MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resixp 8489
Description: Restriction of an element of an infinite Cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resixp ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resixp
StepHypRef Expression
1 resexg 5896 . . 3 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 → (𝐹𝐵) ∈ V)
21adantl 482 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ V)
3 simpr 485 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹X𝑥𝐴 𝐶)
4 elixp2 8457 . . . . 5 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
53, 4sylib 219 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
65simp2d 1137 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹 Fn 𝐴)
7 simpl 483 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐵𝐴)
8 fnssres 6466 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
105simp3d 1138 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
11 ssralv 4036 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
127, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
13 fvres 6685 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
1413eleq1d 2901 . . . 4 (𝑥𝐵 → (((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
1514ralbiia 3168 . . 3 (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
1612, 15sylibr 235 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶)
17 elixp2 8457 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶))
182, 9, 16, 17syl3anbrc 1337 1 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499  wss 3939  cres 5555   Fn wfn 6346  cfv 6351  Xcixp 8453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-res 5565  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-fv 6359  df-ixp 8454
This theorem is referenced by:  resixpfo  8492  ixpfi2  8814  ptrescn  22165  ptuncnv  22333  ptcmplem2  22579
  Copyright terms: Public domain W3C validator