MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psraddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psraddcl 21870
Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psraddcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p + = (+g𝑆)
psraddcl.r (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psraddcl.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
psraddcl (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psraddcl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
2 eqid 2727 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2727 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42, 3mgmcl 18594 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
543expb 1118 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
61, 5sylan 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7 psraddcl.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 eqid 2727 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psraddcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psraddcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 2, 8, 9, 10psrelbas 21866 . . . 4 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 psraddcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
137, 2, 8, 9, 12psrelbas 21866 . . . 4 (𝜑𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14 ovex 7447 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1514rabex 5328 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17 inidm 4214 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
186, 11, 13, 16, 16, 17off 7697 . . 3 (𝜑 → (𝑋f (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19 fvex 6904 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
2019, 15elmap 8881 . . 3 ((𝑋f (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋f (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2118, 20sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑋f (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22 psraddcl.p . . 3 + = (+g𝑆)
237, 9, 3, 22, 10, 12psradd 21869 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
24 reldmpsr 21834 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2524, 7, 9elbasov 17178 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2610, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2726simpld 494 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
287, 2, 8, 9, 27psrbas 21865 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2921, 23, 283eltr4d 2843 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469  ccnv 5671  cima 5675  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  f cof 7677  m cmap 8836  Fincfn 8955  cn 12234  0cn0 12494  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Mgmcmgm 18589   mPwSer cmps 21824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-tset 17243  df-mgm 18591  df-psr 21829
This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21887  psrlmod  21890  psrdi  21895  psrdir  21896  mplsubglem  21928  psdadd  22074
  Copyright terms: Public domain W3C validator