Theorem resspsradd 22178

Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsradd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		simprl 783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simprr 785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 22142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
8		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		resspsr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14		resspsr.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
15	14	subrgbas 20734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
17		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17	subrgss 20725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
19	13, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
20	16, 19	eqsstrrd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21		mapss 8893	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	12, 20, 21	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26		reldmpsr 22118	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mPwSer
27	26, 1, 2	elbasov 17302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
28	27	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
29	28	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
30	1, 24, 25, 2, 29	psrbas 22138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
31	8, 17, 25, 9, 29	psrbas 22138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
32	23, 30, 31	3sstr4d 3993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33	32, 5	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
34	32, 6	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
35	8, 9, 10, 11, 33, 34	psradd 22142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
36	14, 10	ressplusg 17370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
37	13, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
39	38	ofeqd 7686	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (+g‘𝑅) = ∘f (+g‘𝐻))
40	39	oveqd 7436	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
41	35, 40	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
42	2	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43		resspsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
44	43, 11	ressplusg 17370	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
45	42, 44	mp1i 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
46	45	oveqd 7436	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))
47	7, 41, 46	3eqtr2d 2806	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  ℕcn 12252  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17295   ↾_s cress 17316  +_gcplusg 17336  SubRingcsubrg 20722   mPwSer cmps 22108

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-tset 17355  df-subg 19237  df-ring 20365  df-subrg 20723  df-psr 22113

This theorem is used by:  subrgpsr  22181  ressmpladd  22233