MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrelbas 21878
Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrelbas (𝜑𝑋:𝐷𝐾)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas
StepHypRef Expression
1 psrelbas.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 psrbas.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3 psrbas.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 psrbas.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psrbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
6 reldmpsr 21846 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
76, 2, 5elbasov 17186 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 494 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
102, 3, 4, 5, 9psrbas 21877 . . 3 (𝜑𝐵 = (𝐾m 𝐷))
111, 10eleqtrd 2831 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾m 𝐷))
123fvexi 6911 . . 3 𝐾 ∈ V
13 ovex 7453 . . . 4 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
144, 13rabex2 5336 . . 3 𝐷 ∈ V
1512, 14elmap 8889 . 2 (𝑋 ∈ (𝐾m 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷𝐾)
1611, 15sylib 217 1 (𝜑𝑋:𝐷𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471  ccnv 5677  cima 5681  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  m cmap 8844  Fincfn 8963  cn 12242  0cn0 12502  Basecbs 17179   mPwSer cmps 21836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-psr 21841
This theorem is referenced by:  psrelbasfun  21879  psraddcl  21882  psraddclOLD  21883  psrmulcllem  21887  psrvscaval  21892  psrvscacl  21893  psr0lid  21895  psrnegcl  21896  psrlinv  21897  psrgrpOLD  21899  psrlmod  21902  psrlidm  21904  psrridm  21905  psrass1  21906  psrdi  21907  psrdir  21908  psrass23l  21909  psrcom  21910  psrass23  21911  resspsrmul  21918  mvrcl  21933  mplelf  21939  mplsubglem  21940  mpllsslem  21941  mplsubrglem  21945  subrgasclcl  22010  psdcl  22084  psdadd  22086  psdvsca  22087  psdmul  22089  psrplusgpropd  22153  psropprmul  22155
  Copyright terms: Public domain W3C validator