MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrbas 21716
Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrbas.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
psrbas (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)
Proof of Theorem psrbas
Dummy variables 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrbas.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 psrbas.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqidd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐾 ↑m 𝐷) = (𝐾 ↑m 𝐷))
8 eqid 2732 . . . . 5 ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷))) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))
9 eqid 2732 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
10 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔)) = (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))
11 eqidd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
12 psrbas.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1312adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 21687 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1615fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
17 psrbas.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
18 ovex 7444 . . . 4 (𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V
19 psrvalstr 21688 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20 baseid 17151 . . . . 5 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
21 snsstp1 4819 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩}
22 ssun1 4172 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2321, 22sstri 3991 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2419, 20, 23strfv 17141 . . . 4 ((𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V β†’ (𝐾 ↑m 𝐷) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2518, 24ax-mp 5 . . 3 (𝐾 ↑m 𝐷) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ ((𝐾 ↑m 𝐷) Γ— (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), β„Ž ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘”β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(β„Žβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f (.rβ€˜π‘…)𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2616, 17, 253eqtr4g 2797 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
27 reldmpsr 21686 . . . . . . . 8 Rel dom mPwSer
2827ovprc2 7451 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
301, 29eqtrid 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3130fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
32 base0 17153 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3331, 17, 323eqtr4g 2797 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
34 fvprc 6883 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘…) = βˆ…)
3534adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = βˆ…)
362, 35eqtrid 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐾 = βˆ…)
376fczpsrbag 21695 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3812, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
4039ne0d 4335 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐷 β‰  βˆ…)
412fvexi 6905 . . . . 5 𝐾 ∈ V
42 ovex 7444 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
436, 42rabex2 5334 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4441, 43map0 8883 . . . 4 ((𝐾 ↑m 𝐷) = βˆ… ↔ (𝐾 = βˆ… ∧ 𝐷 β‰  βˆ…))
4536, 40, 44sylanbrc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐾 ↑m 𝐷) = βˆ…)
4633, 45eqtr4d 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
4726, 46pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (𝐾 ↑m 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ∘f cof 7670   ∘r cofr 7671   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  9c9 12278  β„•0cn0 12476  ndxcnx 17130  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  TopSetcts 17207  TopOpenctopn 17371  βˆtcpt 17388   Ξ£g cgsu 17390   mPwSer cmps 21676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-tset 17220  df-psr 21681
This theorem is referenced by:  psrelbas  21717  psrplusg  21719  psraddcl  21721  psrmulr  21722  psrmulcllem  21725  psrsca  21727  psrvscafval  21728  psrvscacl  21731  psr0cl  21732  psrnegcl  21734  psrgrp  21736  psr1cl  21741  resspsrbas  21754  resspsradd  21755  resspsrmul  21756  subrgpsr  21758  mvrf  21763  mplmon  21809  mplcoe1  21811  opsrtoslem2  21836  psr1bas  21934  psrbaspropd  21977  ply1plusgfvi  21984  fply1  32899  mhmcompl  41422  evlsbagval  41440  mhpind  41468
  Copyright terms: Public domain W3C validator