Theorem rngqiprngimf1lem 21287

Description: Lemma for rngqiprngimf1 21293. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf1lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Proof of Theorem rngqiprngimf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlnsg 21259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
10		rngqiprngim.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
11		rngqiprngim.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
12	11	oveq2i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	10, 12	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
14		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	13, 14	qus0 19155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
16	9, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
17	16	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑄) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
18	17	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
19	11	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = ∼
20	19	eceq2i 8676	. . . . . 6 ⊢ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼ )
22	21	eqeq2d 2750	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ))
23		eqcom 2746	. . . . 5 ⊢ ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ [(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ )
24		rngabl 20127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
25	1, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
26		nsgsubg 19124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
27	8, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
28	25, 27	jca 516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
29		rng2idlring.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	29, 14	rng0cl 20135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	1, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	31	anim1i 621	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
33		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
34	29, 33, 11	qusecsub 19801	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
35	28, 32, 34	syl2an2r 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
36	23, 35	bitrid 284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
37	18, 22, 36	3bitrd 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
38		rnggrp 20130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
39	1, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
40	29, 14, 33	grpsubid1 18992	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
41	39, 40	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
42	41	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ 𝐼))
43		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
44		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐽) = (0g‘𝐽)
45		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
46	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Ring)
47		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
48		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
49	43, 44, 45, 46, 47, 48	ring1nzdiv 20370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
50	49	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽)))
51	50	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝐽) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
52	2, 3, 43	2idlbas 21256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55		rng2idlring.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	3, 55	ressmulr 17261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
57	2, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
58		rng2idlring.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐽))
60		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
61	57, 59, 60	oveq123d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴))
62	61	eqeq1d 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽)))
63	3, 14	subg0 19099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
64	27, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
65	64	eqeq2d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘𝑅) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
66	62, 65	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅)) ↔ (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
67	51, 54, 66	3imtr4d 295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
68	67	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
69	42, 68	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
70	37, 69	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
71	70	impd 411	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  [cec 8631  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393   /_s cqus 17460  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088   ~_QG cqg 19089  Abelcabl 19747  Rngcrng 20124  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  2Idealc2idl 21242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-0g 17395  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-nsg 19091  df-eqg 19092  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-subrng 20518  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-2idl 21243

This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1  21293