Theorem psraddcl 21981

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psraddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psraddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mgm)
2		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4	2, 3	mgmcl 18681	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
5	4	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
6	1, 5	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7		psraddcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psraddcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psraddcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 21977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12		psraddcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 21977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14		ovex 7481	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
15	14	rabex 5357	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17		inidm 4248	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18	6, 11, 13, 16, 16, 17	off 7732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20	19, 15	elmap 8929	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21	18, 20	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22		psraddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
23	7, 9, 3, 22, 10, 12	psradd 21980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
24		reldmpsr 21957	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24, 7, 9	elbasov 17265	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
26	10, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	26	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
28	7, 2, 8, 9, 27	psrbas 21976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
29	21, 23, 28	3eltr4d 2859	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mgmcmgm 18676   mPwSer cmps 21947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-mgm 18678  df-psr 21952

This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  22000  psrlmod  22003  psrdi  22008  psrdir  22009  mplsubglem  22042  psdadd  22190