MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulcllem 21137
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t · = (.r𝑆)
psrmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psrmulcl.y (𝜑𝑌𝐵)
psrmulcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2739 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2739 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
5 ringcmn 19801 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrmulcl.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
87psrbaglefi 21116 . . . . . 6 (𝑘𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
103ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
11 psrmulcl.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 psrmulcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 psrmulcl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1411, 1, 7, 12, 13psrelbas 21129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
17 breq1 5081 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦r𝑘𝑥r𝑘))
1817elrab 3625 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↔ (𝑥𝐷𝑥r𝑘))
1916, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥𝐷𝑥r𝑘))
2019simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
2115, 20ffvelrnd 6956 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
22 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2311, 1, 7, 12, 22psrelbas 21129 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2423ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
267psrbagf 21102 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
2819simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥r𝑘)
297psrbagcon 21114 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0𝑥r𝑘) → ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘f𝑥) ∘r𝑘))
3025, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘f𝑥) ∘r𝑘))
3130simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
3224, 31ffvelrnd 6956 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
33 eqid 2739 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
341, 33ringcl 19781 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
3510, 21, 32, 34syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
3635fmpttd 6983 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))):{𝑦𝐷𝑦r𝑘}⟶(Base‘𝑅))
37 fvexd 6783 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
3836, 9, 37fdmfifsupp 9099 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
391, 2, 6, 9, 36, 38gsumcl 19497 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
4039fmpttd 6983 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
41 fvex 6781 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
42 ovex 7301 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
437, 42rabex2 5261 . . . 4 𝐷 ∈ V
4441, 43elmap 8633 . . 3 ((𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
4540, 44sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
46 psrmulcl.t . . 3 · = (.r𝑆)
4711, 12, 33, 46, 7, 13, 22psrmulfval 21135 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
48 reldmpsr 21098 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
4948, 11, 12elbasov 16900 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
5013, 49syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
5150simpld 494 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
5211, 1, 7, 12, 51psrbas 21128 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
5345, 47, 523eltr4d 2855 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  {crab 3069  Vcvv 3430   class class class wbr 5078  cmpt 5161  ccnv 5587  cima 5591  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  f cof 7522  r cofr 7523  m cmap 8589  Fincfn 8707  cle 10994  cmin 11188  cn 11956  0cn0 12216  Basecbs 16893  .rcmulr 16944  0gc0g 17131   Σg cgsu 17132  CMndccmn 19367  Ringcrg 19764   mPwSer cmps 21088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-tset 16962  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-psr 21093
This theorem is referenced by:  psrmulcl  21138
  Copyright terms: Public domain W3C validator