MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resixp 8183
Description: Restriction of an element of an infinite Cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resixp ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resixp
StepHypRef Expression
1 resexg 5654 . . 3 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 → (𝐹𝐵) ∈ V)
21adantl 474 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ V)
3 simpr 478 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹X𝑥𝐴 𝐶)
4 elixp2 8152 . . . . 5 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
53, 4sylib 210 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
65simp2d 1174 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹 Fn 𝐴)
7 simpl 475 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐵𝐴)
8 fnssres 6215 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 580 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
105simp3d 1175 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
11 ssralv 3862 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
127, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
13 fvres 6430 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
1413eleq1d 2863 . . . 4 (𝑥𝐵 → (((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
1514ralbiia 3160 . . 3 (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
1612, 15sylibr 226 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶)
17 elixp2 8152 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶))
182, 9, 16, 17syl3anbrc 1444 1 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108  wcel 2157  wral 3089  Vcvv 3385  wss 3769  cres 5314   Fn wfn 6096  cfv 6101  Xcixp 8148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-res 5324  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-fv 6109  df-ixp 8149
This theorem is referenced by:  resixpfo  8186  ixpfi2  8506  ptrescn  21771  ptuncnv  21939  ptcmplem2  22185
  Copyright terms: Public domain W3C validator