MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscacl 21900
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrvscacl.n ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrvscacl.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrvscacl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrvscacl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
psrvscacl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
psrvscacl.y (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
psrvscacl (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 psrvscacl.k . . . . . . 7 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
42, 3ringcl 20194 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
543expb 1117 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
61, 5sylan 578 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
7 psrvscacl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 fconst6g 6781 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โ†’ ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
97, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
10 psrvscacl.s . . . . 5 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
11 eqid 2725 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
12 psrvscacl.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
13 psrvscacl.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 21883 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
15 ovex 7449 . . . . . 6 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
1615rabex 5329 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V
1716a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V)
18 inidm 4213 . . . 4 ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฉ {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
196, 9, 14, 17, 17, 18off 7700 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
202fvexi 6906 . . . 4 ๐พ โˆˆ V
2120, 16elmap 8888 . . 3 ((({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น) โˆˆ (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†” (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
2219, 21sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น) โˆˆ (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}))
23 psrvscacl.n . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
2410, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 21898 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) = (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น))
25 reldmpsr 21851 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2625, 10, 12elbasov 17186 . . . . 5 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2713, 26syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2827simpld 493 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
2910, 2, 11, 12, 28psrbas 21882 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}))
3022, 24, 293eltr4d 2840 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  {csn 4624   ร— cxp 5670  โ—กccnv 5671   โ€œ cima 5675  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆ˜f cof 7680   โ†‘m cmap 8843  Fincfn 8962  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ยท๐‘  cvsca 17236  Ringcrg 20177   mPwSer cmps 21841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mgp 20079  df-ring 20179  df-psr 21846
This theorem is referenced by:  psrlmod  21909  psrass23l  21916  psrass23  21918  mpllsslem  21949  psdvsca  22096
  Copyright terms: Public domain W3C validator