Theorem ixpssmap 8914

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. Remark in [Enderton] p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpssmap.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap	⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpssmap.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		ixpssmapg 8910	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴))
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↑m 𝐴)

Syntax hints:   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∪ ciun 4949  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Xcixp 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-ixp 8880

This theorem is referenced by:  hspmbl  47203