Theorem rngqiprngimf1lem 21464

Description: Lemma for rngqiprngimf1 21470. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf1lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Proof of Theorem rngqiprngimf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlnsg 21435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
9	8	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
10		rngqiprngim.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
11		rngqiprngim.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
12	11	oveq2i 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	10, 12	eqtri 2788	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
14		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	13, 14	qus0 19284	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
16	9, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
17	16	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑄) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
18	17	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
19	11	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = ∼
20	19	eceq2i 8739	. . . . . 6 ⊢ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼ )
22	21	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ))
23		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ [(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ )
24		rngabl 20257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
25	1, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
26		nsgsubg 19248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
27	8, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
28	25, 27	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
29		rng2idlring.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	29, 14	rng0cl 20265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	1, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	31	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
33		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
34	29, 33, 11	qusecsub 19929	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
35	28, 32, 34	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
36	23, 35	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
37	18, 22, 36	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
38		rnggrp 20260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
39	1, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
40	29, 14, 33	grpsubid1 19115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
41	39, 40	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
42	41	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ 𝐼))
43		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
44		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐽) = (0g‘𝐽)
45		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
46	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Ring)
47		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
48		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
49	43, 44, 45, 46, 47, 48	ring1nzdiv 20507	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
50	49	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽)))
51	50	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝐽) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
52	2, 3, 43	2idlbas 21432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55		rng2idlring.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	3, 55	ressmulr 17378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
57	2, 56	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
58		rng2idlring.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐽))
60		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
61	57, 59, 60	oveq123d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴))
62	61	eqeq1d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽)))
63	3, 14	subg0 19222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
64	27, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
65	64	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘𝑅) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
66	62, 65	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅)) ↔ (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
67	51, 54, 66	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
68	67	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
69	42, 68	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
70	37, 69	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
71	70	impd 416	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  [cec 8694  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  ._rcmulr 17329  0_gc0g 17510   /_s cqus 17577  Grpcgrp 19024  -_gcsg 19026  SubGrpcsubg 19210  NrmSGrpcnsg 19211   ~_QG cqg 19212  Abelcabl 19875  Rngcrng 20254  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  2Idealc2idl 21418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-0g 17512  df-imas 17580  df-qus 17581  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-nsg 19214  df-eqg 19215  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-subrng 20675  df-lss 21083  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-2idl 21419

This theorem is used by:  rngqiprngimf1  21470