MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulcllem 21371
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrmulcl.t Β· = (.rβ€˜π‘†)
psrmulcl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
psrmulcl.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
psrmulcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   Β· (𝑓)   𝑋(𝑓)   π‘Œ(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables π‘₯ π‘˜ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
54ringcmnd 20010 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6 psrmulcl.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
76psrbaglefi 21350 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
87adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
9 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
103ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 psrmulcl.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12 psrmulcl.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
13 psrmulcl.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1411, 1, 6, 12, 13psrelbas 21363 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
16 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜})
17 breq1 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∘r ≀ π‘˜ ↔ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜))
1817elrab 3646 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜))
1916, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜))
2019simpld 496 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
2115, 20ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
22 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2311, 1, 6, 12, 22psrelbas 21363 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
25 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
266psrbagf 21336 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0)
2819simprd 497 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜)
296psrbagcon 21348 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ π‘₯:πΌβŸΆβ„•0 ∧ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ π‘˜))
3025, 27, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷 ∧ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∘r ≀ π‘˜))
3130simpld 496 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯) ∈ 𝐷)
3224, 31ffvelcdmd 7037 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
331, 9, 10, 21, 32ringcld 19991 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3433fmpttd 7064 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))):{𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜}⟢(Baseβ€˜π‘…))
35 fvexd 6858 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3634, 8, 35fdmfifsupp 9320 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
371, 2, 5, 8, 34, 36gsumcl 19697 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3837fmpttd 7064 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
39 fvex 6856 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
40 ovex 7391 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
416, 40rabex2 5292 . . . 4 𝐷 ∈ V
4239, 41elmap 8812 . . 3 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
4338, 42sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
44 psrmulcl.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘†)
4511, 12, 9, 44, 6, 13, 22psrmulfval 21369 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≀ π‘˜} ↦ ((π‘‹β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(π‘Œβ€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ π‘₯)))))))
46 reldmpsr 21332 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
4746, 11, 12elbasov 17095 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4813, 47syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4948simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
5011, 1, 6, 12, 49psrbas 21362 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐷))
5143, 45, 503eltr4d 2849 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616   ∘r cofr 7617   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Ringcrg 19969   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-tset 17157  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  psrmulcl  21372
  Copyright terms: Public domain W3C validator