MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 21450
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y π‘Œ = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
psropprmul.u βˆ™ = (.rβ€˜π‘)
psropprmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐺 Β· 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 π‘Ž 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2736 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3 ringcmn 19861 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 7336 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
76rabex 5265 . . . . . . 7 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 5265 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1212 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
14 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 21189 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1615adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
17 elrabi 3623 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} β†’ 𝑒 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ffvelcdm 6987 . . . . . . . 8 ((𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑒 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 21189 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
2221ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
23 ssrab2 4019 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} βŠ† {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} = {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}
2512, 24psrbagconcl 21178 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
2625adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
2723, 26sselid 3924 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2822, 27ffvelcdmd 6990 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
29 eqid 2736 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
301, 29ringcl 19841 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3110, 19, 28, 30syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3231fmpttd 7017 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))):{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}⟢(Baseβ€˜π‘…))
33 mptexg 7125 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ V β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∈ V)
348, 33mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∈ V)
35 funmpt 6497 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))
37 fvexd 6815 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3812psrbaglefi 21176 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ Fin)
3938adantl 483 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ Fin)
40 suppssdm 8020 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))
41 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))
4241dmmptss 6155 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}
4340, 42sstri 3935 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}
4443a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
45 suppssfifsupp 9183 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
4634, 36, 37, 39, 44, 45syl32anc 1378 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
4712, 24psrbagconf1o 21180 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)):{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
4847adantl 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)):{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
491, 2, 5, 9, 32, 46, 48gsumf1o 19558 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
5012, 24psrbagconcl 21178 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
5150adantll 712 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
52 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))
53 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))
54 fveq2 6800 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))
55 oveq2 7311 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) = (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))
5655fveq2d 6804 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)) = (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))
5754, 56oveq12d 7321 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))) = ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
5851, 52, 53, 57fmptco 7029 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
59 reldmpsr 21158 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel dom mPwSer
6011, 13, 59strov2rcl 16961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
61603ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ V)
6261ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝐼 ∈ V)
6312psrbagf 21162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
66 elrabi 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6712psrbagf 21162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐:πΌβŸΆβ„•0)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} β†’ 𝑐:πΌβŸΆβ„•0)
6968adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝑐:πΌβŸΆβ„•0)
70 nn0cn 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ β„•0 β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
71 nn0cn 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ β„•0 β†’ 𝑓 ∈ β„‚)
72 nncan 11292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑓 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 βˆ’ (𝑒 βˆ’ 𝑓)) = 𝑓)
7370, 71, 72syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑓 ∈ β„•0) β†’ (𝑒 βˆ’ (𝑒 βˆ’ 𝑓)) = 𝑓)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑓 ∈ β„•0)) β†’ (𝑒 βˆ’ (𝑒 βˆ’ 𝑓)) = 𝑓)
7562, 65, 69, 74caonncan 7602 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)) = 𝑐)
7675fveq2d 6804 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = (πΉβ€˜π‘))
7776oveq2d 7319 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘)))
78 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
79 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
801, 29, 78, 79opprmul 19906 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘))
8177, 80eqtr4di 2794 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))
8281mpteq2dva 5181 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
8358, 82eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
8483oveq2d 7319 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
858mptex 7127 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) ∈ V)
87 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8878fvexi 6814 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ V)
9078, 1opprbas 19910 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†))
92 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
9378, 92oppradd 19912 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†)
9493a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†))
9586, 87, 89, 91, 94gsumpropd 18403 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
96953ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
9796adantr 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
9849, 84, 973eqtrd 2780 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
9998mpteq2dva 5181 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
100 psropprmul.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
10111, 13, 29, 100, 12, 14, 20psrmulfval 21195 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Β· 𝐹) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))))
102 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
103 eqid 2736 . . 3 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
104 psropprmul.u . . 3 βˆ™ = (.rβ€˜π‘)
10590a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†))
106105psrbaspropd 21447 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑆)))
10711fveq2i 6803 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
10813, 107eqtri 2764 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
109102fveq2i 6803 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑆))
110106, 108, 1093eqtr4g 2801 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘))
11120, 110eleqtrd 2839 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘))
11214, 110eleqtrd 2839 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘))
113102, 103, 79, 104, 12, 111, 112psrmulfval 21195 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
11499, 101, 1133eqtr4rd 2787 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐺 Β· 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3284  Vcvv 3437   βŠ† wss 3892   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164  β—‘ccnv 5595  dom cdm 5596   β€œ cima 5599   ∘ ccom 5600  Fun wfun 6448  βŸΆwf 6450  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6453  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ∘f cof 7559   ∘r cofr 7560   supp csupp 8004   ↑m cmap 8642  Fincfn 8760   finSupp cfsupp 9168  β„‚cc 10911   ≀ cle 11052   βˆ’ cmin 11247  β„•cn 12015  β„•0cn0 12275  Basecbs 16953  +gcplusg 17003  .rcmulr 17004  0gc0g 17191   Ξ£g cgsu 17192  CMndccmn 19427  Ringcrg 19824  opprcoppr 19902   mPwSer cmps 21148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-ofr 7562  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-tpos 8069  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-hash 14087  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-tset 17022  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-oppr 19903  df-psr 21153
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  21451
  Copyright terms: Public domain W3C validator