Theorem fvres 6911

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3479	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	brresi 5991	. . . 4 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴𝐹𝑥))
3	2	baib 537	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥 ↔ 𝐴𝐹𝑥))
4	3	iotabidv 6528	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥))
5		df-fv 6552	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (℩𝑥𝐴(𝐹 ↾ 𝐵)𝑥)
6		df-fv 6552	. 2 ⊢ (𝐹‘𝐴) = (℩𝑥𝐴𝐹𝑥)
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   ↾ cres 5679  ℩cio 6494  ‘cfv 6544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-res 5689  df-iota 6496  df-fv 6552

This theorem is referenced by:  fvresd  6912  funssfv  6913  fveqres  6939  feqresmpt  6962  dffv2  6987  eqfnun  7039  fvreseq0  7040  respreima  7068  fveqressseq  7082  ffvresb  7124  fnressn  7156  fressnfv  7158  fvresi  7171  funfvima  7232  funiunfv  7247  soisores  7324  isores3  7332  isoini2  7336  fvresval  7355  ofres  7689  f1oweALT  7959  offres  7970  fo1stres  8001  fo2ndres  8002  fparlem1  8098  fparlem2  8099  fsplitfpar  8104  fo2ndf  8107  f1o2ndf1  8108  fnsuppres  8176  wfrlem4OLD  8312  tfrlem1  8376  fr0g  8436  frsuc  8437  tz7.48lem  8441  seqomlem1  8450  seqomlem2  8451  seqomlem3  8452  seqomlem4  8453  onasuc  8528  onmsuc  8529  onesuc  8530  resixp  8927  fofinf1o  9327  ixpfi2  9350  ttrclss  9715  updjudhcoinlf  9927  updjudhcoinrg  9928  updjud  9929  ackbij2lem2  10235  ackbij2lem3  10236  cfsmolem  10265  alephsing  10271  fpwwe2lem7  10632  inar1  10770  addpiord  10879  mulpiord  10880  fseq1p1m1  13575  injresinj  13753  seqfeq2  13991  seqres  13995  seqf1olem2  14008  hashgval  14293  hashinf  14295  hashgval2  14338  hashf1lem1  14415  hashf1lem1OLD  14416  pfxccat1  14652  shftidt  15029  climres  15519  fsumss  15671  isumclim3  15705  fsum2dlem  15716  ackbijnn  15774  fprodss  15892  fprod2dlem  15924  iprodclim3  15944  bpolylem  15992  fprodefsum  16038  reeff1  16063  bitsf1  16387  sadcadd  16399  sadadd2  16401  eucalgcvga  16523  eucalg  16524  unbenlem  16841  strfv2d  17135  setsid  17141  setsnid  17142  setsnidOLD  17143  dfinito3  17955  dftermo3  17956  dmaf  17999  cdaf  18000  1stfcl  18149  2ndfcl  18150  resmhm  18701  resghm  19108  efgredlem  19615  gsumzaddlem  19789  dprdfadd  19890  dprdres  19898  dmdprdsplitlem  19907  dprdcntz2  19908  dmdprdsplit2lem  19915  dprdsplit  19918  dpjidcl  19928  ablfac1eu  19943  mgpf  20071  prdscrngd  20135  abvres  20447  reslmhm  20663  znf1o  21107  znunithash  21120  ltbwe  21599  subrgascl  21627  subrgasclcl  21628  smadiadetlem3  22170  lmres  22804  tx1cn  23113  tx2cn  23114  ptrescn  23143  cnmpt1st  23172  cnmpt2nd  23173  ptuncnv  23311  ptunhmeo  23312  cnextfres1  23572  prdstmdd  23628  prdsxmslem2  24038  subgnm2  24143  rescncf  24413  isncvsngp  24666  lmle  24818  ovoliunlem1  25019  ovolicc2lem4  25037  mblvol  25047  mbflimsup  25183  limcdif  25393  limcres  25403  dvres2lem  25427  dvlip  25510  dvlipcn  25511  dvlip2  25512  c1liplem1  25513  c1lip1  25514  c1lip3  25516  dvivthlem1  25525  lhop1lem  25530  lhop  25533  dvcvx  25537  ftc2ditglem  25562  itgsubstlem  25565  plyreres  25796  plyexmo  25826  aannenlem1  25841  taylthlem2  25886  ulmres  25900  ulmss  25909  pserdvlem2  25940  reeff1o  25959  reefiso  25960  reefgim  25962  recosf1o  26044  resinf1o  26045  relogcl  26084  logef  26090  logeftb  26092  logltb  26108  logcn  26155  advlog  26162  advlogexp  26163  logtayl  26168  logccv  26171  dvcxp1  26248  dvcncxp1  26251  cxpcn  26253  