Theorem residpr 6882

Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
residpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4528	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	reseq2i 5815	. . 3 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3		resundi 5832	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
4	2, 3	eqtri 2821	. 2 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5		xpsng 6878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
6	5	anidms 570	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8		xpsng 6878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
9	8	anidms 570	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
11	7, 10	uneq12d 4091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12		restidsing 5889	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13		restidsing 5889	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
14	12, 13	uneq12i 4088	. . 3 ⊢ (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15		df-pr 4528	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
16	11, 14, 15	3eqtr4g 2858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
17	4, 16	syl5eq 2845	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879  {csn 4525  {cpr 4527  ⟨cop 4531   I cid 5424   × cxp 5517   ↾ cres 5521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331

This theorem is referenced by:  psgnprfval1  18642