MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 21760
Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y π‘Œ = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
psropprmul.u βˆ™ = (.rβ€˜π‘)
psropprmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐺 Β· 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 π‘Ž 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3 ringcmn 20099 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 7442 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
76rabex 5333 . . . . . . 7 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 5333 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 π‘Œ = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
14 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 21498 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
1615adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
17 elrabi 3678 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} β†’ 𝑒 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ffvelcdm 7084 . . . . . . . 8 ((𝐺:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑒 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1916, 17, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
20 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 21498 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
2221ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝐹:{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
23 ssrab2 4078 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} βŠ† {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} = {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}
2512, 24psrbagconcl 21487 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
2625adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
2723, 26sselid 3981 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2822, 27ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
29 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
301, 29ringcl 20073 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3110, 19, 28, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3231fmpttd 7115 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))):{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}⟢(Baseβ€˜π‘…))
33 mptexg 7223 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ V β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∈ V)
348, 33mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∈ V)
35 funmpt 6587 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))
37 fvexd 6907 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3812psrbaglefi 21485 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ Fin)
3938adantl 483 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ Fin)
40 suppssdm 8162 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))
41 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))
4241dmmptss 6241 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}
4340, 42sstri 3992 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}
4443a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
45 suppssfifsupp 9378 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
4634, 36, 37, 39, 44, 45syl32anc 1379 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
4712, 24psrbagconf1o 21489 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)):{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
4847adantl 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)):{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}–1-1-ontoβ†’{𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
491, 2, 5, 9, 32, 46, 48gsumf1o 19784 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))) = (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
5012, 24psrbagconcl 21487 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
5150adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏})
52 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))
53 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))
54 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ (πΊβ€˜π‘’) = (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))
55 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒) = (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))
5655fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)) = (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))
5754, 56oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))) = ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
5851, 52, 53, 57fmptco 7127 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
59 reldmpsr 21467 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel dom mPwSer
6011, 13, 59strov2rcl 17152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 ∈ V)
61603ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ V)
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝐼 ∈ V)
6312psrbagf 21471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝑏:πΌβŸΆβ„•0)
66 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} β†’ 𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
6712psrbagf 21471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ 𝑐:πΌβŸΆβ„•0)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} β†’ 𝑐:πΌβŸΆβ„•0)
6968adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ 𝑐:πΌβŸΆβ„•0)
70 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ β„•0 β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
71 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ β„•0 β†’ 𝑓 ∈ β„‚)
72 nncan 11489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑓 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 βˆ’ (𝑒 βˆ’ 𝑓)) = 𝑓)
7370, 71, 72syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑓 ∈ β„•0) β†’ (𝑒 βˆ’ (𝑒 βˆ’ 𝑓)) = 𝑓)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ β„•0 ∧ 𝑓 ∈ β„•0)) β†’ (𝑒 βˆ’ (𝑒 βˆ’ 𝑓)) = 𝑓)
7562, 65, 69, 74caonncan 7711 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)) = 𝑐)
7675fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ (πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = (πΉβ€˜π‘))
7776oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘)))
78 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (opprβ€˜π‘…)
79 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
801, 29, 78, 79opprmul 20153 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘))
8177, 80eqtr4di 2791 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏}) β†’ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))
8281mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
8358, 82eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))
8483oveq2d 7425 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ (𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
858mptex 7225 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) ∈ V
8685a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) ∈ V)
87 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8878fvexi 6906 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ V)
9078, 1opprbas 20157 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†)
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†))
92 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
9378, 92oppradd 20159 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†)
9493a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†))
9586, 87, 89, 91, 94gsumpropd 18597 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
96953ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
9796adantr 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
9849, 84, 973eqtrd 2777 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ 𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒))))) = (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))))
9998mpteq2dva 5249 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
100 psropprmul.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘Œ)
10111, 13, 29, 100, 12, 14, 20psrmulfval 21504 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 Β· 𝐹) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑒)))))))
102 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
103 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
104 psropprmul.u . . 3 βˆ™ = (.rβ€˜π‘)
10590a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘†))
106105psrbaspropd 21757 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑆)))
10711fveq2i 6895 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
10813, 107eqtri 2761 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))
109102fveq2i 6895 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑆))
110106, 108, 1093eqtr4g 2798 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘))
11120, 110eleqtrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘))
11214, 110eleqtrd 2836 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘))
113102, 103, 79, 104, 12, 111, 112psrmulfval 21504 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘)(.rβ€˜π‘†)(πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
11499, 101, 1133eqtr4rd 2784 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝐺 Β· 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ∘r cofr 7669   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  β„‚cc 11108   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  Ringcrg 20056  opprcoppr 20149   mPwSer cmps 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-psr 21462
This theorem is referenced by:  ply1opprmul  21761
  Copyright terms: Public domain W3C validator