Theorem resspsradd 22013

Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsradd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simprr 773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 21975	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
8		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12		fvex 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		resspsr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14		resspsr.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
15	14	subrgbas 20598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
17		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17	subrgss 20589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
20	16, 19	eqsstrrd 4035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21		mapss 8928	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	12, 20, 21	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26		reldmpsr 21952	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mPwSer
27	26, 1, 2	elbasov 17252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
28	27	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
29	28	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
30	1, 24, 25, 2, 29	psrbas 21971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
31	8, 17, 25, 9, 29	psrbas 21971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
32	23, 30, 31	3sstr4d 4043	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33	32, 5	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
34	32, 6	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
35	8, 9, 10, 11, 33, 34	psradd 21975	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
36	14, 10	ressplusg 17336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
37	13, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
39	38	ofeqd 7699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (+g‘𝑅) = ∘f (+g‘𝐻))
40	39	oveqd 7448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
41	35, 40	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
42	2	fvexi 6921	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43		resspsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
44	43, 11	ressplusg 17336	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
45	42, 44	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
46	45	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))
47	7, 41, 46	3eqtr2d 2781	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  SubRingcsubrg 20586   mPwSer cmps 21942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-subg 19154  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-psr 21947

This theorem is referenced by:  subrgpsr  22016  ressmpladd  22065