MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psraddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psraddcl 19867
Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psraddcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p + = (+g𝑆)
psraddcl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psraddcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psraddcl.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
psraddcl (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psraddcl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
2 eqid 2772 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2772 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42, 3grpcl 17889 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
543expb 1100 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
61, 5sylan 572 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7 psraddcl.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 eqid 2772 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psraddcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psraddcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 2, 8, 9, 10psrelbas 19863 . . . 4 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 psraddcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
137, 2, 8, 9, 12psrelbas 19863 . . . 4 (𝜑𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14 ovex 7002 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1514rabex 5085 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17 inidm 4077 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
186, 11, 13, 16, 16, 17off 7236 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19 fvex 6506 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
2019, 15elmap 8227 . . 3 ((𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2118, 20sylibr 226 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22 psraddcl.p . . 3 + = (+g𝑆)
237, 9, 3, 22, 10, 12psradd 19866 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌))
24 reldmpsr 19845 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2524, 7, 9elbasov 16391 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2610, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2726simpld 487 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
287, 2, 8, 9, 27psrbas 19862 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2921, 23, 283eltr4d 2875 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  {crab 3086  Vcvv 3409  ccnv 5399  cima 5403  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑓 cof 7219  𝑚 cmap 8198  Fincfn 8298  cn 11431  0cn0 11700  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  Grpcgrp 17881   mPwSer cmps 19835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-tset 16430  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-psr 19840
This theorem is referenced by:  psrgrp  19882  psrlmod  19885  psrdi  19890  psrdir  19891  mplsubglem  19918
  Copyright terms: Public domain W3C validator