Theorem psgnprfval1 18914

Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval1	⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
2		prex 5325	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2834	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
5	4	symgid 18793	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺)
7	6	gsum0 18156	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8		reseq2 5846	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9		1ex 10829	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		2nn 11903	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		residpr 6958	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
13	8, 12	eqtrdi 2794	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
15	7, 14	eqtr2i 2766	. . 3 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
16	15	fveq2i 6720	. 2 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17		wrd0 14094	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑇
18		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19		psgnprfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
20	4, 18, 19	psgnvalii 18901	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
21	3, 17, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22		hash0 13934	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	22	oveq2i 7224	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24		neg1cn 11944	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
25		exp0 13639	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1↑0) = 1
27	23, 26	eqtri 2765	. 2 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
28	16, 21, 27	3eqtri 2769	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ∅c0 4237  {cpr 4543  ⟨cop 4547   I cid 5454  ran crn 5552   ↾ cres 5553  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730  -cneg 11063  ℕcn 11830  2c2 11885  ↑cexp 13635  ♯chash 13896  Word cword 14069  Basecbs 16760  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  SymGrpcsymg 18759  pmTrspcpmtr 18833  pmSgncpsgn 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-xor 1508  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-word 14070  df-lsw 14118  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-splice 14315  df-reverse 14324  df-s2 14413  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-efmnd 18296  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-gim 18663  df-oppg 18738  df-symg 18760  df-pmtr 18834  df-psgn 18883

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  21521  m2detleiblem5  21522