Theorem rngqiprngimf1lem 21434

Description: Lemma for rngqiprngimf1 21440. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf1lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Proof of Theorem rngqiprngimf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlnsg 21405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
9	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
10		rngqiprngim.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
11		rngqiprngim.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
12	11	oveq2i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	10, 12	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
14		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	13, 14	qus0 19255	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
16	9, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
17	16	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑄) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
18	17	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
19	11	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = ∼
20	19	eceq2i 8733	. . . . . 6 ⊢ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼ )
22	21	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ))
23		eqcom 2770	. . . . 5 ⊢ ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ [(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ )
24		rngabl 20228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
25	1, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
26		nsgsubg 19219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
27	8, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
28	25, 27	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
29		rng2idlring.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	29, 14	rng0cl 20236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	1, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	31	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
33		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
34	29, 33, 11	qusecsub 19900	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
35	28, 32, 34	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
36	23, 35	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
37	18, 22, 36	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
38		rnggrp 20231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
39	1, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
40	29, 14, 33	grpsubid1 19086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
41	39, 40	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
42	41	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ 𝐼))
43		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
44		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐽) = (0g‘𝐽)
45		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
46	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Ring)
47		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
48		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
49	43, 44, 45, 46, 47, 48	ring1nzdiv 20477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
50	49	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽)))
51	50	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝐽) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
52	2, 3, 43	2idlbas 21402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55		rng2idlring.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	3, 55	ressmulr 17355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
57	2, 56	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
58		rng2idlring.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐽))
60		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
61	57, 59, 60	oveq123d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴))
62	61	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽)))
63	3, 14	subg0 19193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
64	27, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
65	64	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘𝑅) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
66	62, 65	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅)) ↔ (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
67	51, 54, 66	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
68	67	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
69	42, 68	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
70	37, 69	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
71	70	impd 415	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8688  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487   /_s cqus 17554  Grpcgrp 18995  -_gcsg 18997  SubGrpcsubg 19181  NrmSGrpcnsg 19182   ~_QG cqg 19183  Abelcabl 19846  Rngcrng 20225  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  2Idealc2idl 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-nsg 19185  df-eqg 19186  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-subrng 20645  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332  df-2idl 21389

This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1  21440