MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulcllem 21983
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t · = (.r𝑆)
psrmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psrmulcl.y (𝜑𝑌𝐵)
psrmulcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulcl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2 psrmulcl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3 psrmulcl.s . . . . . 6 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 psrmulcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
6 psrmulcl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
73, 4, 1, 5, 6psrelbas 21972 . . . . 5 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
8 psrmulcl.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
93, 4, 1, 5, 8psrelbas 21972 . . . . 5 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
101, 2, 7, 9rhmpsrlem2 21979 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
1110fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
12 fvex 6920 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
13 ovex 7464 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
141, 13rabex2 5347 . . . 4 𝐷 ∈ V
1512, 14elmap 8910 . . 3 ((𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1611, 15sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
17 eqid 2735 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
18 psrmulcl.t . . 3 · = (.r𝑆)
193, 5, 17, 18, 1, 6, 8psrmulfval 21981 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
20 reldmpsr 21952 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2120, 3, 5elbasov 17252 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
226, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2322simpld 494 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
243, 4, 1, 5, 23psrbas 21971 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
2516, 19, 243eltr4d 2854 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  m cmap 8865  Fincfn 8984  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487  Ringcrg 20251   mPwSer cmps 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-psr 21947
This theorem is referenced by:  psrmulcl  21984
  Copyright terms: Public domain W3C validator