Theorem fnssres 6641

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fnssres	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Proof of Theorem fnssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssresb 6640	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	biimpar 477	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐵) Fn 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3914   ↾ cres 5640   Fn wfn 6506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-fun 6513  df-fn 6514

This theorem is referenced by:  fnssresd  6642  fnresin1  6643  fnresin2  6644  fnresi  6647  fssres  6726  fvreseq0  7010  fnreseql  7020  ffvresb  7097  fnressn  7130  soisores  7302  oprres  7557  ofres  7672  fsplitfpar  8097  fnsuppres  8170  tfrlem1  8344  tz7.48lem  8409  tz7.49c  8414  resixp  8906  ixpfi2  9301  ttrclss  9673  dfac12lem1  10097  ackbij2lem3  10193  cfsmolem  10223  alephsing  10229  ttukeylem3  10464  iunfo  10492  fpwwe2lem7  10590  mulnzcnf  11824  seqfeq2  13990  seqf1olem2  14007  bpolylem  16014  reeff1  16088  sscres  17785  fullsubc  17812  fullresc  17813  funcres2c  17865  dmaf  18011  cdaf  18012  frmdplusg  18781  frmdss2  18790  gass  19233  dprdfadd  19952  rngmgpf  20066  mgpf  20157  prdscrngd  20231  rnghmresfn  20528  rnghmsscmap2  20538  rnghmsscmap  20539  rhmresfn  20557  rhmsscmap2  20567  rhmsscmap  20568  subrgascl  21973  upxp  23510  uptx  23512  cnmpt1st  23555  cnmpt2nd  23556  cnextfres1  23955  prdstmdd  24011  ressprdsds  24259  prdsxmslem2  24417  xrsdsre  24699  recosf1o  26444  resinf1o  26445  mpodvdsmulf1o  27104  dvdsmulf1o  27106  ex-fpar  30391  sspg  30657  ssps  30659  sspmlem  30661  sspn  30665  hhssnv  31193  ressupprn  32613  1stpreimas  32629  cnre2csqlem  33900  raddcn  33919  carsggect  34309  subiwrdlen  34377  signsvtn0  34561  signstres  34566  bnj1253  35007  bnj1280  35010  gblacfnacd  35089  subfacp1lem5  35171  cvmlift2lem9a  35290  filnetlem4  36369  finixpnum  37599  poimirlem4  37618  poimirlem8  37622  ftc1anclem3  37689  isdrngo2  37952  diaintclN  41052  dibintclN  41161  dihintcl  41338  imaiinfv  42681  fnwe2lem2  43040  aomclem6  43048  deg1mhm  43189  limsupvaluz2  45736  supcnvlimsup  45738  limsupgtlem  45775  resincncf  45873  icccncfext  45885  fourierdlem42  46147  fourierdlem73  46177  fdivmpt  48529  slotresfo  48887  basresposfo  48966  oppff1  49137