MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  residpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem residpr 7163
Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
residpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 4634 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
21reseq2i 5997 . . 3 ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3 resundi 6014 . . 3 ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
42, 3eqtri 2763 . 2 ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5 xpsng 7159 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
65anidms 566 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
76adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8 xpsng 7159 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐵𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
98anidms 566 . . . . 5 (𝐵𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
109adantl 481 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
117, 10uneq12d 4179 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12 restidsing 6073 . . . 4 ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13 restidsing 6073 . . . 4 ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
1412, 13uneq12i 4176 . . 3 (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15 df-pr 4634 . . 3 {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
1611, 14, 153eqtr4g 2800 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
174, 16eqtrid 2787 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   I cid 5582   × cxp 5687  cres 5691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570
This theorem is referenced by:  psgnprfval1  19555
  Copyright terms: Public domain W3C validator