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Theorem resixpfo 8489
 Description: Restriction of elements of an infinite Cartesian product creates a surjection, if the original Cartesian product is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resixpfo.1 𝐹 = (𝑓X𝑥𝐴 𝐶 ↦ (𝑓𝐵))
Assertion
Ref Expression
resixpfo ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥   𝐶,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem resixpfo
Dummy variables 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resixp 8486 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑓X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑓𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
2 resixpfo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑓X𝑥𝐴 𝐶 ↦ (𝑓𝐵))
31, 2fmptd 6874 . . 3 (𝐵𝐴𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶)
43adantr 481 . 2 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶)
5 n0 4314 . . . 4 (X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔X𝑥𝐴 𝐶)
6 eleq1w 2900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
76ifbid 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧𝐵, , 𝑔) = if(𝑥𝐵, , 𝑔))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
97, 8fveq12d 6674 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
109cbvmptv 5166 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) = (𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
11 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∈ V
1211elixp 8457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ( Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶))
1312simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶)
14 fveq1 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → (𝑥) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
1514eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → ((𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
16 fveq1 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → (𝑔𝑥) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
1716eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
18 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶))
1918imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥) ∈ 𝐶)
20 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)
2115, 17, 19, 20ifbothda 4507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2221exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐴 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
2322ralimi2 3162 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
26 ralim 3167 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
28 vex 3503 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
2928elixp 8457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶))
3029simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)
3127, 30impel 506 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
32 n0i 4303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ¬ X𝑥𝐴 𝐶 = ∅)
33 ixpprc 8472 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐶 = ∅)
3432, 33nsyl2 143 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶𝐴 ∈ V)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
36 mptelixpg 8488 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → ((𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3831, 37mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
3910, 38eqeltrid 2922 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
40 reseq1 5846 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → (𝑓𝐵) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
41 iftrue 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵 → if(𝑧𝐵, , 𝑔) = )
4241fveq1d 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵 → (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧) = (𝑧))
4342mpteq2ia 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧))
44 resmpt 5904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))
46 ixpfn 8456 . . . . . . . . . . . . . 14 (X𝑥𝐵 𝐶 Fn 𝐵)
4746ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → Fn 𝐵)
48 dffn5 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ( Fn 𝐵 = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧)))
4947, 48sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧)))
5043, 45, 493eqtr4a 2887 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = )
5150, 11syl6eqel 2926 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) ∈ V)
522, 40, 39, 51fvmptd3 6787 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
5352, 50eqtr2d 2862 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))))
54 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))))
5554rspceeqv 3642 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))) → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
5639, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
5756ex 413 . . . . . 6 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
5857ralrimdva 3194 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
5958exlimdv 1927 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑔 𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
605, 59syl5bi 243 . . 3 (𝐵𝐴 → (X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅ → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
6160imp 407 . 2 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
62 dffo3 6864 . 2 (𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶 ↔ (𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶 ∧ ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
634, 61, 62sylanbrc 583 1 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  Vcvv 3500   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  ifcif 4470   ↦ cmpt 5143   ↾ cres 5556   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  –onto→wfo 6350  ‘cfv 6352  Xcixp 8450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ixp 8451 This theorem is referenced by:  ptcmplem2  22577
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