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Theorem resixpfo 8100
Description: Restriction of elements of an infinite Cartesian product creates a surjection, if the original Cartesian product is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resixpfo.1 𝐹 = (𝑓X𝑥𝐴 𝐶 ↦ (𝑓𝐵))
Assertion
Ref Expression
resixpfo ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥   𝐶,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem resixpfo
Dummy variables 𝑔 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resixp 8097 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑓X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑓𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
2 resixpfo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑓X𝑥𝐴 𝐶 ↦ (𝑓𝐵))
31, 2fmptd 6527 . . 3 (𝐵𝐴𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶)
43adantr 466 . 2 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶)
5 n0 4078 . . . 4 (X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔X𝑥𝐴 𝐶)
6 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
76ifbid 4247 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → if(𝑧𝐵, , 𝑔) = if(𝑥𝐵, , 𝑔))
8 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
97, 8fveq12d 6338 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
109cbvmptv 4884 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) = (𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
11 vex 3354 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
1211elixp 8069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝑔 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶))
1312simprbi 484 . . . . . . . . . . 11 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)
14 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∈ V
1514elixp 8069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ( Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶))
1615simprbi 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶)
17 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → (𝑥) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
1817eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → ((𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
19 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → (𝑔𝑥) = (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥))
2019eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = if(𝑥𝐵, , 𝑔) → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
21 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶))
2221imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥) ∈ 𝐶)
23 simplrr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥𝐵) → (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)
2418, 20, 22, 23ifbothda 4262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝐶)) → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
2524exp32 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐵 → (𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐴 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)))
2625ralimi2 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝐵 (𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (X𝑥𝐵 𝐶 → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
2827adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → ∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
29 ralim 3097 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 ((𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3130imp 393 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
3213, 31sylan2 580 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶)
33 n0i 4068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ¬ X𝑥𝐴 𝐶 = ∅)
34 ixpprc 8083 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐶 = ∅)
3533, 34nsyl2 144 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔X𝑥𝐴 𝐶𝐴 ∈ V)
3635adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐴 ∈ V)
37 mptelixpg 8099 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → ((𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥) ∈ 𝐶))
3932, 38mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑥𝐴 ↦ (if(𝑥𝐵, , 𝑔)‘𝑥)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
4010, 39syl5eqel 2854 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶)
41 iftrue 4231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵 → if(𝑧𝐵, , 𝑔) = )
4241fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐵 → (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧) = (𝑧))
4342mpteq2ia 4874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧))
44 resmpt 5590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))
4544ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = (𝑧𝐵 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))
46 ixpfn 8068 . . . . . . . . . . . . . 14 (X𝑥𝐵 𝐶 Fn 𝐵)
4746ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → Fn 𝐵)
48 dffn5 6383 . . . . . . . . . . . . 13 ( Fn 𝐵 = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧)))
4947, 48sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → = (𝑧𝐵 ↦ (𝑧)))
5043, 45, 493eqtr4a 2831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) = )
5150, 14syl6eqel 2858 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) ∈ V)
52 reseq1 5528 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → (𝑓𝐵) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
5352, 2fvmptg 6422 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 ∧ ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵) ∈ V) → (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
5440, 51, 53syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))) = ((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ↾ 𝐵))
5554, 50eqtr2d 2806 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))))
56 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧))))
5756eqeq2d 2781 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) → ( = (𝐹𝑦) ↔ = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))))
5857rspcev 3460 . . . . . . . 8 (((𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)) ∈ X𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹‘(𝑧𝐴 ↦ (if(𝑧𝐵, , 𝑔)‘𝑧)))) → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
5940, 55, 58syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) ∧ 𝑔X𝑥𝐴 𝐶) → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
6059ex 397 . . . . . 6 ((𝐵𝐴X𝑥𝐵 𝐶) → (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∃𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
6160ralrimdva 3118 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
6261exlimdv 2013 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∃𝑔 𝑔X𝑥𝐴 𝐶 → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
635, 62syl5bi 232 . . 3 (𝐵𝐴 → (X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅ → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
6463imp 393 . 2 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦))
65 dffo3 6517 . 2 (𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶 ↔ (𝐹:X𝑥𝐴 𝐶X𝑥𝐵 𝐶 ∧ ∀X 𝑥𝐵 𝐶𝑦X 𝑥𝐴 𝐶 = (𝐹𝑦)))
664, 64, 65sylanbrc 572 1 ((𝐵𝐴X𝑥𝐴 𝐶 ≠ ∅) → 𝐹:X𝑥𝐴 𝐶ontoX𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  cmpt 4863  cres 5251   Fn wfn 6026  wf 6027  ontowfo 6029  cfv 6031  Xcixp 8062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ixp 8063
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  22077
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