Theorem residpr 6997

Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
residpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4561	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	reseq2i 5877	. . 3 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3		resundi 5894	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
4	2, 3	eqtri 2766	. 2 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5		xpsng 6993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
6	5	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8		xpsng 6993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
9	8	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
11	7, 10	uneq12d 4094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12		restidsing 5951	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13		restidsing 5951	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
14	12, 13	uneq12i 4091	. . 3 ⊢ (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15		df-pr 4561	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
16	11, 14, 15	3eqtr4g 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
17	4, 16	eqtrid 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564   I cid 5479   × cxp 5578   ↾ cres 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425

This theorem is referenced by:  psgnprfval1  19045