MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrmul 21879
Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
resspsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
resspsr.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
resspsrmul ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))

Proof of Theorem resspsrmul
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21psrbaglefi 21826 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
32adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
4 resspsr.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
5 subrgsubg 20479 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 subgsubm 19075 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
98ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
104ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
11 resspsr.u . . . . . . . . . . . 12 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
13 resspsr.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
14 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1511, 12, 1, 13, 14psrelbas 21839 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑋:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
17 elrabi 3672 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} β†’ π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
18 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . 10 ((𝑋:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π») ∧ π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π»))
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π»))
20 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
2120subrgbas 20483 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
2210, 21syl 17 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
2319, 22eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ 𝑇)
24 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2511, 12, 1, 13, 24psrelbas 21839 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
2625ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
27 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} βŠ† {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
28 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜})
30 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} = {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}
311, 30psrbagconcl 21828 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜})
3228, 29, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜})
3327, 32sselid 3975 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
3426, 33ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3534, 22eleqtrrd 2830 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)) ∈ 𝑇)
36 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3736subrgmcl 20486 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ 𝑇 ∧ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)) ∈ 𝑇) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))) ∈ 𝑇)
3810, 23, 35, 37syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))) ∈ 𝑇)
3938fmpttd 7110 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))):{𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}βŸΆπ‘‡)
403, 9, 39, 20gsumsubm 18760 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))) = (𝐻 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))
4120, 36ressmulr 17261 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π»))
424, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π»))
4342ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π»))
4443oveqd 7422 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))) = ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))
4544mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))
4645oveq2d 7421 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝐻 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))) = (𝐻 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))
4740, 46eqtrd 2766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))) = (𝐻 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))
4847mpteq2dva 5241 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))) = (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝐻 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
49 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
50 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
51 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
52 fvex 6898 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
534, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
54 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
5554subrgss 20474 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
564, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5753, 56eqsstrrd 4016 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
58 mapss 8885 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (Baseβ€˜π») βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
5952, 57, 58sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
6059adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) βŠ† ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
61 reldmpsr 21808 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
6261, 11, 13elbasov 17160 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
6362ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
6463simpld 494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐼 ∈ V)
6511, 12, 1, 13, 64psrbas 21838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
6649, 54, 1, 50, 64psrbas 21838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
6760, 65, 663sstr4d 4024 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
6867, 14sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
6967, 24sseldd 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
7049, 50, 36, 51, 1, 68, 69psrmulfval 21846 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘†)π‘Œ) = (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
71 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π») = (.rβ€˜π»)
72 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘ˆ) = (.rβ€˜π‘ˆ)
7311, 13, 71, 72, 1, 14, 24psrmulfval 21846 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (𝐻 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π»)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
7448, 70, 733eqtr4rd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘†)π‘Œ))
7513fvexi 6899 . . . 4 𝐡 ∈ V
76 resspsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
7776, 51ressmulr 17261 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘ƒ))
7875, 77mp1i 13 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘ƒ))
7978oveqd 7422 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘†)π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
8074, 79eqtrd 2766 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207   Ξ£g cgsu 17395  SubMndcsubmnd 18712  SubGrpcsubg 19047  SubRingcsubrg 20469   mPwSer cmps 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-psr 21803
This theorem is referenced by:  subrgpsr  21881  ressmplmul  21927
  Copyright terms: Public domain W3C validator