MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscacl 21377
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrvscacl.n ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrvscacl.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrvscacl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrvscacl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
psrvscacl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
psrvscacl.y (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
psrvscacl (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 psrvscacl.k . . . . . . 7 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
42, 3ringcl 19986 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
543expb 1121 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
61, 5sylan 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
7 psrvscacl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 fconst6g 6732 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โ†’ ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
97, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
10 psrvscacl.s . . . . 5 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
11 eqid 2733 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
12 psrvscacl.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
13 psrvscacl.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 21363 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
15 ovex 7391 . . . . . 6 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
1615rabex 5290 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V
1716a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V)
18 inidm 4179 . . . 4 ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฉ {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
196, 9, 14, 17, 17, 18off 7636 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
202fvexi 6857 . . . 4 ๐พ โˆˆ V
2120, 16elmap 8812 . . 3 ((({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น) โˆˆ (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†” (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
2219, 21sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น) โˆˆ (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}))
23 psrvscacl.n . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
2410, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 21375 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) = (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น))
25 reldmpsr 21332 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2625, 10, 12elbasov 17095 . . . . 5 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2713, 26syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2827simpld 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
2910, 2, 11, 12, 28psrbas 21362 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}))
3022, 24, 293eltr4d 2849 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  {csn 4587   ร— cxp 5632  โ—กccnv 5633   โ€œ cima 5637  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆ˜f cof 7616   โ†‘m cmap 8768  Fincfn 8886  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088  .rcmulr 17139   ยท๐‘  cvsca 17142  Ringcrg 19969   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-tset 17157  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  psrlmod  21386  psrass23l  21393  psrass23  21395  mpllsslem  21422
  Copyright terms: Public domain W3C validator