MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrbas 21936
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsrbas (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6909 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 resspsr.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
43subrgbas 20532 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
6 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76subrgss 20523 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
95, 8eqsstrrd 4016 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
109adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
11 mapss 8908 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
121, 10, 11sylancr 585 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13 resspsr.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
14 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
15 eqid 2725 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 resspsr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
17 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 21895 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
19 resspsr.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
20 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 21895 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2212, 18, 213sstr4d 4024 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23 reldmpsr 21864 . . . . . . . . 9 Rel dom mPwSer
2423ovprc1 7458 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝐻) = ∅)
2513, 24eqtrid 2777 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → 𝑈 = ∅)
2625adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝑈 = ∅)
2726fveq2d 6900 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑈) = (Base‘∅))
28 base0 17188 . . . . 5 ∅ = (Base‘∅)
2927, 16, 283eqtr4g 2790 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
30 0ss 4398 . . . 4 ∅ ⊆ (Base‘𝑆)
3129, 30eqsstrdi 4031 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3222, 31pm2.61dan 811 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33 resspsr.p . . 3 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
3433, 20ressbas2 17221 . 2 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3532, 34syl 17 1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461  wss 3944  c0 4322  ccnv 5677  cima 5681  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Fincfn 8964  cn 12245  0cn0 12505  Basecbs 17183  s cress 17212  SubRingcsubrg 20518   mPwSer cmps 21854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-tset 17255  df-subg 19086  df-ring 20187  df-subrg 20520  df-psr 21859
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  21939  subrgpsr  21940
  Copyright terms: Public domain W3C validator