Theorem psrvscacl 22138

Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvscacl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvscacl.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvscacl.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrvscacl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvscacl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		psrvscacl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringcl 20363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
5	4	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6	1, 5	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
7		psrvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		fconst6g 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
10		psrvscacl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		psrvscacl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrvscacl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 2, 11, 12, 13	psrelbas 22122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
15		ovex 7456	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5314	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		inidm 4182	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	6, 9, 14, 17, 17, 18	off 7705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
20	2	fvexi 6902	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
21	20, 16	elmap 8878	. . 3 ⊢ ((({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
22	19, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23		psrvscacl.n	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
24	10, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13	psrvsca 22136	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹))
25		reldmpsr 22101	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
26	25, 10, 12	elbasov 17301	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	13, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
28	27	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
29	10, 2, 11, 12, 28	psrbas 22121	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
30	22, 24, 29	3eltr4d 2881	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458  {csn 4594   × cxp 5664  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336   ·_𝑠 cvsca 17339  Ringcrg 20346   mPwSer cmps 22091

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-tset 17354  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mgp 20248  df-ring 20348  df-psr 22096

This theorem is used by:  psrlmod  22146  psrass23l  22153  psrass23  22155  mpllsslem  22186  psdvsca  22364