Theorem psgnprfval1 19385

Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnprfval.0	⊢ 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnprfval1	⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnprfval.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {1, 2}
2		prex 5432	. . . . . . 7 ⊢ {1, 2} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
4		psgnprfval.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
5	4	symgid 19264	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = (0g‘𝐺)
7	6	gsum0 18600	. . . 4 ⊢ (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8		reseq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9		1ex 11207	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
10		2nn 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		residpr 7138	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
12	9, 10, 11	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
13	8, 12	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
15	7, 14	eqtr2i 2762	. . 3 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
16	15	fveq2i 6892	. 2 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17		wrd0 14486	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝑇
18		psgnprfval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19		psgnprfval.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
20	4, 18, 19	psgnvalii 19372	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅)))
21	3, 17, 20	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(♯‘∅))
22		hash0 14324	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
23	22	oveq2i 7417	. . 3 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = (-1↑0)
24		neg1cn 12323	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
25		exp0 14028	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (-1↑0) = 1
27	23, 26	eqtri 2761	. 2 ⊢ (-1↑(♯‘∅)) = 1
28	16, 21, 27	3eqtri 2765	1 ⊢ (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4322  {cpr 4630  ⟨cop 4634   I cid 5573  ran crn 5677   ↾ cres 5678  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108  -cneg 11442  ℕcn 12209  2c2 12264  ↑cexp 14024  ♯chash 14287  Word cword 14461  Basecbs 17141  0_gc0g 17382   Σ_g cgsu 17383  SymGrpcsymg 19229  pmTrspcpmtr 19304  pmSgncpsgn 19352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-tset 17213  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-efmnd 18747  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-gim 19128  df-oppg 19205  df-symg 19230  df-pmtr 19305  df-psgn 19354

This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  22118  m2detleiblem5  22119