MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsradd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resspsradd 21873
Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
resspsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
resspsr.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
resspsradd ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Proof of Theorem resspsradd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 resspsr.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜π») = (+gβ€˜π»)
4 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
5 simprl 768 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simprr 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 21837 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋 ∘f (+gβ€˜π»)π‘Œ))
8 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
10 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
11 eqid 2726 . . . 4 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
12 fvex 6897 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
13 resspsr.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
14 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
1514subrgbas 20480 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1817subrgss 20471 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1913, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
2016, 19eqsstrrd 4016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
21 mapss 8882 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
2212, 20, 21sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
2322adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
25 eqid 2726 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
26 reldmpsr 21803 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
2726, 1, 2elbasov 17157 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2827ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2928simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ V)
301, 24, 25, 2, 29psrbas 21833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
318, 17, 25, 9, 29psrbas 21833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
3223, 30, 313sstr4d 4024 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
3332, 5sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3432, 6sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
358, 9, 10, 11, 33, 34psradd 21837 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋 ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘Œ))
3614, 10ressplusg 17241 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π»))
3713, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π»))
3837adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π»))
3938ofeqd 7668 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ∘f (+gβ€˜π‘…) = ∘f (+gβ€˜π»))
4039oveqd 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∘f (+gβ€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 ∘f (+gβ€˜π»)π‘Œ))
4135, 40eqtrd 2766 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋 ∘f (+gβ€˜π»)π‘Œ))
422fvexi 6898 . . . 4 𝐡 ∈ V
43 resspsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
4443, 11ressplusg 17241 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ƒ))
4542, 44mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘ƒ))
4645oveqd 7421 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
477, 41, 463eqtr2d 2772 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  +gcplusg 17203  SubRingcsubrg 20466   mPwSer cmps 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-tset 17222  df-subg 19047  df-ring 20137  df-subrg 20468  df-psr 21798
This theorem is referenced by:  subrgpsr  21876  ressmpladd  21921
  Copyright terms: Public domain W3C validator