Theorem ixpssmap 8678

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. Remark in [Enderton] p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpssmap.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap	⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpssmap.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3075	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		ixpssmapg 8674	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∪ ciun 4921  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Xcixp 8643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-ixp 8644

This theorem is referenced by:  hspmbl  44057