Theorem psgnprfval1 19489

Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval1	⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
2		prex 5434	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2821	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
5	4	symgid 19368	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺)
7	6	gsum0 18647	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8		reseq2 5980	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9		1ex 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		2nn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		residpr 7152	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
12	9, 10, 11	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
13	8, 12	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
15	7, 14	eqtr2i 2754	. . 3 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
16	15	fveq2i 6899	. 2 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17		wrd0 14525	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑇
18		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19		psgnprfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
20	4, 18, 19	psgnvalii 19476	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
21	3, 17, 20	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22		hash0 14362	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	22	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24		neg1cn 12359	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
25		exp0 14066	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1↑0) = 1
27	23, 26	eqtri 2753	. 2 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
28	16, 21, 27	3eqtri 2757	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ∅c0 4322  {cpr 4632  ⟨cop 4636   I cid 5575  ran crn 5679   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  0cc0 11140  1c1 11141  -cneg 11477  ℕcn 12245  2c2 12300  ↑cexp 14062  ♯chash 14325  Word cword 14500  Basecbs 17183  0_gc0g 17424   Σ_g cgsu 17425  SymGrpcsymg 19333  pmTrspcpmtr 19408  pmSgncpsgn 19456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-splice 14736  df-reverse 14745  df-s2 14835  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-tset 17255  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-oppg 19309  df-symg 19334  df-pmtr 19409  df-psgn 19458

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22570  m2detleiblem5  22571