Theorem psrvscacl 21989

Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvscacl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvscacl.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvscacl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvscacl.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrvscacl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvscacl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		psrvscacl.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	2, 3	ringcl 20268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
5	4	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
6	1, 5	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
7		psrvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
8		fconst6g 6798	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐾 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
10		psrvscacl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12		psrvscacl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrvscacl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
14	10, 2, 11, 12, 13	psrelbas 21972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
15		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	15	rabex 5345	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18		inidm 4235	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19	6, 9, 14, 17, 17, 18	off 7715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
20	2	fvexi 6921	. . . 4 ⊢ 𝐾 ∈ V
21	20, 16	elmap 8910	. . 3 ⊢ ((({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹) ∈ (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
23		psrvscacl.n	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
24	10, 23, 2, 12, 3, 11, 7, 13	psrvsca 21987	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)𝐹))
25		reldmpsr 21952	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
26	25, 10, 12	elbasov 17252	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	13, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
28	27	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
29	10, 2, 11, 12, 28	psrbas 21971	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
30	22, 24, 29	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  {csn 4631   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299   ·_𝑠 cvsca 17302  Ringcrg 20251   mPwSer cmps 21942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-psr 21947

This theorem is referenced by:  psrlmod  21998  psrass23l  22005  psrass23  22007  mpllsslem  22038  psdvsca  22186