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐷) = ∅ ↔ (𝐾 = ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅))
45	36, 40, 44	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m 𝐷) = ∅)
46	33, 45	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
47	26, 46	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  ∅c0 4333  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684   ↾ cres 5687   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  9c9 12328  ℕ₀cn0 12526  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  TopSetcts 17303  TopOpenctopn 17466  ∏_tcpt 17483   Σ_g cgsu 17485   mPwSer cmps 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-psr 21929

This theorem is referenced by:  psrelbas  21954  psrplusg  21956  psraddcl  21958  psraddclOLD  21959  psrmulr  21962  psrmulcllem  21965  psrsca  21967  psrvscafval  21968  psrvscacl  21971  psr0cl  21972  psrnegcl  21974  psrgrp  21976  psr1cl  21981  resspsrbas  21994  resspsradd  21995  resspsrmul  21996  subrgpsr  21998  mvrf  22005  mplmon  22053  mplcoe1  22055  opsrtoslem2  22080  psdcl  22165  psr1bas  22192  psrbaspropd  22236  ply1plusgfvi  22243  mhmcompl  22384  fply1  33584  psrmnd  42555  mhmcopsr  42559  evlsbagval  42576  mhpind  42604