Theorem psrmulcllem 19788

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulcllem	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrmulcl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringcmn 18972	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrmulcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		reldmpsr 19762	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom mPwSer
9		psrmulcl.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		psrmulcl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11	8, 9, 10	elbasov 16321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
13	12	simpld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14		psrmulcl.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15	14	psrbaglefi 19773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
16	13, 15	sylan 575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ∈ Fin)
17	3	ad2antrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
18	9, 1, 14, 10, 7	psrelbas 19780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
19	18	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20		simpr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘})
21		breq1 4891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
22	21	elrab 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
23	20, 22	sylib 210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘))
24	23	simpld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
25	19, 24	ffvelrnd 6626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
26		psrmulcl.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
27	9, 1, 14, 10, 26	psrelbas 19780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
28	27	ad2antrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
29	13	ad2antrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝐼 ∈ V)
30		simplr 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
31	14	psrbagf 19766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
32	29, 24, 31	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
33	23	simprd 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘)
34	14	psrbagcon 19772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘𝑟 ≤ 𝑘)) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∘𝑟 ≤ 𝑘))
35	29, 30, 32, 33, 34	syl13anc 1440	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∘𝑟 ≤ 𝑘))
36	35	simpld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘𝑓 − 𝑥) ∈ 𝐷)
37	28, 36	ffvelrnd 6626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
38		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
39	1, 38	ringcl 18952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
40	17, 25, 37, 39	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41	40	fmpttd 6651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘}⟶(Base‘𝑅))
42		fvexd 6463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
43	41, 16, 42	fdmfifsupp 8575	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
44	1, 2, 6, 16, 41, 43	gsumcl 18706	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
45	44	fmpttd 6651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
46		fvex 6461	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
47		ovex 6956	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V
48	14, 47	rabex2 5053	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
49	46, 48	elmap 8171	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
50	45, 49	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
51		psrmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
52	9, 10, 38, 51, 14, 7, 26	psrmulfval 19786	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘𝑟 ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘𝑓 − 𝑥)))))))
53	9, 1, 14, 10, 13	psrbas 19779	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
54	50, 52, 53	3eltr4d 2874	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ^◡ccnv 5356   “ cima 5360  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924   ∘_𝑓 cof 7174   ∘_𝑟 cofr 7175   ↑_𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243   ≤ cle 10414   − cmin 10608  ℕcn 11378  ℕ₀cn0 11646  Basecbs 16259  ._rcmulr 16343  0_gc0g 16490   Σ_g cgsu 16491  CMndccmn 18583  Ringcrg 18938   mPwSer cmps 19752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-hash 13440  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-tset 16361  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-psr 19757

This theorem is referenced by:  psrmulcl  19789