Theorem psgnprfval1 19392

Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval1	⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
2		prex 5432	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2829	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
5	4	symgid 19271	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺)
7	6	gsum0 18605	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8		reseq2 5976	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9		1ex 11212	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		2nn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		residpr 7143	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
13	8, 12	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
15	7, 14	eqtr2i 2761	. . 3 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
16	15	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17		wrd0 14491	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑇
18		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19		psgnprfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
20	4, 18, 19	psgnvalii 19379	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
21	3, 17, 20	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22		hash0 14329	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	22	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24		neg1cn 12328	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
25		exp0 14033	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1↑0) = 1
27	23, 26	eqtri 2760	. 2 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
28	16, 21, 27	3eqtri 2764	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4322  {cpr 4630  ⟨cop 4634   I cid 5573  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  -cneg 11447  ℕcn 12214  2c2 12269  ↑cexp 14029  ♯chash 14292  Word cword 14466  Basecbs 17146  0_gc0g 17387   Σ_g cgsu 17388  SymGrpcsymg 19236  pmTrspcpmtr 19311  pmSgncpsgn 19359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-tset 17218  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22133  m2detleiblem5  22134