MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbas 21497
Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrbas.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
psrbas (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbas
Dummy variables 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrbas.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 psrbas.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐾 ↑m 𝐷) = (𝐾 ↑m 𝐷))
8 eqid 2733 . . . . 5 ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷))) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))
9 eqid 2733 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
10 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))
11 eqidd 2734 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
12 psrbas.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1312adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 21468 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1615fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
17 psrbas.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
18 ovex 7442 . . . 4 (𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V
19 psrvalstr 21469 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20 baseid 17147 . . . . 5 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
21 snsstp1 4820 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩}
22 ssun1 4173 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2321, 22sstri 3992 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2419, 20, 23strfv 17137 . . . 4 ((𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V β†’ (𝐾 ↑m 𝐷) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2518, 24ax-mp 5 . . 3 (𝐾 ↑m 𝐷) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2616, 17, 253eqtr4g 2798 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
27 reldmpsr 21467 . . . . . . . 8 Rel dom mPwSer
2827ovprc2 7449 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
2928adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
301, 29eqtrid 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3130fveq2d 6896 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
32 base0 17149 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3331, 17, 323eqtr4g 2798 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
34 fvprc 6884 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘…) = βˆ…)
3534adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = βˆ…)
362, 35eqtrid 2785 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐾 = βˆ…)
376fczpsrbag 21476 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3812, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3938adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
4039ne0d 4336 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
412fvexi 6906 . . . . 5 𝐾 ∈ V
42 ovex 7442 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
436, 42rabex2 5335 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4441, 43map0 8881 . . . 4 ((𝐾 ↑m 𝐷) = βˆ… ↔ (𝐾 = βˆ… ∧ 𝐷 β‰  βˆ…))
4536, 40, 44sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐾 ↑m 𝐷) = βˆ…)
4633, 45eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
4726, 46pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {ctp 4633  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ∘f cof 7668   ∘r cofr 7669   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  9c9 12274  β„•0cn0 12472  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  TopSetcts 17203  TopOpenctopn 17367  βˆtcpt 17384   Ξ£g cgsu 17386   mPwSer cmps 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-psr 21462
This theorem is referenced by:  psrelbas  21498  psrplusg  21500  psraddcl  21502  psrmulr  21503  psrmulcllem  21506  psrsca  21508  psrvscafval  21509  psrvscacl  21512  psr0cl  21513  psrnegcl  21515  psrgrp  21517  psr1cl  21522  resspsrbas  21535  resspsradd  21536  resspsrmul  21537  subrgpsr  21539  mvrf  21544  mplmon  21590  mplcoe1  21592  opsrtoslem2  21617  psr1bas  21715  psrbaspropd  21757  ply1plusgfvi  21764  fply1  32668  mhmcompl  41168  evlsbagval  41186  mhpind  41214
  Copyright terms: Public domain W3C validator