Theorem fnssres 6604

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fnssres	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Proof of Theorem fnssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssresb 6603	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	biimpar 477	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3902   ↾ cres 5618   Fn wfn 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-res 5628  df-fun 6483  df-fn 6484

This theorem is referenced by:  fnssresd  6605  fnresin1  6606  fnresin2  6607  fnresi  6610  fssres  6689  fvreseq0  6971  fnreseql  6981  ffvresb  7058  fnressn  7091  soisores  7261  oprres  7514  ofres  7629  fsplitfpar  8048  fnsuppres  8121  tfrlem1  8295  tz7.48lem  8360  tz7.49c  8365  resixp  8857  ixpfi2  9234  ttrclss  9610  dfac12lem1  10035  ackbij2lem3  10131  cfsmolem  10161  alephsing  10167  ttukeylem3  10402  iunfo  10430  fpwwe2lem7  10528  mulnzcnf  11763  seqfeq2  13932  seqf1olem2  13949  bpolylem  15955  reeff1  16029  sscres  17730  fullsubc  17757  fullresc  17758  funcres2c  17810  dmaf  17956  cdaf  17957  frmdplusg  18762  frmdss2  18771  gass  19214  dprdfadd  19935  rngmgpf  20076  mgpf  20167  prdscrngd  20241  rnghmresfn  20535  rnghmsscmap2  20545  rnghmsscmap  20546  rhmresfn  20564  rhmsscmap2  20574  rhmsscmap  20575  subrgascl  22002  upxp  23539  uptx  23541  cnmpt1st  23584  cnmpt2nd  23585  cnextfres1  23984  prdstmdd  24040  ressprdsds  24287  prdsxmslem2  24445  xrsdsre  24727  recosf1o  26472  resinf1o  26473  mpodvdsmulf1o  27132  dvdsmulf1o  27134  ex-fpar  30440  sspg  30706  ssps  30708  sspmlem  30710  sspn  30714  hhssnv  31242  ressupprn  32669  1stpreimas  32685  cnre2csqlem  33921  raddcn  33940  carsggect  34329  subiwrdlen  34397  signsvtn0  34581  signstres  34586  bnj1253  35027  bnj1280  35030  gblacfnacd  35144  subfacp1lem5  35226  cvmlift2lem9a  35345  filnetlem4  36421  finixpnum  37651  poimirlem4  37670  poimirlem8  37674  ftc1anclem3  37741  isdrngo2  38004  diaintclN  41103  dibintclN  41212  dihintcl  41389  imaiinfv  42732  fnwe2lem2  43090  aomclem6  43098  deg1mhm  43239  limsupvaluz2  45782  supcnvlimsup  45784  limsupgtlem  45821  resincncf  45919  icccncfext  45931  fourierdlem42  46193  fourierdlem73  46223  fdivmpt  48578  slotresfo  48936  basresposfo  49015  oppff1  49186