Theorem psrmulcllem 22260

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulcllem	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmulcl.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2		psrmulcl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		psrmulcl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		psrmulcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		psrmulcl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	3, 4, 1, 5, 6	psrelbas 22250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8		psrmulcl.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	3, 4, 1, 5, 8	psrelbas 22250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10	1, 2, 7, 9	rhmpsrlem2 22256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
11	10	fmpttd 7118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
12		fvex 6901	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
13		ovex 7455	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
14	1, 13	rabex2 5301	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
15	12, 14	elmap 8904	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	11, 15	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
17		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		psrmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
19	3, 5, 17, 18, 1, 6, 8	psrmulfval 22258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
20		reldmpsr 22229	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
21	20, 3, 5	elbasov 17401	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
22	6, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
23	22	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
24	3, 4, 1, 5, 23	psrbas 22249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
25	16, 19, 24	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∘_f cof 7693   ∘_r cofr 7694   ↑_m cmap 8852  Fincfn 8978   ≤ cle 11349   − cmin 11546  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  Basecbs 17394  ._rcmulr 17436   Σ_g cgsu 17618  Ringcrg 20466   mPwSer cmps 22219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-ofr 7696  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-hash 14480  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-tset 17454  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-ring 20468  df-psr 22224

This theorem is used by:  psrmulcl  22261