MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulcllem 21725
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrmulcl.t Β· = (.rβ€˜π‘†)
psrmulcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
psrmulcl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
psrmulcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   Β· (𝑓)   𝑋(𝑓)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2730 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54ringcmnd 20172 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 psrmulcl.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
76psrbaglefi 21704 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
87adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
9 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
103ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 psrmulcl.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 psrmulcl.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
13 psrmulcl.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1411, 1, 6, 12, 13psrelbas 21717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1514ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
16 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜})
17 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∘r ≀ π‘˜ ↔ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜))
1817elrab 3682 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜))
1916, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜))
2019simpld 493 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2115, 20ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
22 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2311, 1, 6, 12, 22psrelbas 21717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
2423ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
25 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
266psrbagf 21690 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
2819simprd 494 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜)
296psrbagcon 21702 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ π‘˜))
3025, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ π‘˜))
3130simpld 493 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷)
3224, 31ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
331, 9, 10, 21, 32ringcld 20151 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3433fmpttd 7115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}⟢(Baseβ€˜π‘…))
35 fvexd 6905 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3634, 8, 35fdmfifsupp 9375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
371, 2, 5, 8, 34, 36gsumcl 19824 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3837fmpttd 7115 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
39 fvex 6903 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
40 ovex 7444 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
416, 40rabex2 5333 . . . 4 𝐷 ∈ V
4239, 41elmap 8867 . . 3 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
4338, 42sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
44 psrmulcl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘†)
4511, 12, 9, 44, 6, 13, 22psrmulfval 21723 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
46 reldmpsr 21686 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
4746, 11, 12elbasov 17155 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4813, 47syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4948simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
5011, 1, 6, 12, 49psrbas 21716 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
5143, 45, 503eltr4d 2846 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ∘r cofr 7671   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Ringcrg 20127   mPwSer cmps 21676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-tset 17220  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-psr 21681
This theorem is referenced by:  psrmulcl  21726
  Copyright terms: Public domain W3C validator