Theorem resspsradd 21931

Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsradd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 21894	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
8		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12		fvex 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		resspsr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14		resspsr.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
15	14	subrgbas 20516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17	subrgss 20507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
20	16, 19	eqsstrrd 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21		mapss 8828	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	12, 20, 21	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26		reldmpsr 21871	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mPwSer
27	26, 1, 2	elbasov 17144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
28	27	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
29	28	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
30	1, 24, 25, 2, 29	psrbas 21890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
31	8, 17, 25, 9, 29	psrbas 21890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
32	23, 30, 31	3sstr4d 3978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33	32, 5	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
34	32, 6	sseldd 3923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
35	8, 9, 10, 11, 33, 34	psradd 21894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
36	14, 10	ressplusg 17212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
37	13, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
39	38	ofeqd 7624	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (+g‘𝑅) = ∘f (+g‘𝐻))
40	39	oveqd 7375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
41	35, 40	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
42	2	fvexi 6846	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43		resspsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
44	43, 11	ressplusg 17212	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
45	42, 44	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
46	45	oveqd 7375	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))
47	7, 41, 46	3eqtr2d 2778	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  +_gcplusg 17178  SubRingcsubrg 20504   mPwSer cmps 21861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-subg 19057  df-ring 20174  df-subrg 20505  df-psr 21866

This theorem is referenced by:  subrgpsr  21934  ressmpladd  21985