MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulcllem 20623
Description: Closure of the power series multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulcl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulcl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulcl.t · = (.r𝑆)
psrmulcl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrmulcl.x (𝜑𝑋𝐵)
psrmulcl.y (𝜑𝑌𝐵)
psrmulcl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrmulcllem (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑋(𝑓)   𝑌(𝑓)

Proof of Theorem psrmulcllem
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2822 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrmulcl.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
5 ringcmn 19325 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrmulcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
8 reldmpsr 20597 . . . . . . . . 9 Rel dom mPwSer
9 psrmulcl.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10 psrmulcl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
118, 9, 10elbasov 16536 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
127, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1312simpld 498 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
14 psrmulcl.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
1514psrbaglefi 20608 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
1613, 15sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
173ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
189, 1, 14, 10, 7psrelbas 20615 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1918ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
20 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
21 breq1 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦r𝑘𝑥r𝑘))
2221elrab 3655 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↔ (𝑥𝐷𝑥r𝑘))
2320, 22sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑥𝐷𝑥r𝑘))
2423simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
2519, 24ffvelrnd 6834 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
26 psrmulcl.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
279, 1, 14, 10, 26psrelbas 20615 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2913ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐼 ∈ V)
30 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
3114psrbagf 20601 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
3229, 24, 31syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
3323simprd 499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥r𝑘)
3414psrbagcon 20607 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ V ∧ (𝑘𝐷𝑥:𝐼⟶ℕ0𝑥r𝑘)) → ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘f𝑥) ∘r𝑘))
3529, 30, 32, 33, 34syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑘f𝑥) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘f𝑥) ∘r𝑘))
3635simpld 498 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
3728, 36ffvelrnd 6834 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2822 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
391, 38ringcl 19305 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
4017, 25, 37, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
4140fmpttd 6861 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))):{𝑦𝐷𝑦r𝑘}⟶(Base‘𝑅))
42 fvexd 6667 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
4341, 16, 42fdmfifsupp 8831 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
441, 2, 6, 16, 41, 43gsumcl 19026 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ (Base‘𝑅))
4544fmpttd 6861 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
46 fvex 6665 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
47 ovex 7173 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
4814, 47rabex2 5213 . . . 4 𝐷 ∈ V
4946, 48elmap 8422 . . 3 ((𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))):𝐷⟶(Base‘𝑅))
5045, 49sylibr 237 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
51 psrmulcl.t . . 3 · = (.r𝑆)
529, 10, 38, 51, 14, 7, 26psrmulfval 20621 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
539, 1, 14, 10, 13psrbas 20614 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
5450, 52, 533eltr4d 2929 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469   class class class wbr 5042  cmpt 5122  ccnv 5531  cima 5535  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  f cof 7392  r cofr 7393  m cmap 8393  Fincfn 8496  cle 10665  cmin 10859  cn 11625  0cn0 11885  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  CMndccmn 18897  Ringcrg 19288   mPwSer cmps 20587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-psr 20592
This theorem is referenced by:  psrmulcl  20624
  Copyright terms: Public domain W3C validator