Theorem rng0cl 20135

Description: The zero element of a non-unital ring belongs to its base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng0cl	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rng0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 20130	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2		rng0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rng0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18932	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  Rngcrng 20124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-abl 19749  df-rng 20125

This theorem is referenced by:  rngrz  20138  cntzsubrng  20539  rnglidl0  21222  rngqiprngimf1lem  21287