Theorem psrvscacl 22082

Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvscacl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvscacl.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvscacl.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrvscacl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvscacl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		psrvscacl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringcl 20333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
5	4	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6	1, 5	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
7		psrvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		fconst6g 6769	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
10		psrvscacl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		psrvscacl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrvscacl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 2, 11, 12, 13	psrelbas 22066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
15		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5311	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		inidm 4180	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	6, 9, 14, 17, 17, 18	off 7694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
20	2	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
21	20, 16	elmap 8870	. . 3 ⊢ ((({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
22	19, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23		psrvscacl.n	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
24	10, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13	psrvsca 22080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹))
25		reldmpsr 22045	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
26	25, 10, 12	elbasov 17277	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	13, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
28	27	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
29	10, 2, 11, 12, 28	psrbas 22065	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
30	22, 24, 29	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455  {csn 4590   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   ·_𝑠 cvsca 17315  Ringcrg 20316   mPwSer cmps 22035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mgp 20218  df-ring 20318  df-psr 22040

This theorem is referenced by:  psrlmod  22090  psrass23l  22097  psrass23  22099  mpllsslem  22130  psdvsca  22308