Theorem psrmulr 21153

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulr	⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝐵   𝑦,𝑓,𝐷,𝑔,𝑘,𝑥   𝑓,ℎ,𝐼,𝑔,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝑅,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)

Proof of Theorem psrmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrmulr.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrmulr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrmulr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
9	1, 2, 6, 7, 8	psrbas 21147	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
11	1, 7, 3, 10	psrplusg 21150	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15	psrval 21118	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
17	16	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r‘𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
18		psrmulr.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
19	7	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19, 19	mpoex 7920	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) ∈ V
21		psrvalstr 21119	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22		mulrid 17004	. . . . 5 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
23		snsstp3 4751	. . . . . 6 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩}
24		ssun1 4106	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
25	23, 24	sstri 3930	. . . . 5 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
26	21, 22, 25	strfv 16905	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
27	20, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
28	17, 18, 27	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
29	22	str0 16890	. . . 4 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
30	29	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (.r‘∅) = ∅
31		reldmpsr 21117	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
32	31	ovprc 7313	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
33	1, 32	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
34	33	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r‘𝑆) = (.r‘∅))
35	18, 34	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (.r‘∅))
36	33	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
37		base0 16917	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
38	36, 7, 37	3eqtr4g 2803	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
39	38	olcd 871	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
40		0mpo0 7358	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = ∅)
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = ∅)
42	30, 35, 41	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
43	28, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ∪ cun 3885  ∅c0 4256  {csn 4561  {ctp 4565  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277   ∘_f cof 7531   ∘_r cofr 7532   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  1c1 10872   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  TopSetcts 16968  TopOpenctopn 17132  ∏_tcpt 17149   Σ_g cgsu 17151   mPwSer cmps 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-psr 21112

This theorem is referenced by:  psrmulfval  21154  psrsca  21158  psrvscafval  21159