MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resixp 8952
Description: Restriction of an element of an infinite Cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resixp ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resixp
StepHypRef Expression
1 resexg 6032 . . 3 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 → (𝐹𝐵) ∈ V)
21adantl 480 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ V)
3 simpr 483 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹X𝑥𝐴 𝐶)
4 elixp2 8920 . . . . 5 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
53, 4sylib 217 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
65simp2d 1140 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹 Fn 𝐴)
7 simpl 481 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐵𝐴)
8 fnssres 6679 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 582 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
105simp3d 1141 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
11 ssralv 4045 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
127, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
13 fvres 6915 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
1413eleq1d 2810 . . . 4 (𝑥𝐵 → (((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
1514ralbiia 3080 . . 3 (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
1612, 15sylibr 233 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶)
17 elixp2 8920 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶))
182, 9, 16, 17syl3anbrc 1340 1 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wral 3050  Vcvv 3461  wss 3944  cres 5680   Fn wfn 6544  cfv 6549  Xcixp 8916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-res 5690  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-fv 6557  df-ixp 8917
This theorem is referenced by:  resixpfo  8955  ixpfi2  9376  ptrescn  23587  ptuncnv  23755  ptcmplem2  24001
  Copyright terms: Public domain W3C validator