MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnprfval1 18579
Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnprfval1 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1
StepHypRef Expression
1 psgnprfval.0 . . . . . . 7 𝐷 = {1, 2}
2 prex 5323 . . . . . . 7 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2906 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
4 psgnprfval.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
54symgid 18459 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺)
76gsum0 17882 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8 reseq2 5841 . . . . . 6 (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9 1ex 10625 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 2nn 11698 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
11 residpr 6897 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
129, 10, 11mp2an 688 . . . . . 6 ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
138, 12syl6eq 2869 . . . . 5 (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
141, 13ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
157, 14eqtr2i 2842 . . 3 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
1615fveq2i 6666 . 2 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17 wrd0 13877 . . 3 ∅ ∈ Word 𝑇
18 psgnprfval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19 psgnprfval.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
204, 18, 19psgnvalii 18566 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
213, 17, 20mp2an 688 . 2 (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22 hash0 13716 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2322oveq2i 7156 . . 3 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24 neg1cn 11739 . . . 4 -1 ∈ ℂ
25 exp0 13421 . . . 4 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
2624, 25ax-mp 5 . . 3 (-1↑0) = 1
2723, 26eqtri 2841 . 2 (-1↑(♯‘∅)) = 1
2816, 21, 273eqtri 2845 1 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  {cpr 4559  cop 4563   I cid 5452  ran crn 5549  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526  -cneg 10859  cn 11626  2c2 11680  cexp 13417  chash 13678  Word cword 13849  Basecbs 16471  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702  SymGrpcsymg 18433  pmTrspcpmtr 18498  pmSgncpsgn 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-word 13850  df-lsw 13903  df-concat 13911  df-s1 13938  df-substr 13991  df-pfx 14021  df-splice 14100  df-reverse 14109  df-s2 14198  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-tset 16572  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-gim 18337  df-oppg 18412  df-symg 18434  df-pmtr 18499  df-psgn 18548
This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  21161  m2detleiblem5  21162
  Copyright terms: Public domain W3C validator