Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 20876
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (oppr𝑅)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t · = (.r𝑌)
psropprmul.u = (.r𝑍)
psropprmul.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑎 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2824 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 ringcmn 19336 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 7184 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
76rabex 5222 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 5222 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1209 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 20626 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17 elrabi 3661 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} → 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ffvelrn 6842 . . . . . . . 8 ((𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 17, 18syl2an 598 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
20 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 20626 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ssrab2 4042 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ⊆ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
24 reldmpsr 20608 . . . . . . . . . . . . 13 Rel dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16548 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐵𝐼 ∈ V)
26253ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐼 ∈ V)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
28 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
29 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
30 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} = {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}
3112, 30psrbagconcl 20620 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝑏f𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
3227, 28, 29, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝑏f𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
3323, 32sseldi 3951 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝑏f𝑒) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3422, 33ffvelrnd 6845 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝐹‘(𝑏f𝑒)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2824 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 19316 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘(𝑏f𝑒)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3710, 19, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3837fmpttd 6872 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}⟶(Base‘𝑅))
39 mptexg 6977 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ∈ V → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∈ V)
408, 39mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∈ V)
41 funmpt 6383 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))))
4241a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))))
43 fvexd 6678 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ V)
4412psrbaglefi 20619 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ∈ Fin)
4526, 44sylan 583 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ∈ Fin)
46 suppssdm 7841 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))))
47 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))))
4847dmmptss 6084 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}
4946, 48sstri 3962 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}
5049a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
51 suppssfifsupp 8847 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5240, 42, 43, 45, 50, 51syl32anc 1375 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5312, 30psrbagconf1o 20621 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
5426, 53sylan 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
551, 2, 5, 9, 38, 52, 54gsumf1o 19038 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))))) = (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐)))))
5626ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
57 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
58 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
5912, 30psrbagconcl 20620 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝑏f𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
6056, 57, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝑏f𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏})
61 eqidd 2825 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐)))
62 eqidd 2825 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))))
63 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏f𝑐) → (𝐺𝑒) = (𝐺‘(𝑏f𝑐)))
64 oveq2 7159 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏f𝑐) → (𝑏f𝑒) = (𝑏f − (𝑏f𝑐)))
6564fveq2d 6667 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏f𝑐) → (𝐹‘(𝑏f𝑒)) = (𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐))))
6663, 65oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏f𝑐) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))) = ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐)))))
6760, 61, 62, 66fmptco 6884 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐))))))
6812psrbagf 20612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
6926, 68sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7069adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7126adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
72 elrabi 3661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
7312psrbagf 20612 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
7471, 72, 73syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
75 nn0cn 11906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℂ)
76 nn0cn 11906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℂ)
77 nncan 10915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7875, 76, 77syl2an 598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7978adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0)) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8056, 70, 74, 79caonncan 7443 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝑏f − (𝑏f𝑐)) = 𝑐)
8180fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → (𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐))) = (𝐹𝑐))
8281oveq2d 7167 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐)))) = ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐)))
83 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (oppr𝑅)
84 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
851, 35, 83, 84opprmul 19381 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))) = ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐))
8682, 85eqtr4di 2877 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐)))) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))
8786mpteq2dva 5148 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏f𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f − (𝑏f𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐)))))
8867, 87eqtrd 2859 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐)))))
8988oveq2d 7167 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ (𝑏f𝑐)))) = (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))))
908mptex 6979 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐)))) ∈ V
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐)))) ∈ V)
92 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9383fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ V)
9583, 1opprbas 19384 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
97 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
9883, 97oppradd 19385 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑆)
9998a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑆))
10091, 92, 94, 96, 99gsumpropd 17890 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))))
1011003ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))))
102101adantr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))))
10355, 89, 1023eqtrd 2863 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐))))))
104103mpteq2dva 5148 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐)))))))
105 psropprmul.t . . 3 · = (.r𝑌)
10611, 13, 35, 105, 12, 14, 20psrmulfval 20632 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐺 · 𝐹) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏f𝑒)))))))
107 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
108 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
109 psropprmul.u . . 3 = (.r𝑍)
11095a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
111110psrbaspropd 20873 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
11211fveq2i 6666 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
11313, 112eqtri 2847 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
114107fveq2i 6666 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
115111, 113, 1143eqtr4g 2884 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑍))
11620, 115eleqtrd 2918 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑍))
11714, 115eleqtrd 2918 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘𝑍))
118107, 108, 84, 109, 12, 116, 117psrmulfval 20632 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑r𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏f𝑐)))))))
119104, 106, 1183eqtr4rd 2870 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  ◡ccnv 5542  dom cdm 5543   “ cima 5546   ∘ ccom 5547  Fun wfun 6339  ⟶wf 6341  –1-1-onto→wf1o 6344  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151   ∘f cof 7403   ∘r cofr 7404   supp csupp 7828   ↑m cmap 8404  Fincfn 8507   finSupp cfsupp 8832  ℂcc 10535   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕcn 11636  ℕ0cn0 11896  Basecbs 16485  +gcplusg 16567  .rcmulr 16568  0gc0g 16715   Σg cgsu 16716  CMndccmn 18908  Ringcrg 19299  opprcoppr 19377   mPwSer cmps 20598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-hash 13698  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19378  df-psr 20603 This theorem is referenced by:  ply1opprmul  20877
 Copyright terms: Public domain W3C validator