MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimf1lem 21173
Description: Lemma for rngqiprngimf1 21179. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimf1lem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (([𝐴] ∼ = (0gβ€˜π‘„) ∧ ( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½)) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…)))

Proof of Theorem rngqiprngimf1lem
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
2 rng2idlring.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3 rng2idlring.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 rng2idlring.u . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
5 ringrng 20210 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
73, 6eqeltrrid 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
81, 2, 7rng2idlnsg 21149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…))
10 rngqiprngim.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
11 rngqiprngim.g . . . . . . . . . 10 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
1211oveq2i 7425 . . . . . . . . 9 (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
1310, 12eqtri 2755 . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
14 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1513, 14qus0 19135 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0gβ€˜π‘„))
169, 15syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0gβ€˜π‘„))
1716eqcomd 2733 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘„) = [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼))
1817eqeq2d 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ([𝐴] ∼ = (0gβ€˜π‘„) ↔ [𝐴] ∼ = [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼)))
1911eqcomi 2736 . . . . . . 7 (𝑅 ~QG 𝐼) = ∼
2019eceq2i 8759 . . . . . 6 [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0gβ€˜π‘…)] ∼
2120a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0gβ€˜π‘…)] ∼ )
2221eqeq2d 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ([𝐴] ∼ = [(0gβ€˜π‘…)](𝑅 ~QG 𝐼) ↔ [𝐴] ∼ = [(0gβ€˜π‘…)] ∼ ))
23 eqcom 2734 . . . . 5 ([𝐴] ∼ = [(0gβ€˜π‘…)] ∼ ↔ [(0gβ€˜π‘…)] ∼ = [𝐴] ∼ )
24 rngabl 20086 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Abel)
251, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
26 nsgsubg 19104 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (NrmSGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
2825, 27jca 511 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)))
29 rng2idlring.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3029, 14rng0cl 20094 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Rng β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
311, 30syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3231anim1i 614 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡))
33 eqid 2727 . . . . . . 7 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
3429, 33, 11qusecsub 19781 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) ∧ ((0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ([(0gβ€˜π‘…)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼))
3528, 32, 34syl2an2r 684 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ([(0gβ€˜π‘…)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼))
3623, 35bitrid 283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ([𝐴] ∼ = [(0gβ€˜π‘…)] ∼ ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼))
3718, 22, 363bitrd 305 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ([𝐴] ∼ = (0gβ€˜π‘„) ↔ (𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼))
38 rnggrp 20089 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
391, 38syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4029, 14, 33grpsubid1 18972 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = 𝐴)
4139, 40sylan 579 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = 𝐴)
4241eleq1d 2813 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ 𝐼))
43 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
44 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π½) = (0gβ€˜π½)
45 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
464adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
47 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½))
48 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π½) = (1rβ€˜π½)
4943, 44, 45, 46, 47, 48ring1nzdiv 20327 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ (((1rβ€˜π½)(.rβ€˜π½)𝐴) = (0gβ€˜π½) ↔ 𝐴 = (0gβ€˜π½)))
5049biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ (((1rβ€˜π½)(.rβ€˜π½)𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π½)))
5150ex 412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½) β†’ (((1rβ€˜π½)(.rβ€˜π½)𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π½))))
522, 3, 432idlbas 21146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
5352eqcomd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (Baseβ€˜π½))
5453eleq2d 2814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½)))
55 rng2idlring.t . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜π‘…)
563, 55ressmulr 17279 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
572, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
58 rng2idlring.1 . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π½)
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜π½))
60 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐴)
6157, 59, 60oveq123d 7435 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝐴) = ((1rβ€˜π½)(.rβ€˜π½)𝐴))
6261eqeq1d 2729 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½) ↔ ((1rβ€˜π½)(.rβ€˜π½)𝐴) = (0gβ€˜π½)))
633, 14subg0 19078 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π½))
6427, 63syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π½))
6564eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 = (0gβ€˜π‘…) ↔ 𝐴 = (0gβ€˜π½)))
6662, 65imbi12d 344 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…)) ↔ (((1rβ€˜π½)(.rβ€˜π½)𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π½))))
6751, 54, 663imtr4d 294 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐼 β†’ (( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…))))
6867adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 ∈ 𝐼 β†’ (( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…))))
6942, 68sylbid 239 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐴(-gβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝐼 β†’ (( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…))))
7037, 69sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ([𝐴] ∼ = (0gβ€˜π‘„) β†’ (( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…))))
7170impd 410 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (([𝐴] ∼ = (0gβ€˜π‘„) ∧ ( 1 Β· 𝐴) = (0gβ€˜π½)) β†’ 𝐴 = (0gβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  [cec 8716  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  .rcmulr 17225  0gc0g 17412   /s cqus 17478  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  SubGrpcsubg 19066  NrmSGrpcnsg 19067   ~QG cqg 19068  Abelcabl 19727  Rngcrng 20083  1rcur 20112  Ringcrg 20164  2Idealc2idl 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-0g 17414  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-subrng 20472  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-2idl 21133
This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1  21179
  Copyright terms: Public domain W3C validator