Theorem residpr 7146

Description: Restriction of the identity to a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
residpr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

Proof of Theorem residpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4587	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	reseq2i 5967	. . 3 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
3		resundi 5984	. . 3 ⊢ ( I ↾ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
4	2, 3	eqtri 2784	. 2 ⊢ ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵}))
5		xpsng 7140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
6	5	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐴}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩})
8		xpsng 7140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
9	8	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐵} × {𝐵}) = {⟨𝐵, 𝐵⟩})
11	7, 10	uneq12d 4116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵})) = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩}))
12		restidsing 6045	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐴}) = ({𝐴} × {𝐴})
13		restidsing 6045	. . . 4 ⊢ ( I ↾ {𝐵}) = ({𝐵} × {𝐵})
14	12, 13	uneq12i 4113	. . 3 ⊢ (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = (({𝐴} × {𝐴}) ∪ ({𝐵} × {𝐵}))
15		df-pr 4587	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩} = ({⟨𝐴, 𝐴⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐵⟩})
16	11, 14, 15	3eqtr4g 2821	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (( I ↾ {𝐴}) ∪ ( I ↾ {𝐵})) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})
17	4, 16	eqtrid 2808	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ( I ↾ {𝐴, 𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐴⟩, ⟨𝐵, 𝐵⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   I cid 5545   × cxp 5649   ↾ cres 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545

This theorem is used by:  psgnprfval1  19736