Theorem psraddcl 21493

Description: Closure of the power series addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddcl.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psraddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psraddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psraddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psraddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddcl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4	2, 3	grpcl 18823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
5	4	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
6	1, 5	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7		psraddcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psraddcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psraddcl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 21489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12		psraddcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 21489	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14		ovex 7438	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
15	14	rabex 5331	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17		inidm 4217	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18	6, 11, 13, 16, 16, 17	off 7684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19		fvex 6901	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20	19, 15	elmap 8861	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21	18, 20	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22		psraddcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
23	7, 9, 3, 22, 10, 12	psradd 21492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
24		reldmpsr 21458	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24, 7, 9	elbasov 17147	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
26	10, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	26	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
28	7, 2, 8, 9, 27	psrbas 21488	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
29	21, 23, 28	3eltr4d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815   mPwSer cmps 21448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-psr 21453

This theorem is referenced by:  psrgrpOLD  21509  psrlmod  21512  psrdi  21517  psrdir  21518  mplsubglem  21549