MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptrescn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptrescn 22990
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1 𝑋 = 𝐽
ptrescn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
ptrescn.3 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
Assertion
Ref Expression
ptrescn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables 𝑢 𝑘 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵𝐴)
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (∏t𝐹)
32ptuni 22945 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
433adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
64, 5eqtr4di 2794 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝑋)
76eleq2d 2823 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ 𝑥𝑋))
87biimpar 478 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
9 resixp 8871 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
11 ixpeq2 8849 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
12 fvres 6861 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1312unieqd 4879 . . . . . . 7 (𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1411, 13mprg 3070 . . . . . 6 X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘)
15 ssexg 5280 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1615ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
17163adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
18 fssres 6708 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
19183adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
2120ptuni 22945 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2217, 19, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2314, 22eqtr3id 2790 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2423adantr 481 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2510, 24eleqtrd 2840 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
2625fmpttd 7063 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾)
27 fimacnv 6690 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
29 pttop 22933 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
302, 29eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
31303adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
325topopn 22255 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝑋𝐽)
3428, 33eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽)
35 elsni 4603 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ { 𝐾} → 𝑣 = 𝐾)
3635imaeq2d 6013 . . . . . 6 (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾))
3736eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑣 ∈ { 𝐾} → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽))
3834, 37syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3142 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
40 imaco 6203 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
41 cnvco 5841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
4225adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
43 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)))
44 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) = (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
45 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝑘) = ((𝑥𝐵)‘𝑘))
4642, 43, 44, 45fmptco 7075 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)))
47 fvres 6861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐵 → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4847ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4948mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5046, 49eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5150cnveqd 5831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5241, 51eqtr3id 2790 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5352imaeq1d 6012 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
5440, 53eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
55 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐴𝑉)
56 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
57 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐵𝐴)
58 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐵)
5957, 58sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐴)
605, 2ptpjcn 22962 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
6155, 56, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
62 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑢 ∈ (𝐹𝑘))
63 cnima 22616 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6461, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6554, 64eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽)
66 imaeq2 6009 . . . . . . . 8 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
6766eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽))
6865, 67syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
6968rexlimdvva 3205 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
7069alrimiv 1930 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
71 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
7271rnmpo 7489 . . . . . 6 ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)}
7372raleqi 3311 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
7412rexeqdv 3314 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
75 eqeq1 2740 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ 𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7675rexbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7774, 76sylan9bbr 511 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑣𝑘𝐵) → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7877rexbidva 3173 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7978ralab 3649 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8073, 79bitri 274 . . . 4 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8170, 80sylibr 233 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
82 ralunb 4151 . . 3 (∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8339, 81, 82sylanbrc 583 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
845toptopon 22266 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8531, 84sylib 217 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
86 snex 5388 . . . 4 { 𝐾} ∈ V
87 fvex 6855 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ V
8887abrexex 7895 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
8988rgenw 3068 . . . . . 6 𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
90 abrexex2g 7897 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9117, 89, 90sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9272, 91eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V)
93 unexg 7683 . . . 4 (({ 𝐾} ∈ V ∧ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
9486, 92, 93sylancr 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
95 eqid 2736 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
9620, 95, 71ptval2 22952 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
9717, 19, 96syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
98 pttop 22933 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
9917, 19, 98syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
10020, 99eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ Top)
10195toptopon 22266 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
102100, 101sylib 217 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
10385, 94, 97, 102subbascn 22605 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)))
10426, 83, 103mpbir2and 711 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   cuni 4865  cmpt 5188  ccnv 5632  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Xcixp 8835  ficfi 9346  topGenctg 17319  tcpt 17320  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-fi 9347  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  23159  tmdgsum  23446
  Copyright terms: Public domain W3C validator