Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrbas 20171
 Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsrbas (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6656 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 resspsr.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
43subrgbas 19520 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
6 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76subrgss 19512 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
95, 8eqsstrrd 3982 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
109adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
11 mapss 8428 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
121, 10, 11sylancr 590 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13 resspsr.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
14 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
15 eqid 2821 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 resspsr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
17 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 20134 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
19 resspsr.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
20 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 20134 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2212, 18, 213sstr4d 3990 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23 reldmpsr 20117 . . . . . . . . 9 Rel dom mPwSer
2423ovprc1 7169 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝐻) = ∅)
2513, 24syl5eq 2868 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → 𝑈 = ∅)
2625adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝑈 = ∅)
2726fveq2d 6647 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑈) = (Base‘∅))
28 base0 16515 . . . . 5 ∅ = (Base‘∅)
2927, 16, 283eqtr4g 2881 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
30 0ss 4323 . . . 4 ∅ ⊆ (Base‘𝑆)
3129, 30eqsstrdi 3997 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3222, 31pm2.61dan 812 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33 resspsr.p . . 3 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
3433, 20ressbas2 16534 . 2 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3532, 34syl 17 1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3130  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910  ∅c0 4266  ◡ccnv 5527   “ cima 5531  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ↑m cmap 8381  Fincfn 8484  ℕcn 11615  ℕ0cn0 11875  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  SubRingcsubrg 19507   mPwSer cmps 20107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-tset 16563  df-subg 18255  df-ring 19278  df-subrg 19509  df-psr 20112 This theorem is referenced by:  resspsrvsca  20174  subrgpsr  20175
 Copyright terms: Public domain W3C validator