Theorem rngqiprngimf1lem 21597

Description: Lemma for rngqiprngimf1 21603. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf1lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Proof of Theorem rngqiprngimf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlnsg 21567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
10		rngqiprngim.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
11		rngqiprngim.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
12	11	oveq2i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	10, 12	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	13, 14	qus0 19411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
16	9, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
17	16	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑄) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
18	17	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
19	11	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = ∼
20	19	eceq2i 8765	. . . . . 6 ⊢ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼ )
22	21	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ))
23		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ [(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ )
24		rngabl 20384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
25	1, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
26		nsgsubg 19375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
27	8, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
28	25, 27	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
29		rng2idlring.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	29, 14	rng0cl 20392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	1, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	31	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
33		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
34	29, 33, 11	qusecsub 20056	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
35	28, 32, 34	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
36	23, 35	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
37	18, 22, 36	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
38		rnggrp 20387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
39	1, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
40	29, 14, 33	grpsubid1 19242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
41	39, 40	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
42	41	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ 𝐼))
43		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
44		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐽) = (0g‘𝐽)
45		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
46	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Ring)
47		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
48		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
49	43, 44, 45, 46, 47, 48	ring1nzdiv 20636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
50	49	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽)))
51	50	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝐽) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
52	2, 3, 43	2idlbas 21564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55		rng2idlring.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	3, 55	ressmulr 17485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
57	2, 56	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
58		rng2idlring.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐽))
60		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
61	57, 59, 60	oveq123d 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴))
62	61	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽)))
63	3, 14	subg0 19349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
64	27, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
65	64	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘𝑅) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
66	62, 65	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅)) ↔ (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
67	51, 54, 66	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
68	67	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
69	42, 68	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
70	37, 69	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
71	70	impd 416	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  [cec 8720  Basecbs 17394   ↾_s cress 17415  ._rcmulr 17436  0_gc0g 17617   /_s cqus 17684  Grpcgrp 19151  -_gcsg 19153  SubGrpcsubg 19337  NrmSGrpcnsg 19338   ~_QG cqg 19339  Abelcabl 20002  Rngcrng 20381  1_rcur 20414  Ringcrg 20466  2Idealc2idl 21549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8248  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-ec 8724  df-qs 8728  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-0g 17619  df-imas 17687  df-qus 17688  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-subg 19340  df-nsg 19341  df-eqg 19342  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-oppr 20574  df-dvdsr 20594  df-unit 20595  df-invr 20625  df-subrng 20805  df-lss 21214  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-lidl 21493  df-2idl 21550

This theorem is used by:  rngqiprngimf1  21603