MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resixpfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resixpfo 8932
Description: Restriction of elements of an infinite Cartesian product creates a surjection, if the original Cartesian product is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resixpfo.1 𝐹 = (𝑓X𝑥𝐴 𝐶 ↦ (𝑓𝐵))
Assertion
Ref Expression
resixpfo ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥   𝐶,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem resixpfo
Dummy variables 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resixp 8929 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑓X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑓𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
2 resixpfo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑓X𝑥𝐴 𝐶 ↦ (𝑓𝐵))
31, 2fmptd 7114 . . 3 (𝐵𝐴𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶)
43adantr 479 . 2 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶)
5 n0 4345 . . . 4 (X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔X𝑥𝐴 𝐶)
6 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
76ifbid 4550 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧𝐵, , 𝑔) = if(𝑥𝐵, , 𝑔))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
97, 8fveq12d 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
109cbvmptv 5260 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) = (𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
11 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∈ V
1211elixp 8900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ( Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶))
1312simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶)
14 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → (𝑥) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
1514eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → ((𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
16 fveq1 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → (𝑔𝑥) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
1716eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
18 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶))
1918imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥) ∈ 𝐶)
20 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)
2115, 17, 19, 20ifbothda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2221exp32 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐴 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
2322ralimi2 3076 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
26 ralim 3084 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
28 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
2928elixp 8900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶))
3029simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)
3127, 30impel 504 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
32 n0i 4332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ¬ X𝑥𝐴 𝐶 = ∅)
33 ixpprc 8915 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐶 = ∅)
3432, 33nsyl2 141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶𝐴 ∈ V)
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
36 mptelixpg 8931 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → ((𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3831, 37mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
3910, 38eqeltrid 2835 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
40 reseq1 5974 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → (𝑓𝐵) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
41 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵 → if(𝑧𝐵, , 𝑔) = )
4241fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵 → (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧) = (𝑧))
4342mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧))
44 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))
46 ixpfn 8899 . . . . . . . . . . . . . 14 (X𝑥𝐵 𝐶 Fn 𝐵)
4746ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → Fn 𝐵)
48 dffn5 6949 . . . . . . . . . . . . 13 ( Fn 𝐵 = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧)))
4947, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧)))
5043, 45, 493eqtr4a 2796 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = )
5150, 11eqeltrdi 2839 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) ∈ V)
522, 40, 39, 51fvmptd3 7020 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
5352, 50eqtr2d 2771 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))))
54 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))))
5554rspceeqv 3632 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))) → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
5639, 53, 55syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
5756ex 411 . . . . . 6 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
5857ralrimdva 3152 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
5958exlimdv 1934 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑔 𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
605, 59biimtrid 241 . . 3 (𝐵𝐴 → (X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅ → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
6160imp 405 . 2 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
62 dffo3 7102 . 2 (𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶 ↔ (𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶 ∧ ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
634, 61, 62sylanbrc 581 1 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  wss 3947  c0 4321  ifcif 4527  cmpt 5230  cres 5677   Fn wfn 6537  wf 6538  ontowfo 6540  cfv 6542  Xcixp 8893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ixp 8894
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  23777
  Copyright terms: Public domain W3C validator