MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptrescn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptrescn 23662
Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptrescn.1 𝑋 = 𝐽
ptrescn.2 𝐽 = (∏t𝐹)
ptrescn.3 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
Assertion
Ref Expression
ptrescn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem ptrescn
Dummy variables 𝑢 𝑘 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1192 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐵𝐴)
2 ptrescn.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (∏t𝐹)
32ptuni 23617 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
433adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝐽)
5 ptrescn.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
64, 5eqtr4di 2792 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = 𝑋)
76eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ 𝑥𝑋))
87biimpar 477 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
9 resixp 8971 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑥X𝑘𝐴 (𝐹𝑘)) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
11 ixpeq2 8949 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘))
12 fvres 6925 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1312unieqd 4924 . . . . . . 7 (𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
1411, 13mprg 3064 . . . . . 6 X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = X𝑘𝐵 (𝐹𝑘)
15 ssexg 5328 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1615ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
17163adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
18 fssres 6774 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
19183adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵):𝐵⟶Top)
20 ptrescn.3 . . . . . . . 8 𝐾 = (∏t‘(𝐹𝐵))
2120ptuni 23617 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2217, 19, 21syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑘) = 𝐾)
2314, 22eqtr3id 2788 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2423adantr 480 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → X𝑘𝐵 (𝐹𝑘) = 𝐾)
2510, 24eleqtrd 2840 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
2625fmpttd 7134 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾)
27 fimacnv 6758 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) = 𝑋)
29 pttop 23605 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → (∏t𝐹) ∈ Top)
302, 29eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top) → 𝐽 ∈ Top)
31303adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
325topopn 22927 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝑋𝐽)
3428, 33eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽)
35 elsni 4647 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ { 𝐾} → 𝑣 = 𝐾)
3635imaeq2d 6079 . . . . . 6 (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾))
3736eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑣 ∈ { 𝐾} → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝐾) ∈ 𝐽))
3834, 37syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑣 ∈ { 𝐾} → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
3938ralrimiv 3142 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
40 imaco 6272 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
41 cnvco 5898 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
4225adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥𝐵) ∈ 𝐾)
43 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)))
44 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) = (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)))
45 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (𝑧𝑘) = ((𝑥𝐵)‘𝑘))
4642, 43, 44, 45fmptco 7148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)))
47 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐵 → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4847ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝐵)‘𝑘) = (𝑥𝑘))
4948mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝐵)‘𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5046, 49eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5150cnveqd 5888 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) ∘ (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5241, 51eqtr3id 2788 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)))
5352imaeq1d 6078 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∘ (𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘))) “ 𝑢) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
5440, 53eqtr3id 2788 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢))
55 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐴𝑉)
56 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐹:𝐴⟶Top)
57 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝐵𝐴)
58 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐵)
5957, 58sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑘𝐴)
605, 2ptpjcn 23634 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝑘𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
6155, 56, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)))
62 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → 𝑢 ∈ (𝐹𝑘))
63 cnima 23288 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (𝐽 Cn (𝐹𝑘)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐹𝑘)) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6461, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝑘)) “ 𝑢) ∈ 𝐽)
6554, 64eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽)
66 imaeq2 6075 . . . . . . . 8 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) = ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
6766eleq1d 2823 . . . . . . 7 (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → (((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ 𝐽))
6865, 67syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘))) → (𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
6968rexlimdvva 3210 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
7069alrimiv 1924 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
71 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))
7271rnmpo 7565 . . . . . 6 ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)}
7372raleqi 3321 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
7412rexeqdv 3324 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
75 eqeq1 2738 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ 𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7675rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7774, 76sylan9bbr 510 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑣𝑘𝐵) → (∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7877rexbidva 3174 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) ↔ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))
7978ralab 3699 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8073, 79bitri 275 . . . 4 (∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑣(∃𝑘𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑘)𝑣 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8170, 80sylibr 234 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
82 ralunb 4206 . . 3 (∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ↔ (∀𝑣 ∈ { 𝐾} ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽))
8339, 81, 82sylanbrc 583 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)
845toptopon 22938 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8531, 84sylib 218 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
86 snex 5441 . . . 4 { 𝐾} ∈ V
87 fvex 6919 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ V
8887abrexex 7985 . . . . . . 7 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
8988rgenw 3062 . . . . . 6 𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V
90 abrexex2g 7987 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑘𝐵 {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9117, 89, 90sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → {𝑦 ∣ ∃𝑘𝐵𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘)𝑦 = ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)} ∈ V)
9272, 91eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V)
93 unexg 7761 . . . 4 (({ 𝐾} ∈ V ∧ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)) ∈ V) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
9486, 92, 93sylancr 587 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))) ∈ V)
95 eqid 2734 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
9620, 95, 71ptval2 23624 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
9717, 19, 96syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 = (topGen‘(fi‘({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢))))))
98 pttop 23605 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ V ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶Top) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
9917, 19, 98syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (∏t‘(𝐹𝐵)) ∈ Top)
10020, 99eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ Top)
10195toptopon 22938 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
102100, 101sylib 218 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
10385, 94, 97, 102subbascn 23277 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)):𝑋 𝐾 ∧ ∀𝑣 ∈ ({ 𝐾} ∪ ran (𝑘𝐵, 𝑢 ∈ ((𝐹𝐵)‘𝑘) ↦ ((𝑧 𝐾 ↦ (𝑧𝑘)) “ 𝑢)))((𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) “ 𝑣) ∈ 𝐽)))
10426, 83, 103mpbir2and 713 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Top ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑥𝐵)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cun 3960  wss 3962  {csn 4630   cuni 4911  cmpt 5230  ccnv 5687  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  Xcixp 8935  ficfi 9447  topGenctg 17483  tcpt 17484  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-1o 8504  df-2o 8505  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987  df-fi 9448  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cn 23250
This theorem is referenced by:  ptunhmeo  23831  tmdgsum  24118
  Copyright terms: Public domain W3C validator