Theorem residpr 7118

Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
residpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4595	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	reseq2i 5950	. . 3 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3		resundi 5967	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
4	2, 3	eqtri 2753	. 2 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5		xpsng 7114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
6	5	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8		xpsng 7114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
9	8	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
11	7, 10	uneq12d 4135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12		restidsing 6027	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13		restidsing 6027	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
14	12, 13	uneq12i 4132	. . 3 ⊢ (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15		df-pr 4595	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
16	11, 14, 15	3eqtr4g 2790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
17	4, 16	eqtrid 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598   I cid 5535   × cxp 5639   ↾ cres 5643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521

This theorem is referenced by:  psgnprfval1  19459