Theorem psgnprfval1 19591

Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval1	⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
2		prex 5410	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2865	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
5	4	symgid 19470	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺)
7	6	gsum0 18741	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8		reseq2 5974	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9		1ex 11202	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		2nn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		residpr 7140	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
13	8, 12	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
15	7, 14	eqtr2i 2793	. . 3 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
16	15	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17		wrd0 14575	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑇
18		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19		psgnprfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
20	4, 18, 19	psgnvalii 19578	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
21	3, 17, 20	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22		hash0 14402	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	22	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24		neg1cn 12202	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
25		exp0 14100	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1↑0) = 1
27	23, 26	eqtri 2792	. 2 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
28	16, 21, 27	3eqtri 2796	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {cpr 4596  ⟨cop 4600   I cid 5556  ran crn 5663   ↾ cres 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100  -cneg 11441  ℕcn 12232  2c2 12294  ↑cexp 14096  ♯chash 14365  Word cword 14549  Basecbs 17268  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  SymGrpcsymg 19438  pmTrspcpmtr 19510  pmSgncpsgn 19558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550  df-lsw 14599  df-concat 14607  df-s1 14633  df-substr 14678  df-pfx 14708  df-splice 14786  df-reverse 14795  df-s2 14884  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-tset 17328  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-efmnd 18927  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-gim 19328  df-oppg 19415  df-symg 19439  df-pmtr 19511  df-psgn 19560

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22749  m2detleiblem5  22750