Theorem resspsradd 22018

Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
resspsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
resspsr.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
resspsradd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspsr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2		resspsr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 21980	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
8		resspsr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
12		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		resspsr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14		resspsr.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
15	14	subrgbas 20609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
17		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	17	subrgss 20600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
20	16, 19	eqsstrrd 4048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21		mapss 8947	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22	12, 20, 21	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26		reldmpsr 21957	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mPwSer
27	26, 1, 2	elbasov 17265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
28	27	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
29	28	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
30	1, 24, 25, 2, 29	psrbas 21976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
31	8, 17, 25, 9, 29	psrbas 21976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
32	23, 30, 31	3sstr4d 4056	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33	32, 5	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
34	32, 6	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
35	8, 9, 10, 11, 33, 34	psradd 21980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
36	14, 10	ressplusg 17349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
37	13, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐻))
39	38	ofeqd 7716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ∘f (+g‘𝑅) = ∘f (+g‘𝐻))
40	39	oveqd 7465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
41	35, 40	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝐻)𝑌))
42	2	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43		resspsr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
44	43, 11	ressplusg 17349	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
45	42, 44	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
46	45	oveqd 7465	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑆)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))
47	7, 41, 46	3eqtr2d 2786	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  SubRingcsubrg 20595   mPwSer cmps 21947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-subg 19163  df-ring 20262  df-subrg 20597  df-psr 21952

This theorem is referenced by:  subrgpsr  22021  ressmpladd  22070