MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscacl 20101
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvscacl.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrvscacl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvscacl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvscacl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrvscacl.x (𝜑𝑋𝐾)
psrvscacl.y (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrvscacl (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 psrvscacl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2818 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
42, 3ringcl 19240 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
543expb 1112 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
61, 5sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
7 psrvscacl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
8 fconst6g 6561 . . . . 5 (𝑋𝐾 → ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
10 psrvscacl.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11 eqid 2818 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 psrvscacl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 psrvscacl.y . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 20087 . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
15 ovex 7178 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1615rabex 5226 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18 inidm 4192 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
196, 9, 14, 17, 17, 18off 7413 . . 3 (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
202fvexi 6677 . . . 4 𝐾 ∈ V
2120, 16elmap 8424 . . 3 ((({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝐹) ∈ (𝐾m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
2219, 21sylibr 235 . 2 (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝐹) ∈ (𝐾m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23 psrvscacl.n . . 3 · = ( ·𝑠𝑆)
2410, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 20099 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)𝐹))
25 reldmpsr 20069 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2625, 10, 12elbasov 16533 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2713, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2827simpld 495 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
2910, 2, 11, 12, 28psrbas 20086 . 2 (𝜑𝐵 = (𝐾m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
3022, 24, 293eltr4d 2925 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  {csn 4557   × cxp 5546  ccnv 5547  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8395  Fincfn 8497  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  .rcmulr 16554   ·𝑠 cvsca 16557  Ringcrg 19226   mPwSer cmps 20059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-psr 20064
This theorem is referenced by:  psrlmod  20109  psrass23l  20116  psrass23  20118  mpllsslem  20143
  Copyright terms: Public domain W3C validator