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Theorem ptrescn 23134
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
ptrescn.2 𝐽 = (∏tβ€˜πΉ)
ptrescn.3 𝐾 = (∏tβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
ptrescn ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables 𝑒 π‘˜ 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (∏tβ€˜πΉ)
32ptuni 23089 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐽)
433adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐽)
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = βˆͺ 𝐽
64, 5eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝑋)
76eleq2d 2819 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
87biimpar 478 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
9 resixp 8923 . . . . 5 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐴 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝐡) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝐡) ∈ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
11 ixpeq2 8901 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
12 fvres 6907 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
1312unieqd 4921 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ βˆͺ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜))
1411, 13mprg 3067 . . . . . 6 Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜)
15 ssexg 5322 . . . . . . . . 9 ((𝐡 βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐡 ∈ V)
1615ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ V)
17163adant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ V)
18 fssres 6754 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢Top)
19183adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢Top)
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (∏tβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐡))
2120ptuni 23089 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢Top) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2217, 19, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2314, 22eqtr3id 2786 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2423adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆͺ (πΉβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝐾)
2510, 24eleqtrd 2835 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝐡) ∈ βˆͺ 𝐾)
2625fmpttd 7111 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
27 fimacnv 6736 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ βˆͺ 𝐾) = 𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ βˆͺ 𝐾) = 𝑋)
29 pttop 23077 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜πΉ) ∈ Top)
302, 29eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top) β†’ 𝐽 ∈ Top)
31303adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ Top)
325topopn 22399 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3428, 33eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ βˆͺ 𝐾) ∈ 𝐽)
35 elsni 4644 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ {βˆͺ 𝐾} β†’ 𝑣 = βˆͺ 𝐾)
3635imaeq2d 6057 . . . . . 6 (𝑣 ∈ {βˆͺ 𝐾} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ βˆͺ 𝐾))
3736eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑣 ∈ {βˆͺ 𝐾} β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ βˆͺ 𝐾) ∈ 𝐽))
3834, 37syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (𝑣 ∈ {βˆͺ 𝐾} β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3145 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘£ ∈ {βˆͺ 𝐾} (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽)
40 imaco 6247 . . . . . . . . 9 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∘ β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜))) β€œ 𝑒) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))
41 cnvco 5883 . . . . . . . . . . 11 β—‘((𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∘ β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)))
4225adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ β†Ύ 𝐡) ∈ βˆͺ 𝐾)
43 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)))
44 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) = (𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)))
45 fveq1 6887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (π‘₯ β†Ύ 𝐡) β†’ (π‘§β€˜π‘˜) = ((π‘₯ β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜))
4642, 43, 44, 45fmptco 7123 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)))
47 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = (π‘₯β€˜π‘˜))
4847ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((π‘₯ β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) = (π‘₯β€˜π‘˜))
4948mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((π‘₯ β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)))
5046, 49eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)))
5150cnveqd 5873 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ β—‘((𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡))) = β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)))
5241, 51eqtr3id 2786 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∘ β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜))) = β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)))
5352imaeq1d 6056 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∘ β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜))) β€œ 𝑒) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))
5440, 53eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))
55 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
56 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐹:𝐴⟢Top)
57 simpl3 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
58 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐡)
5957, 58sseldd 3982 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
605, 2ptpjcn 23106 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
6155, 56, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)))
62 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))
63 cnima 22760 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) ∈ (𝐽 Cn (πΉβ€˜π‘˜)) ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
6461, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ∈ 𝐽)
6554, 64eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) ∈ 𝐽)
66 imaeq2 6053 . . . . . . . 8 (𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))
6766eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) ∈ 𝐽))
6865, 67syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
6968rexlimdvva 3211 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
7069alrimiv 1930 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘£(βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
71 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) = (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))
7271rnmpo 7538 . . . . . 6 ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)}
7372raleqi 3323 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽)
7412rexeqdv 3326 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐡 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))
75 eqeq1 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 β†’ (𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ↔ 𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))
7675rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))
7774, 76sylan9bbr 511 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑣 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))
7877rexbidva 3176 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))
7978ralab 3686 . . . . 5 (βˆ€π‘£ ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘£(βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
8073, 79bitri 274 . . . 4 (βˆ€π‘£ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ βˆ€π‘£(βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ (πΉβ€˜π‘˜)𝑣 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
8170, 80sylibr 233 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽)
82 ralunb 4190 . . 3 (βˆ€π‘£ ∈ ({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (βˆ€π‘£ ∈ {βˆͺ 𝐾} (β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽 ∧ βˆ€π‘£ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽))
8339, 81, 82sylanbrc 583 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘£ ∈ ({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽)
845toptopon 22410 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
8531, 84sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
86 snex 5430 . . . 4 {βˆͺ 𝐾} ∈ V
87 fvex 6901 . . . . . . . 8 ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ V
8887abrexex 7945 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} ∈ V
8988rgenw 3065 . . . . . 6 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} ∈ V
90 abrexex2g 7947 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} ∈ V) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} ∈ V)
9117, 89, 90sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘’ ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜)𝑦 = (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)} ∈ V)
9272, 91eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) ∈ V)
93 unexg 7732 . . . 4 (({βˆͺ 𝐾} ∈ V ∧ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)) ∈ V) β†’ ({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))) ∈ V)
9486, 92, 93sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))) ∈ V)
95 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
9620, 95, 71ptval2 23096 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢Top) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜(fiβ€˜({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))))))
9717, 19, 96syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 = (topGenβ€˜(fiβ€˜({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒))))))
98 pttop 23077 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):𝐡⟢Top) β†’ (∏tβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ Top)
9917, 19, 98syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (∏tβ€˜(𝐹 β†Ύ 𝐡)) ∈ Top)
10020, 99eqeltrid 2837 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Top)
10195toptopon 22410 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
102100, 101sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
10385, 94, 97, 102subbascn 22749 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)):π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘£ ∈ ({βˆͺ 𝐾} βˆͺ ran (π‘˜ ∈ 𝐡, 𝑒 ∈ ((𝐹 β†Ύ 𝐡)β€˜π‘˜) ↦ (β—‘(𝑧 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ (π‘§β€˜π‘˜)) β€œ 𝑒)))(β—‘(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) β€œ 𝑣) ∈ 𝐽)))
10426, 83, 103mpbir2and 711 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟢Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘₯ β†Ύ 𝐡)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Xcixp 8887  ficfi 9401  topGenctg 17379  βˆtcpt 17380  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-fi 9402  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cn 22722
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  23303  tmdgsum  23590
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