MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnprfval1 19555
Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnprfval1 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1
StepHypRef Expression
1 psgnprfval.0 . . . . . . 7 𝐷 = {1, 2}
2 prex 5443 . . . . . . 7 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
4 psgnprfval.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
54symgid 19434 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺)
76gsum0 18710 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8 reseq2 5995 . . . . . 6 (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9 1ex 11255 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 2nn 12337 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
11 residpr 7163 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
129, 10, 11mp2an 692 . . . . . 6 ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
138, 12eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
141, 13ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
157, 14eqtr2i 2764 . . 3 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
1615fveq2i 6910 . 2 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17 wrd0 14574 . . 3 ∅ ∈ Word 𝑇
18 psgnprfval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19 psgnprfval.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
204, 18, 19psgnvalii 19542 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
213, 17, 20mp2an 692 . 2 (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22 hash0 14403 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2322oveq2i 7442 . . 3 (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24 neg1cn 12378 . . . 4 -1 ∈ ℂ
25 exp0 14103 . . . 4 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
2624, 25ax-mp 5 . . 3 (-1↑0) = 1
2723, 26eqtri 2763 . 2 (-1↑(♯‘∅)) = 1
2816, 21, 273eqtri 2767 1 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  {cpr 4633  cop 4637   I cid 5582  ran crn 5690  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  cexp 14099  chash 14366  Word cword 14549  Basecbs 17245  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474  pmSgncpsgn 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524
This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22646  m2detleiblem5  22647
  Copyright terms: Public domain W3C validator