Theorem psrmulr 21867

Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrmulr.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
psrmulr.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulr	⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑘,𝑥,𝐵   𝑦,𝑓,𝐷,𝑔,𝑘,𝑥   𝑓,ℎ,𝐼,𝑔,𝑘,𝑥,𝑦   · ,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥   𝑅,𝑓,𝑔,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(𝑦,ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,ℎ,𝑘)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,ℎ,𝑘)   · (𝑦,ℎ)

Proof of Theorem psrmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		psrmulr.m	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrmulr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrmulr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
9	1, 2, 6, 7, 8	psrbas 21858	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
11	1, 7, 3, 10	psrplusg 21861	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15	psrval 21840	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
17	16	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r‘𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
18		psrmulr.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑆)
19	7	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19, 19	mpoex 8021	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) ∈ V
21		psrvalstr 21841	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22		mulridx 17217	. . . . 5 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
23		snsstp3 4772	. . . . . 6 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩}
24		ssun1 4131	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
25	23, 24	sstri 3947	. . . . 5 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
26	21, 22, 25	strfv 17132	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
27	20, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g‘𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
28	17, 18, 27	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
29	22	str0 17118	. . . 4 ⊢ ∅ = (.r‘∅)
30	29	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (.r‘∅) = ∅
31		reldmpsr 21839	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
32	31	ovprc 7391	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
33	1, 32	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
34	33	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (.r‘𝑆) = (.r‘∅))
35	18, 34	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (.r‘∅))
36	33	fveq2d 6830	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
37		base0 17143	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
38	36, 7, 37	3eqtr4g 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
39	38	olcd 874	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
40		0mpo0 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = ∅)
41	39, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = ∅)
42	30, 35, 41	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
43	28, 42	pm2.61i 182	1 ⊢ ∙ = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438   ∪ cun 3903  ∅c0 4286  {csn 4579  {ctp 4583  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  1c1 11029   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕcn 12146  9c9 12208  ℕ₀cn0 12402  ndxcnx 17122  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  TopSetcts 17185  TopOpenctopn 17343  ∏_tcpt 17360   Σ_g cgsu 17362   mPwSer cmps 21829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-tset 17198  df-psr 21834

This theorem is referenced by:  psrmulfval  21868  psrsca  21872  psrvscafval  21873