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Theorem undifixp 8932
Description: Union of two projections of a cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
undifixp ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem undifixp
StepHypRef Expression
1 unexg 7740 . . 3 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → (𝐹𝐺) ∈ V)
213adant3 1131 . 2 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) ∈ V)
3 ixpfn 8901 . . . 4 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐺 Fn (𝐴𝐵))
4 ixpfn 8901 . . . 4 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐹 Fn 𝐵)
5 3simpa 1147 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵))
65ancomd 461 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐹 Fn 𝐵𝐺 Fn (𝐴𝐵)))
7 disjdif 4471 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
8 fnun 6663 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn 𝐵𝐺 Fn (𝐴𝐵)) ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (𝐹𝐺) Fn (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
96, 7, 8sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) Fn (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
10 undif 4481 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
1110biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
1211eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
13123ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)))
1413fneq2d 6643 . . . . . 6 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐹𝐺) Fn 𝐴 ↔ (𝐹𝐺) Fn (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))))
159, 14mpbird 257 . . . . 5 ((𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ 𝐹 Fn 𝐵𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)
16153exp 1118 . . . 4 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)))
173, 4, 16syl2imc 41 . . 3 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐵𝐴 → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)))
18173imp 1110 . 2 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) Fn 𝐴)
19 elixp2 8899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
2019simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
21 fndm 6652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → dom 𝐺 = (𝐴𝐵))
22 elndif 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
23 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐵) = dom 𝐺 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
2423notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝐵) = dom 𝐺 → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
2524eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐺 = (𝐴𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺))
26 ndmfv 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) = ∅)
2725, 26biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐺 = (𝐴𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝐺𝑥) = ∅))
2821, 22, 27syl2im 40 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 → (𝐺𝑥) = ∅))
2928ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → ∀𝑥𝐵 (𝐺𝑥) = ∅)
30 uneq2 4157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) ∪ ∅))
31 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) ∪ ∅) = (𝐹𝑥)
32 eqtr 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐹𝑥) ∪ ∅) = (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥))
33 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3433biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3534eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐹𝑥) ∪ ∅) = (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3730, 31, 36sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3837com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐺𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
3938ral2imi 3084 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → (∀𝑥𝐵 (𝐺𝑥) = ∅ → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
4020, 29, 39syl2imc 41 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
413, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
4241impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
43 elixp2 8899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn (𝐴𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐺𝑥) ∈ 𝐶))
4443simp3bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐺𝑥) ∈ 𝐶)
45 fndm 6652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝐵 → dom 𝐹 = 𝐵)
46 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ 𝑥𝐵)
47 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ dom 𝐹))
4847notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = dom 𝐹 → (¬ 𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹))
49 ndmfv 6926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝑥) = ∅)
5048, 49biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = dom 𝐹 → (¬ 𝑥𝐵 → (𝐹𝑥) = ∅))
5150eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 = 𝐵 → (¬ 𝑥𝐵 → (𝐹𝑥) = ∅))
5245, 46, 51syl2im 40 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → (𝐹𝑥) = ∅))
5352ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝐵 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐹𝑥) = ∅)
54 uneq1 4156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (∅ ∪ (𝐺𝑥)))
55 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅)
56 eqtr 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (∅ ∪ (𝐺𝑥)) ∧ (∅ ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅)) → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅))
57 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑥) ∪ ∅) = (𝐺𝑥)
58 eqtr 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐺𝑥) ∪ ∅) = (𝐺𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥))
59 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6059biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6160eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (𝐺𝑥) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6258, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅) ∧ ((𝐺𝑥) ∪ ∅) = (𝐺𝑥)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6356, 57, 62sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) = (∅ ∪ (𝐺𝑥)) ∧ (∅ ∪ (𝐺𝑥)) = ((𝐺𝑥) ∪ ∅)) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6454, 55, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = ∅ → ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6564com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6665ral2imi 3084 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐺𝑥) ∈ 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)(𝐹𝑥) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6744, 53, 66syl2imc 41 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
684, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
6968imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
70 ralunb 4191 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶 ↔ (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
7142, 69, 70sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
7271ex 412 . . . . . . 7 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
73 raleq 3321 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
7473imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) → ((𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶) ↔ (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵))((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
7572, 74imbitrrid 245 . . . . . 6 (𝐴 = (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
7675eqcoms 2739 . . . . 5 ((𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴 → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
7710, 76sylbi 216 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)))
78773imp231 1112 . . 3 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶)
79 df-fn 6546 . . . . . 6 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) ↔ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)))
80 df-fn 6546 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝐵 ↔ (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵))
81 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) → Fun 𝐹)
82 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → Fun 𝐺)
8381, 82anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵))) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
84833adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
85 ineq12 4207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝐹 = 𝐵 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)))
8685, 7eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 = 𝐵 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅)
8786ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅)
88873adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅)
89 fvun 6981 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)))
9084, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)))
9190eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
9291ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) ∧ (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
93923exp 1118 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 = 𝐵) → ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
9480, 93sylbi 216 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐵 → ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
9594com12 32 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 = (𝐴𝐵)) → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
9679, 95sylbi 216 . . . . 5 (𝐺 Fn (𝐴𝐵) → (𝐹 Fn 𝐵 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
973, 4, 96syl2imc 41 . . . 4 (𝐹X𝑥𝐵 𝐶 → (𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 → (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))))
98973imp 1110 . . 3 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑥) ∪ (𝐺𝑥)) ∈ 𝐶))
9978, 98mpbird 257 . 2 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶)
100 elixp2 8899 . 2 ((𝐹𝐺) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ (𝐹𝐺) Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐶))
1012, 18, 99, 100syl3anbrc 1342 1 ((𝐹X𝑥𝐵 𝐶𝐺X𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝐶𝐵𝐴) → (𝐹𝐺) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  dom cdm 5676  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543  Xcixp 8895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-ixp 8896
This theorem is referenced by:  ptuncnv  23532  ptunhmeo  23533
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