MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsradd 20654
Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsradd ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 resspsr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2798 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
4 eqid 2798 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
6 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 20620 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋f (+g𝐻)𝑌))
8 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10 eqid 2798 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 eqid 2798 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
12 fvex 6658 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
13 resspsr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
1514subrgbas 19537 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
17 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1817subrgss 19529 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
1913, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
2016, 19eqsstrrd 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21 mapss 8436 . . . . . . . 8 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2212, 20, 21sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2322adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25 eqid 2798 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26 reldmpsr 20599 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
2726, 1, 2elbasov 16537 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2827ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2928simpld 498 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
301, 24, 25, 2, 29psrbas 20616 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
318, 17, 25, 9, 29psrbas 20616 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
3223, 30, 313sstr4d 3962 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3332, 5sseldd 3916 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
3432, 6sseldd 3916 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
358, 9, 10, 11, 33, 34psradd 20620 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
3614, 10ressplusg 16604 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝐻))
3713, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝐻))
3837adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (+g𝑅) = (+g𝐻))
39 ofeq 7391 . . . . 5 ((+g𝑅) = (+g𝐻) → ∘f (+g𝑅) = ∘f (+g𝐻))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ∘f (+g𝑅) = ∘f (+g𝐻))
4140oveqd 7152 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋f (+g𝑅)𝑌) = (𝑋f (+g𝐻)𝑌))
4235, 41eqtrd 2833 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋f (+g𝐻)𝑌))
432fvexi 6659 . . . 4 𝐵 ∈ V
44 resspsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
4544, 11ressplusg 16604 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑆) = (+g𝑃))
4643, 45mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (+g𝑆) = (+g𝑃))
4746oveqd 7152 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
487, 42, 473eqtr2d 2839 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441  wss 3881  ccnv 5518  cima 5522  cfv 6324  (class class class)co 7135  f cof 7387  m cmap 8389  Fincfn 8492  cn 11625  0cn0 11885  Basecbs 16475  s cress 16476  +gcplusg 16557  SubRingcsubrg 19524   mPwSer cmps 20589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-subg 18268  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-psr 20594
This theorem is referenced by:  subrgpsr  20657  ressmpladd  20697
  Copyright terms: Public domain W3C validator