Theorem psrmulcllem 21156

Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmulcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrmulcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrmulcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrmulcl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrmulcllem	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
3		psrmulcl.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
5		ringcmn 19820	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7		psrmulcl.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8	7	psrbaglefi 21135	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
10	3	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
11		psrmulcl.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12		psrmulcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
13		psrmulcl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	11, 1, 7, 12, 13	psrelbas 21148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
17		breq1 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∘r ≤ 𝑘 ↔ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
18	17	elrab 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
19	16, 18	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘))
20	19	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
21	15, 20	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
22		psrmulcl.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	11, 1, 7, 12, 22	psrelbas 21148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
24	23	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑘 ∈ 𝐷)
26	7	psrbagf 21121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
28	19	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∘r ≤ 𝑘)
29	7	psrbagcon 21133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑥 ∘r ≤ 𝑘) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑘))
30	25, 27, 28, 29	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘 ∘f − 𝑥) ∘r ≤ 𝑘))
31	30	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
32	24, 31	ffvelrnd 6962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
33		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	1, 33	ringcl 19800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
35	10, 21, 32, 34	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
36	35	fmpttd 6989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}⟶(Base‘𝑅))
37		fvexd 6789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (0g‘𝑅) ∈ V)
38	36, 9, 37	fdmfifsupp 9138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
39	1, 2, 6, 9, 36, 38	gsumcl 19516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
40	39	fmpttd 6989	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41		fvex 6787	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
42		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	7, 42	rabex2 5258	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	41, 43	elmap 8659	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
45	40, 44	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
46		psrmulcl.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
47	11, 12, 33, 46, 7, 13, 22	psrmulfval 21154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
48		reldmpsr 21117	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
49	48, 11, 12	elbasov 16919	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
50	13, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
51	50	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
52	11, 1, 7, 12, 51	psrbas 21147	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
53	45, 47, 52	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531   ∘_r cofr 7532   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783   mPwSer cmps 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-psr 21112

This theorem is referenced by:  psrmulcl  21157