loglesqrt  26266  dvatan  26440  leibpi  26447  efrlim  26474  amgmlem  26494  lgamgulmlem2  26534  lgamcvg2  26559  wilthlem3  26574  ftalem3  26579  dvdsmulf1o  26698  fsumdvdsmul  26699  dchrelbas2  26740  dchrabs  26763  dchrisumlem1  26992  logdivsum  27036  log2sumbnd  27047  ostth2  27140  ostth  27142  sltres  27165  nodense  27195  nolt02o  27198  nogt01o  27199  noetainflem4  27243  vtxdginducedm1lem3  28798  redwlk  28929  pthdivtx  28986  pthdlem1  29023  ex-fpar  29715  sspnval  29990  hhssnv  30517  hhssmetdval  30530  foresf1o  31742  1stpreimas  31927  xpinpreima  32886  xpinpreima2  32887  cnre2csqlem  32890  rmulccn  32908  zzsnm  32939  cnzh  32950  rezh  32951  measres  33220  cntmeas  33224  cntnevol  33226  1stmbfm  33259  2ndmbfm  33260  carsggect  33317  omsmeas  33322  eulerpartgbij  33371  eulerpartlemgvv  33375  eulerpartlemgs2  33379  iwrdsplit  33386  fibp1  33400  coinfliplem  33477  coinflipprob  33478  gsumnunsn  33552  plyrecld  33560  signstres  33586  ftc2re  33610  bnj1253  34028  bnj1280  34031  f1resveqaeq  34088  subfacp1lem3  34173  subfacp1lem5  34175  erdszelem8  34189  txsconnlem  34231  cvmfolem  34270  cvmliftmolem1  34272  cvmliftlem6  34281  cvmliftlem7  34282  cvmliftlem9  34284  satfsucom  34345  satom  34347  satfvsucom  34348  satf0sucom  34364  mrsubff1  34505  msubff1  34547  dfrdg2  34767  funpartfv  34917  gg-rmulccn  35179  gg-cxpcn  35184  filnetlem4  35266  icoreunrn  36240  finixpnum  36473  poimirlem3  36491  poimirlem4  36492  poimirlem8  36496  poimirlem26  36514  poimirlem27  36515  itg2gt0cn  36543  areacirclem2  36577  areacirclem4  36579  sdclem2  36610  caures  36628  ismtyres  36676  diaintclN  39929  dibintclN  40038  dihintcl  40215  fsuppssindlem1  41163  imaiinfv  41431  mzpcompact2lem  41489  2rexfrabdioph  41534  3rexfrabdioph  41535  4rexfrabdioph  41536  6rexfrabdioph  41537  7rexfrabdioph  41538  jm2.27dlem1  41748  fnwe2lem2  41793  aomclem6  41801  deg1mhm  41949  hausgraph  41954  radcnvrat  43073  wessf1ornlem  43882  feqresmptf  43931  mccllem  44313  limcleqr  44360  limsupvaluz2  44454  supcnvlimsup  44456  limsupgtlem  44493  xlimconst2  44551  resincncf  44591  cncfperiod  44595  icccncfext  44603  cncfiooicclem1  44609  dvbdfbdioolem1  44644  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem2  44663  itgioocnicc  44693  stoweidlem28  44744  fourierdlem18  44841  fourierdlem40  44863  fourierdlem42  44865  fourierdlem46  44868  fourierdlem51  44873  fourierdlem70  44892  fourierdlem71  44893  fourierdlem73  44895  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem78  44900  fourierdlem80  44902  fourierdlem81  44903  fourierdlem82  44904  fourierdlem84  44906  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem92  44914  fourierdlem93  44915  fourierdlem94  44916  fourierdlem101  44923  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem111  44933  fourierdlem112  44934  fourierdlem113  44935  sge0tsms  45096  sge0f1o  45098  sge0sup  45107  sge0less  45108  sge0ltfirp  45116  sge0resrnlem  45119  sge0resplit  45122  sge0le  45123  sge0split  45125  sge0fodjrnlem  45132  sge0iun  45135  meadjun  45178  meadjiunlem  45181  psmeasurelem  45186  caratheodory  45244  hoidmvlelem2  45312  hoidmvlelem3  45313  hoidmvlelem4  45314  voncmpl  45337  mblvon  45355  smflimsuplem3  45538  afvres  45880  iccpartres  46086  iccelpart  46101  resmgmhm  46568  rngmgpf  46653  lincdifsn  47105  lindslinindimp2lem4  47142  lindslinindsimp2lem5  47143  lincresunit3lem2  47161  fdivmpt  47226  setrec2lem1  47738  setrecsres  47747  amgmwlem  47849