MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  residpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem residpr 6898
Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
residpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4562 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21reseq2i 5843 . . 3 ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3 resundi 5860 . . 3 ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
42, 3eqtri 2842 . 2 ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5 xpsng 6894 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
65anidms 569 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
76adantr 483 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8 xpsng 6894 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
98anidms 569 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
109adantl 484 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
117, 10uneq12d 4138 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12 restidsing 5915 . . . 4 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13 restidsing 5915 . . . 4 ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
1412, 13uneq12i 4135 . . 3 (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15 df-pr 4562 . . 3 {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
1611, 14, 153eqtr4g 2879 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
174, 16syl5eq 2866 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3932  {csn 4559  {cpr 4561  cop 4565   I cid 5452   × cxp 5546  cres 5550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355
This theorem is referenced by:  psgnprfval1  18642
  Copyright terms: Public domain W3C validator