MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptrescn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptrescn 22247
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1 𝑋 = 𝐽
ptrescn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
ptrescn.3 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
Assertion
Ref Expression
ptrescn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables 𝑢 𝑘 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵𝐴)
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (∏t𝐹)
32ptuni 22202 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
433adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
64, 5eqtr4di 2854 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝑋)
76eleq2d 2878 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ 𝑥𝑋))
87biimpar 481 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
9 resixp 8484 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
101, 8, 9syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
11 ixpeq2 8462 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
12 fvres 6668 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1312unieqd 4817 . . . . . . 7 (𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1411, 13mprg 3123 . . . . . 6 X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘)
15 ssexg 5194 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1615ancoms 462 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
17163adant2 1128 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
18 fssres 6522 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
19183adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
2120ptuni 22202 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2217, 19, 21syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2314, 22syl5eqr 2850 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2423adantr 484 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2510, 24eleqtrd 2895 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
2625fmpttd 6860 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾)
27 fimacnv 6820 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
29 pttop 22190 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
302, 29eqeltrid 2897 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
31303adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
325topopn 21514 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝑋𝐽)
3428, 33eqeltrd 2893 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽)
35 elsni 4545 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ { 𝐾} → 𝑣 = 𝐾)
3635imaeq2d 5900 . . . . . 6 (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾))
3736eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑣 ∈ { 𝐾} → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽))
3834, 37syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3151 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
40 imaco 6075 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
41 cnvco 5724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
4225adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
43 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)))
44 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) = (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
45 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝑘) = ((𝑥𝐵)‘𝑘))
4642, 43, 44, 45fmptco 6872 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)))
47 fvres 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐵 → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4847ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4948mpteq2dv 5129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5046, 49eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5150cnveqd 5714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5241, 51syl5eqr 2850 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5352imaeq1d 5899 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
5440, 53syl5eqr 2850 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
55 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐴𝑉)
56 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
57 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐵𝐴)
58 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐵)
5957, 58sseldd 3919 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐴)
605, 2ptpjcn 22219 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
6155, 56, 59, 60syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
62 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑢 ∈ (𝐹𝑘))
63 cnima 21873 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6461, 62, 63syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6554, 64eqeltrd 2893 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽)
66 imaeq2 5896 . . . . . . . 8 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
6766eleq1d 2877 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽))
6865, 67syl5ibrcom 250 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
6968rexlimdvva 3256 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
7069alrimiv 1928 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
71 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
7271rnmpo 7267 . . . . . 6 ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)}
7372raleqi 3365 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
7412rexeqdv 3368 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
75 eqeq1 2805 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ 𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7675rexbidv 3259 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7774, 76sylan9bbr 514 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑣𝑘𝐵) → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7877rexbidva 3258 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7978ralab 3635 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8073, 79bitri 278 . . . 4 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8170, 80sylibr 237 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
82 ralunb 4121 . . 3 (∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8339, 81, 82sylanbrc 586 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
845toptopon 21525 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8531, 84sylib 221 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
86 snex 5300 . . . 4 { 𝐾} ∈ V
87 fvex 6662 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ V
8887abrexex 7649 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
8988rgenw 3121 . . . . . 6 𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
90 abrexex2g 7651 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9117, 89, 90sylancl 589 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9272, 91eqeltrid 2897 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V)
93 unexg 7456 . . . 4 (({ 𝐾} ∈ V ∧ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
9486, 92, 93sylancr 590 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
95 eqid 2801 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
9620, 95, 71ptval2 22209 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
9717, 19, 96syl2anc 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
98 pttop 22190 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
9917, 19, 98syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
10020, 99eqeltrid 2897 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ Top)
10195toptopon 21525 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
102100, 101sylib 221 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
10385, 94, 97, 102subbascn 21862 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)))
10426, 83, 103mpbir2and 712 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2112  {cab 2779  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cun 3882  wss 3884  {csn 4528   cuni 4803  cmpt 5113  ccnv 5522  ran crn 5524  cres 5525  cima 5526  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  Xcixp 8448  ficfi 8862  topGenctg 16706  tcpt 16707  Topctop 21501  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-fin 8500  df-fi 8863  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cn 21835
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  22416  tmdgsum  22703
  Copyright terms: Public domain W3C validator