Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psropprmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psropprmul 20109
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psropprmul.y 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psropprmul.s 𝑆 = (oppr𝑅)
psropprmul.z 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
psropprmul.t · = (.r𝑌)
psropprmul.u = (.r𝑍)
psropprmul.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
psropprmul ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))

Proof of Theorem psropprmul
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑒 𝑓 𝑎 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2779 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2779 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 ringcmn 19054 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
433ad2ant1 1113 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
54adantr 473 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ CMnd)
6 ovex 7008 . . . . . . . 8 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
76rabex 5091 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
87rabex 5091 . . . . . 6 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V
98a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V)
10 simpll1 1192 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psropprmul.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 eqid 2779 . . . . . . . . . 10 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13 psropprmul.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑌)
14 simp3 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
1511, 1, 12, 13, 14psrelbas 19873 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
1615adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
17 elrabi 3591 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
18 ffvelrn 6674 . . . . . . . 8 ((𝐺:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑒 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
1916, 17, 18syl2an 586 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅))
20 simp2 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
2111, 1, 12, 13, 20psrelbas 19873 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2221ad2antrr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐹:{𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ssrab2 3947 . . . . . . . . 9 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ⊆ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
24 reldmpsr 19855 . . . . . . . . . . . . 13 Rel dom mPwSer
2511, 13, 24strov2rcl 16402 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝐵𝐼 ∈ V)
26253ad2ant3 1115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐼 ∈ V)
2726ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
28 simplr 756 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
29 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
30 eqid 2779 . . . . . . . . . . 11 {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} = {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
3112, 30psrbagconcl 19867 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3227, 28, 29, 31syl3anc 1351 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
3323, 32sseldi 3857 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑒) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
3422, 33ffvelrnd 6677 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2779 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 19034 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑒) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3710, 19, 34, 36syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) ∈ (Base‘𝑅))
3837fmpttd 6702 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}⟶(Base‘𝑅))
39 mptexg 6810 . . . . . . 7 ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ V → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
408, 39mp1i 13 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V)
41 funmpt 6226 . . . . . . 7 Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4241a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
43 fvexd 6514 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ V)
4412psrbaglefi 19866 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
4526, 44sylan 572 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin)
46 suppssdm 7646 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
47 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))
4847dmmptss 5934 . . . . . . . 8 dom (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
4946, 48sstri 3868 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}
5049a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
51 suppssfifsupp 8643 . . . . . 6 ((((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∈ V ∧ Fun (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ∈ Fin ∧ ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5240, 42, 43, 45, 50, 51syl32anc 1358 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) finSupp (0g𝑅))
5312, 30psrbagconf1o 19868 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
5426, 53sylan 572 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)):{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}–1-1-onto→{𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
551, 2, 5, 9, 38, 52, 54gsumf1o 18790 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))))
5626ad2antrr 713 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝐼 ∈ V)
57 simplr 756 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
58 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
5912, 30psrbagconcl 19867 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
6056, 57, 58, 59syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓𝑐) ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏})
61 eqidd 2780 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))
62 eqidd 2780 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) = (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))
63 fveq2 6499 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐺𝑒) = (𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))
64 oveq2 6984 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝑏𝑓𝑒) = (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))
6564fveq2d 6503 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → (𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)) = (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))
6663, 65oveq12d 6994 . . . . . . 7 (𝑒 = (𝑏𝑓𝑐) → ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))))
6760, 61, 62, 66fmptco 6714 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))))
6812psrbagf 19859 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
6926, 68sylan 572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7069adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑏:𝐼⟶ℕ0)
7126adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐼 ∈ V)
72 elrabi 3591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} → 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
7312psrbagf 19859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑐 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
7471, 72, 73syl2an 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → 𝑐:𝐼⟶ℕ0)
75 nn0cn 11718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℂ)
76 nn0cn 11718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℂ)
77 nncan 10716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ ℂ ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7875, 76, 77syl2an 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
7978adantl 474 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) ∧ (𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0)) → (𝑒 − (𝑒𝑓)) = 𝑓)
8056, 70, 74, 79caonncan 7265 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)) = 𝑐)
8180fveq2d 6503 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → (𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))) = (𝐹𝑐))
8281oveq2d 6992 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐)))
83 psropprmul.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (oppr𝑅)
84 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
851, 35, 83, 84opprmul 19099 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))) = ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹𝑐))
8682, 85syl6eqr 2833 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏}) → ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐)))) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))
8786mpteq2dva 5022 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓 − (𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
8867, 87eqtrd 2815 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))
8988oveq2d 6992 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg ((𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ (𝑏𝑓𝑐)))) = (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
908mptex 6812 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))) ∈ V)
92 id 22 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9383fvexi 6513 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ V)
9583, 1opprbas 19102 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆)
9695a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
97 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
9883, 97oppradd 19103 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑆)
9998a1i 11 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (+g𝑅) = (+g𝑆))
10091, 92, 94, 96, 99gsumpropd 17740 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
1011003ad2ant1 1113 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
102101adantr 473 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
10355, 89, 1023eqtrd 2819 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒))))) = (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐))))))
104103mpteq2dva 5022 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
105 psropprmul.t . . 3 · = (.r𝑌)
10611, 13, 35, 105, 12, 14, 20psrmulfval 19879 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐺 · 𝐹) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑒 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐺𝑒)(.r𝑅)(𝐹‘(𝑏𝑓𝑒)))))))
107 psropprmul.z . . 3 𝑍 = (𝐼 mPwSer 𝑆)
108 eqid 2779 . . 3 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
109 psropprmul.u . . 3 = (.r𝑍)
11095a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
111110psrbaspropd 20106 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
11211fveq2i 6502 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
11313, 112eqtri 2803 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
114107fveq2i 6502 . . . . 5 (Base‘𝑍) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
115111, 113, 1143eqtr4g 2840 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑍))
11620, 115eleqtrd 2869 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑍))
11714, 115eleqtrd 2869 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (Base‘𝑍))
118107, 108, 84, 109, 12, 116, 117psrmulfval 19879 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑆 Σg (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑑𝑟𝑏} ↦ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐺‘(𝑏𝑓𝑐)))))))
119104, 106, 1183eqtr4rd 2826 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐺 · 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {crab 3093  Vcvv 3416   ⊆ wss 3830   class class class wbr 4929   ↦ cmpt 5008  ◡ccnv 5406  dom cdm 5407   “ cima 5410   ∘ ccom 5411  Fun wfun 6182  ⟶wf 6184  –1-1-onto→wf1o 6187  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976   ∘𝑓 cof 7225   ∘𝑟 cofr 7226   supp csupp 7633   ↑𝑚 cmap 8206  Fincfn 8306   finSupp cfsupp 8628  ℂcc 10333   ≤ cle 10475   − cmin 10670  ℕcn 11439  ℕ0cn0 11707  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  .rcmulr 16422  0gc0g 16569   Σg cgsu 16570  CMndccmn 18666  Ringcrg 19020  opprcoppr 19095   mPwSer cmps 19845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-tset 16440  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-psr 19850 This theorem is referenced by:  ply1opprmul  20110
 Copyright terms: Public domain W3C validator