MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbas 21488
Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
psrbas (𝜑𝐵 = (𝐾m 𝐷))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbas
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrbas.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2732 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2732 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrbas.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (𝐾m 𝐷) = (𝐾m 𝐷))
8 eqid 2732 . . . . 5 ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷))) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))
9 eqid 2732 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))
10 eqid 2732 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔)) = (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))
11 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12 psrbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝐼𝑉)
14 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 21459 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1615fveq2d 6892 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17 psrbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
18 ovex 7438 . . . 4 (𝐾m 𝐷) ∈ V
19 psrvalstr 21460 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20 baseid 17143 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
21 snsstp1 4818 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩}
22 ssun1 4171 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2321, 22sstri 3990 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2419, 20, 23strfv 17133 . . . 4 ((𝐾m 𝐷) ∈ V → (𝐾m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2518, 24ax-mp 5 . . 3 (𝐾m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2616, 17, 253eqtr4g 2797 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾m 𝐷))
27 reldmpsr 21458 . . . . . . . 8 Rel dom mPwSer
2827ovprc2 7445 . . . . . . 7 𝑅 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
301, 29eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3130fveq2d 6892 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
32 base0 17145 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
3331, 17, 323eqtr4g 2797 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
34 fvprc 6880 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
3534adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) = ∅)
362, 35eqtrid 2784 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐾 = ∅)
376fczpsrbag 21467 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3812, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
4039ne0d 4334 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐷 ≠ ∅)
412fvexi 6902 . . . . 5 𝐾 ∈ V
42 ovex 7438 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
436, 42rabex2 5333 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4441, 43map0 8877 . . . 4 ((𝐾m 𝐷) = ∅ ↔ (𝐾 = ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅))
4536, 40, 44sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐾m 𝐷) = ∅)
4633, 45eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾m 𝐷))
4726, 46pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐵 = (𝐾m 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  cun 3945  c0 4321  {csn 4627  {ctp 4631  cop 4633   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5673  ccnv 5674  cres 5677  cima 5678  cfv 6540  (class class class)co 7405  cmpo 7407  f cof 7664  r cofr 7665  m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107  cle 11245  cmin 11440  cn 12208  9c9 12270  0cn0 12468  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  TopSetcts 17199  TopOpenctopn 17363  tcpt 17380   Σg cgsu 17382   mPwSer cmps 21448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-psr 21453
This theorem is referenced by:  psrelbas  21489  psrplusg  21491  psraddcl  21493  psrmulr  21494  psrmulcllem  21497  psrsca  21499  psrvscafval  21500  psrvscacl  21503  psr0cl  21504  psrnegcl  21506  psrgrp  21508  psr1cl  21513  resspsrbas  21526  resspsradd  21527  resspsrmul  21528  subrgpsr  21530  mvrf  21535  mplmon  21581  mplcoe1  21583  opsrtoslem2  21608  psr1bas  21706  psrbaspropd  21748  ply1plusgfvi  21755  fply1  32625  mhmcompl  41117  evlsbagval  41135  mhpind  41163
  Copyright terms: Public domain W3C validator