MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrmul 19914
Description: A restricted power series algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsrmul ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsrmul
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmpsr 19858 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
2 resspsr.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 resspsr.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑈)
41, 2, 3elbasov 16404 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
54ad2antrl 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
65simpld 487 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
7 eqid 2778 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbaglefi 19869 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
96, 8sylan 572 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
10 resspsr.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11 subrgsubg 19267 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13 subgsubm 18088 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝑅))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubMnd‘𝑅))
1514ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝑅))
1610ad3antrrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
17 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
18 simprl 758 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
192, 17, 7, 3, 18psrelbas 19876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
2019adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
21 elrabi 3590 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} → 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
22 ffvelrn 6676 . . . . . . . . . 10 ((𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝐻))
2320, 21, 22syl2an 586 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝐻))
24 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
2524subrgbas 19270 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
2616, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
2723, 26eleqtrrd 2869 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ 𝑇)
28 simprr 760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
292, 17, 7, 3, 28psrelbas 19876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
3029ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
31 ssrab2 3948 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ⊆ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
326ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼 ∈ V)
33 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
34 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘})
35 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} = {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}
367, 35psrbagconcl 19870 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘})
3732, 33, 34, 36syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘})
3831, 37sseldi 3858 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3930, 38ffvelrnd 6679 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝐻))
4039, 26eleqtrrd 2869 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝑇)
41 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4241subrgmcl 19273 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝑇 ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ 𝑇) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ 𝑇)
4316, 27, 40, 42syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ 𝑇)
4443fmpttd 6704 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))):{𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}⟶𝑇)
459, 15, 44, 24gsumsubm 17844 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
4624, 41ressmulr 16484 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝐻))
4710, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r𝐻))
4847ad3antrrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → (.r𝑅) = (.r𝐻))
4948oveqd 6995 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝐻)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
5049mpteq2dva 5023 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝐻)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
5150oveq2d 6994 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐻 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝐻)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
5245, 51eqtrd 2814 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝐻 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝐻)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
5352mpteq2dva 5023 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝐻)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
54 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
55 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
56 eqid 2778 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
57 fvex 6514 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
5810, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
59 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6059subrgss 19262 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
6110, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
6258, 61eqsstr3d 3898 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
63 mapss 8253 . . . . . . . 8 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
6457, 62, 63sylancr 578 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
6564adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
662, 17, 7, 3, 6psrbas 19875 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
6754, 59, 7, 55, 6psrbas 19875 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
6865, 66, 673sstr4d 3906 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
6968, 18sseldd 3861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
7068, 28sseldd 3861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
7154, 55, 41, 56, 7, 69, 70psrmulfval 19882 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
72 eqid 2778 . . . 4 (.r𝐻) = (.r𝐻)
73 eqid 2778 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
742, 3, 72, 73, 7, 18, 28psrmulfval 19882 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝐻 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝐻)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
7553, 71, 743eqtr4rd 2825 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑆)𝑌))
763fvexi 6515 . . . 4 𝐵 ∈ V
77 resspsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
7877, 56ressmulr 16484 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (.r𝑆) = (.r𝑃))
7976, 78mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (.r𝑆) = (.r𝑃))
8079oveqd 6995 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑆)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))
8175, 80eqtrd 2814 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {crab 3092  Vcvv 3415  wss 3831   class class class wbr 4930  cmpt 5009  ccnv 5407  cima 5411  wf 6186  cfv 6190  (class class class)co 6978  𝑓 cof 7227  𝑟 cofr 7228  𝑚 cmap 8208  Fincfn 8308  cle 10477  cmin 10672  cn 11441  0cn0 11710  Basecbs 16342  s cress 16343  .rcmulr 16425   Σg cgsu 16573  SubMndcsubmnd 17805  SubGrpcsubg 18060  SubRingcsubrg 19257   mPwSer cmps 19848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-of 7229  df-ofr 7230  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-supp 7636  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-2o 7908  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-pm 8211  df-ixp 8262  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-fsupp 8631  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-seq 13188  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-tset 16443  df-0g 16574  df-gsum 16575  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-subg 18063  df-mgp 18966  df-ring 19025  df-subrg 19259  df-psr 19853
This theorem is referenced by:  subrgpsr  19916  ressmplmul  19955
  Copyright terms: Public domain W3C validator