MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscacl 21854
Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrvscacl.n ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrvscacl.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrvscacl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrvscacl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
psrvscacl.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
psrvscacl.y (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
psrvscacl (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) โˆˆ ๐ต)

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 psrvscacl.k . . . . . . 7 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
42, 3ringcl 20155 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
543expb 1117 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
61, 5sylan 579 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
7 psrvscacl.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 fconst6g 6774 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โ†’ ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
97, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
10 psrvscacl.s . . . . 5 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
11 eqid 2726 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
12 psrvscacl.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
13 psrvscacl.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 21839 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
15 ovex 7438 . . . . . 6 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
1615rabex 5325 . . . . 5 {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V
1716a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V)
18 inidm 4213 . . . 4 ({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฉ {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
196, 9, 14, 17, 17, 18off 7685 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
202fvexi 6899 . . . 4 ๐พ โˆˆ V
2120, 16elmap 8867 . . 3 ((({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น) โˆˆ (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†” (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น):{๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ๐พ)
2219, 21sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น) โˆˆ (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}))
23 psrvscacl.n . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
2410, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 21852 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) = (({๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)๐น))
25 reldmpsr 21808 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2625, 10, 12elbasov 17160 . . . . 5 (๐น โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2713, 26syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ V))
2827simpld 494 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
2910, 2, 11, 12, 28psrbas 21838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (๐พ โ†‘m {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}))
3022, 24, 293eltr4d 2842 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐น) โˆˆ ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  {csn 4623   ร— cxp 5667  โ—กccnv 5668   โ€œ cima 5672  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ยท๐‘  cvsca 17210  Ringcrg 20138   mPwSer cmps 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-psr 21803
This theorem is referenced by:  psrlmod  21863  psrass23l  21870  psrass23  21872  mpllsslem  21901  psdvsca  22047
  Copyright terms: Public domain W3C validator