Theorem psrvscacl 21886

Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvscacl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvscacl.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvscacl.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrvscacl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvscacl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		psrvscacl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringcl 20166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
5	4	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6	1, 5	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
7		psrvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		fconst6g 6712	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
10		psrvscacl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		psrvscacl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrvscacl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 2, 11, 12, 13	psrelbas 21869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
15		ovex 7379	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5277	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		inidm 4177	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	6, 9, 14, 17, 17, 18	off 7628	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
20	2	fvexi 6836	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
21	20, 16	elmap 8795	. . 3 ⊢ ((({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23		psrvscacl.n	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
24	10, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13	psrvsca 21884	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹))
25		reldmpsr 21849	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
26	25, 10, 12	elbasov 17124	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	13, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
28	27	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
29	10, 2, 11, 12, 28	psrbas 21868	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
30	22, 24, 29	3eltr4d 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  {csn 4576   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159   ·_𝑠 cvsca 17162  Ringcrg 20149   mPwSer cmps 21839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-tset 17177  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mgp 20057  df-ring 20151  df-psr 21844

This theorem is referenced by:  psrlmod  21895  psrass23l  21902  psrass23  21904  mpllsslem  21935  psdvsca  22077