MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnssres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnssres 6458
Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
fnssres ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)

Proof of Theorem fnssres
StepHypRef Expression
1 fnssresb 6457 . 2 (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹𝐵) Fn 𝐵𝐵𝐴))
21biimpar 481 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wss 3919  cres 5544   Fn wfn 6338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5317
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-br 5053  df-opab 5115  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-res 5554  df-fun 6345  df-fn 6346
This theorem is referenced by:  fnssresd  6459  fnresin1  6460  fnresin2  6461  fnresi  6464  fssres  6532  fvreseq0  6796  fnreseql  6806  ffvresb  6876  fnressn  6908  soisores  7069  oprres  7306  ofres  7415  fsplitfpar  7804  fnsuppres  7847  tfrlem1  8002  tz7.48lem  8067  tz7.49c  8072  resixp  8487  ixpfi2  8813  dfac12lem1  9561  ackbij2lem3  9655  cfsmolem  9684  alephsing  9690  ttukeylem3  9925  iunfo  9953  fpwwe2lem8  10051  mulnzcnopr  11278  seqfeq2  13394  seqf1olem2  13411  bpolylem  15398  reeff1  15469  sscres  17089  fullsubc  17116  fullresc  17117  funcres2c  17167  dmaf  17305  cdaf  17306  frmdplusg  18015  frmdss2  18024  gass  18427  dprdfadd  19138  mgpf  19305  prdscrngd  19359  subrgascl  20271  mdetrsca  21205  upxp  22224  uptx  22226  cnmpt1st  22269  cnmpt2nd  22270  cnextfres1  22669  prdstmdd  22725  ressprdsds  22974  prdsxmslem2  23132  xrsdsre  23411  itg1addlem4  24299  recosf1o  25123  resinf1o  25124  dvdsmulf1o  25775  ex-fpar  28243  sspg  28507  ssps  28509  sspmlem  28511  sspn  28515  hhssnv  29043  1stpreimas  30445  dimkerim  31051  cnre2csqlem  31178  rmulccn  31196  raddcn  31197  carsggect  31601  subiwrdlen  31669  signsvtn0  31865  signstres  31870  bnj1253  32314  bnj1280  32317  subfacp1lem3  32454  subfacp1lem5  32456  cvmlift2lem9a  32575  filnetlem4  33754  finixpnum  34952  poimirlem4  34971  poimirlem8  34975  ftc1anclem3  35042  isdrngo2  35306  diaintclN  38264  dibintclN  38373  dihintcl  38550  imaiinfv  39487  fnwe2lem2  39848  aomclem6  39856  deg1mhm  40004  limsupvaluz2  42243  supcnvlimsup  42245  limsupgtlem  42282  resincncf  42380  icccncfext  42392  dvnprodlem1  42451  fourierdlem42  42654  fourierdlem73  42684  rnghmresfn  44450  rnghmsscmap2  44460  rnghmsscmap  44461  rhmresfn  44496  rhmsscmap2  44506  rhmsscmap  44507  fdivmpt  44816
  Copyright terms: Public domain W3C validator