MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  residpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem residpr 6967
Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
residpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4553 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21reseq2i 5857 . . 3 ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3 resundi 5874 . . 3 ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
42, 3eqtri 2766 . 2 ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5 xpsng 6963 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
65anidms 570 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
76adantr 484 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8 xpsng 6963 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
98anidms 570 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
109adantl 485 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
117, 10uneq12d 4087 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12 restidsing 5931 . . . 4 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13 restidsing 5931 . . . 4 ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
1412, 13uneq12i 4084 . . 3 (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15 df-pr 4553 . . 3 {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
1611, 14, 153eqtr4g 2804 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
174, 16eqtrid 2790 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  cun 3873  {csn 4550  {cpr 4552  cop 4556   I cid 5463   × cxp 5558  cres 5562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5201  ax-nul 5208  ax-pr 5331
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3417  df-dif 3878  df-un 3880  df-in 3882  df-ss 3892  df-nul 4247  df-if 4449  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5145  df-id 5464  df-xp 5566  df-rel 5567  df-cnv 5568  df-co 5569  df-dm 5570  df-rn 5571  df-res 5572  df-fun 6391  df-fn 6392  df-f 6393  df-f1 6394  df-fo 6395  df-f1o 6396
This theorem is referenced by:  psgnprfval1  18927
  Copyright terms: Public domain W3C validator