MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbas 21346
Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
psrbas (𝜑𝐵 = (𝐾m 𝐷))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbas
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrbas.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2736 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2736 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrbas.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (𝐾m 𝐷) = (𝐾m 𝐷))
8 eqid 2736 . . . . 5 ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷))) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))
9 eqid 2736 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))
10 eqid 2736 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔)) = (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))
11 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12 psrbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝐼𝑉)
14 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 21317 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1615fveq2d 6846 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17 psrbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
18 ovex 7390 . . . 4 (𝐾m 𝐷) ∈ V
19 psrvalstr 21318 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20 baseid 17086 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
21 snsstp1 4776 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩}
22 ssun1 4132 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2321, 22sstri 3953 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2419, 20, 23strfv 17076 . . . 4 ((𝐾m 𝐷) ∈ V → (𝐾m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2518, 24ax-mp 5 . . 3 (𝐾m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ ((𝐾m 𝐷) × (𝐾m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷), ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘f𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2616, 17, 253eqtr4g 2801 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾m 𝐷))
27 reldmpsr 21316 . . . . . . . 8 Rel dom mPwSer
2827ovprc2 7397 . . . . . . 7 𝑅 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
301, 29eqtrid 2788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3130fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
32 base0 17088 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
3331, 17, 323eqtr4g 2801 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
34 fvprc 6834 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
3534adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) = ∅)
362, 35eqtrid 2788 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐾 = ∅)
376fczpsrbag 21325 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3812, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
4039ne0d 4295 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐷 ≠ ∅)
412fvexi 6856 . . . . 5 𝐾 ∈ V
42 ovex 7390 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
436, 42rabex2 5291 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4441, 43map0 8825 . . . 4 ((𝐾m 𝐷) = ∅ ↔ (𝐾 = ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅))
4536, 40, 44sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐾m 𝐷) = ∅)
4633, 45eqtr4d 2779 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾m 𝐷))
4726, 46pm2.61dan 811 1 (𝜑𝐵 = (𝐾m 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  cun 3908  c0 4282  {csn 4586  {ctp 4590  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  r cofr 7616  m cmap 8765  Fincfn 8883  0cc0 11051  1c1 11052  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  9c9 12215  0cn0 12413  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  TopSetcts 17139  TopOpenctopn 17303  tcpt 17320   Σg cgsu 17322   mPwSer cmps 21306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-tset 17152  df-psr 21311
This theorem is referenced by:  psrelbas  21347  psrplusg  21349  psraddcl  21351  psrmulr  21352  psrmulcllem  21355  psrsca  21357  psrvscafval  21358  psrvscacl  21361  psr0cl  21362  psrnegcl  21364  psrgrp  21366  psr1cl  21371  resspsrbas  21384  resspsradd  21385  resspsrmul  21386  subrgpsr  21388  mvrf  21393  mplmon  21436  mplcoe1  21438  opsrtoslem2  21463  psr1bas  21562  psrbaspropd  21606  ply1plusgfvi  21613  fply1  32265  mhmcompl  40724  evlsbagval  40736  mhpind  40755  mhphf  40757
  Copyright terms: Public domain W3C validator