Theorem resspsrbas 21534

Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsrbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))

Proof of Theorem resspsrbas

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		resspsr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3		resspsr.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
4	3	subrgbas 20327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
6		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	6	subrgss 20319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8	eqsstrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
11		mapss 8882	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
12	1, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13		resspsr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
14		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
15		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		resspsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
17		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
18	13, 14, 15, 16, 17	psrbas 21496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
19		resspsr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
20		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
21	19, 6, 15, 20, 17	psrbas 21496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	12, 18, 21	3sstr4d 4029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23		reldmpsr 21466	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPwSer
24	23	ovprc1 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝐻) = ∅)
25	13, 24	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑈 = ∅)
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝑈 = ∅)
27	26	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑈) = (Base‘∅))
28		base0 17148	. . . . 5 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
29	27, 16, 28	3eqtr4g 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
30		0ss 4396	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ (Base‘𝑆)
31	29, 30	eqsstrdi 4036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
32	22, 31	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33		resspsr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
34	33, 20	ressbas2 17181	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝐵 = (Base‘𝑃))
35	32, 34	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  SubRingcsubrg 20314   mPwSer cmps 21456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-subg 19002  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-psr 21461

This theorem is referenced by:  resspsrvsca  21537  subrgpsr  21538