Theorem psrmulr 20909

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulr	⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝐵   𝑦,𝑓,𝐷,𝑔,𝑘,𝑥   𝑓,ℎ,𝐼,𝑔,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝑅,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)

Proof of Theorem psrmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrmulr.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrmulr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrmulr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
9	1, 2, 6, 7, 8	psrbas 20903	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
11	1, 7, 3, 10	psrplusg 20906	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
15		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15	psrval 20874	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
17	16	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r‘𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
18		psrmulr.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
19	7	fvexi 6731	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19, 19	mpoex 7850	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) ∈ V
21		psrvalstr 20875	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22		mulrid 16838	. . . . 5 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
23		snsstp3 4731	. . . . . 6 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩}
24		ssun1 4086	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
25	23, 24	sstri 3910	. . . . 5 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
26	21, 22, 25	strfv 16754	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
27	20, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
28	17, 18, 27	3eqtr4g 2803	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
29	22	str0 16742	. . . 4 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
30	29	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (.r‘∅) = ∅
31		reldmpsr 20873	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
32	31	ovprc 7251	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
33	1, 32	syl5eq 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
34	33	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r‘𝑆) = (.r‘∅))
35	18, 34	syl5eq 2790	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (.r‘∅))
36	33	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
37		base0 16765	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
38	36, 7, 37	3eqtr4g 2803	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
39	38	olcd 874	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
40		0mpo0 7294	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = ∅)
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = ∅)
42	30, 35, 41	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
43	28, 42	pm2.61i 185	1 ⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408   ∪ cun 3864  ∅c0 4237  {csn 4541  {ctp 4545  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215   ∘_f cof 7467   ∘_r cofr 7468   ↑_m cmap 8508  Fincfn 8626  1c1 10730   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  9c9 11892  ℕ₀cn0 12090  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  ._rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  TopSetcts 16808  TopOpenctopn 16926  ∏_tcpt 16943   Σ_g cgsu 16945   mPwSer cmps 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-psr 20868

This theorem is referenced by:  psrmulfval  20910  psrsca  20914  psrvscafval  20915