MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psraddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psraddcl 21843
Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) Generalize to magmas. (Revised by SN, 12-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
psraddcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p + = (+g𝑆)
psraddcl.r (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
psraddcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psraddcl.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
psraddcl (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psraddcl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Mgm)
2 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42, 3mgmcl 18576 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
543expb 1117 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
61, 5sylan 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7 psraddcl.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 eqid 2726 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psraddcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psraddcl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 2, 8, 9, 10psrelbas 21839 . . . 4 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 psraddcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
137, 2, 8, 9, 12psrelbas 21839 . . . 4 (𝜑𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14 ovex 7438 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1514rabex 5325 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17 inidm 4213 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
186, 11, 13, 16, 16, 17off 7685 . . 3 (𝜑 → (𝑋f (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19 fvex 6898 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
2019, 15elmap 8867 . . 3 ((𝑋f (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋f (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2118, 20sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑋f (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22 psraddcl.p . . 3 + = (+g𝑆)
237, 9, 3, 22, 10, 12psradd 21842 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
24 reldmpsr 21808 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2524, 7, 9elbasov 17160 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2610, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2726simpld 494 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
287, 2, 8, 9, 27psrbas 21838 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2921, 23, 283eltr4d 2842 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  ccnv 5668  cima 5672  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  f cof 7665  m cmap 8822  Fincfn 8941  cn 12216  0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Mgmcmgm 18571   mPwSer cmps 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-mgm 18573  df-psr 21803
This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21860  psrlmod  21863  psrdi  21868  psrdir  21869  mplsubglem  21900  psdadd  22046
  Copyright terms: Public domain W3C validator