MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psrmulr 21494
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrmulr.m Β· = (.rβ€˜π‘…)
psrmulr.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
psrmulr.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulr βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝐡   𝑦,𝑓,𝐷,𝑔,π‘˜,π‘₯   𝑓,β„Ž,𝐼,𝑔,π‘˜,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯   𝑅,𝑓,𝑔,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑦,β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑅(𝑦,β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘˜)   βˆ™ (π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘˜)   Β· (𝑦,β„Ž)
Proof of Theorem psrmulr
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 psrmulr.m . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
6 psrmulr.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 psrmulr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 21488 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
10 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
111, 7, 3, 10psrplusg 21491 . . . . 5 (+gβ€˜π‘†) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))
12 eqid 2732 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
13 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))
14 eqidd 2733 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})) = (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)})))
15 simpr 485 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 8, 15psrval 21459 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
1716fveq2d 6892 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
18 psrmulr.t . . 3 βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
197fvexi 6902 . . . . 5 𝐡 ∈ V
2019, 19mpoex 8062 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) ∈ V
21 psrvalstr 21460 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
22 mulridx 17235 . . . . 5 .r = Slot (.rβ€˜ndx)
23 snsstp3 4820 . . . . . 6 {⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩}
24 ssun1 4171 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2523, 24sstri 3990 . . . . 5 {⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βŠ† ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})
2621, 22, 25strfv 17133 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) ∈ V β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩})))
2720, 26ax-mp 5 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = (.rβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘†)⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑓 ∈ 𝐡 ↦ ((𝐷 Γ— {π‘₯}) ∘f Β· 𝑓))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐷 Γ— {(TopOpenβ€˜π‘…)}))⟩}))
2817, 18, 273eqtr4g 2797 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))))
2922str0 17118 . . . 4 βˆ… = (.rβ€˜βˆ…)
3029eqcomi 2741 . . 3 (.rβ€˜βˆ…) = βˆ…
31 reldmpsr 21458 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
3231ovprc 7443 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
331, 32eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = βˆ…)
3433fveq2d 6892 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜βˆ…))
3518, 34eqtrid 2784 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (.rβ€˜βˆ…))
3633fveq2d 6892 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
37 base0 17145 . . . . . 6 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
3836, 7, 373eqtr4g 2797 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝐡 = βˆ…)
3938olcd 872 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…))
40 0mpo0 7488 . . . 4 ((𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = βˆ…)
4139, 40syl 17 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))) = βˆ…)
4230, 35, 413eqtr4a 2798 . 2 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))))))
4328, 42pm2.61i 182 1 βˆ™ = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945  βˆ…c0 4321  {csn 4627  {ctp 4631  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  1c1 11107   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  9c9 12270  β„•0cn0 12468  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  TopSetcts 17199  TopOpenctopn 17363  βˆtcpt 17380   Ξ£g cgsu 17382   mPwSer cmps 21448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-psr 21453
This theorem is referenced by:  psrmulfval  21495  psrsca  21499  psrvscafval  21500
  Copyright terms: Public domain W3C validator