Theorem psrelbas 22223

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		reldmpsr 22202	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 17374	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 22222	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
11	1, 10	eleqtrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷))
12	3	fvexi 6891	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
13		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
14	4, 13	rabex2 5302	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
15	12, 14	elmap 8883	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷⟶𝐾)
16	11, 15	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367   mPwSer cmps 22192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-tset 17427  df-psr 22197

This theorem is used by:  psrelbasfun  22224  psraddcl  22227  psrmulcllem  22233  psrvscaval  22238  psrvscacl  22239  psr0lid  22241  psrnegcl  22242  psrlinv  22243  psrlmod  22247  psrlidm  22249  psrridm  22250  psrass1  22251  psrdi  22252  psrdir  22253  psrass23l  22254  psrcom  22255  psrass23  22256  resspsrmul  22263  psrascl  22266  mvrcl  22279  mplelf  22285  mplsubglem  22286  mpllsslem  22287  mplsubrglem  22291  subrgasclcl  22356  psdcl  22462  psdadd  22464  psdvsca  22465  psdmul  22467  psrplusgpropd  22533  psropprmul  22535  mplvrpmga  34159  mplvrpmrhm  34161  psrgsum  34162  psrmonmul  34164  mhmcopsr  43570  mhmcoaddpsr  43571  rhmcomulpsr  43572