MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrmulr 21840
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrmulr.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
psrmulr.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
psrmulr.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulr βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝐡   𝑦,𝑓,𝐷,𝑔,π‘˜,π‘₯   𝑓,β„Ž,𝐼,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯   𝑅,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦,β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑅(𝑦,β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘˜)   βˆ™ (π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘˜)   Β· (𝑦,β„Ž)
Proof of Theorem psrmulr
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 psrmulr.m . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 psrmulr.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 psrmulr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 21833 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
10 eqid 2726 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
111, 7, 3, 10psrplusg 21836 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
12 eqid 2726 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
13 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))
14 eqidd 2727 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
15 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15psrval 21804 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1716fveq2d 6888 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
18 psrmulr.t . . 3 βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
197fvexi 6898 . . . . 5 𝐡 ∈ V
2019, 19mpoex 8062 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) ∈ V
21 psrvalstr 21805 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22 mulridx 17245 . . . . 5 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
23 snsstp3 4816 . . . . . 6 {⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩}
24 ssun1 4167 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2523, 24sstri 3986 . . . . 5 {⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2621, 22, 25strfv 17143 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) ∈ V β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2720, 26ax-mp 5 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2817, 18, 273eqtr4g 2791 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))))
2922str0 17128 . . . 4 βˆ… = (.rβ€˜βˆ…)
3029eqcomi 2735 . . 3 (.rβ€˜βˆ…) = βˆ…
31 reldmpsr 21803 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
3231ovprc 7442 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
331, 32eqtrid 2778 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3433fveq2d 6888 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜βˆ…))
3518, 34eqtrid 2778 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (.rβ€˜βˆ…))
3633fveq2d 6888 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
37 base0 17155 . . . . . 6 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3836, 7, 373eqtr4g 2791 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
3938olcd 871 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…))
40 0mpo0 7487 . . . 4 ((𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = βˆ…)
4139, 40syl 17 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = βˆ…)
4230, 35, 413eqtr4a 2792 . 2 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))))
4328, 42pm2.61i 182 1 βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {ctp 4627  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  1c1 11110   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  9c9 12275  β„•0cn0 12473  ndxcnx 17132  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  TopSetcts 17209  TopOpenctopn 17373  βˆtcpt 17390   Ξ£g cgsu 17392   mPwSer cmps 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-tset 17222  df-psr 21798
This theorem is referenced by:  psrmulfval  21841  psrsca  21845  psrvscafval  21846
  Copyright terms: Public domain W3C validator