Theorem rngqiprngimf1lem 21401

Description: Lemma for rngqiprngimf1 21407. (Contributed by AV, 7-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimf1lem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Proof of Theorem rngqiprngimf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		ringrng 20364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
7	3, 6	eqeltrrid 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
8	1, 2, 7	rng2idlnsg 21372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
9	8	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
10		rngqiprngim.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
11		rngqiprngim.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
12	11	oveq2i 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
13	10, 12	eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
14		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	13, 14	qus0 19256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
16	9, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = (0g‘𝑄))
17	16	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑄) = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼))
18	17	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼)))
19	11	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = ∼
20	19	eceq2i 8733	. . . . . 6 ⊢ [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) = [(0g‘𝑅)] ∼ )
22	21	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝐼) ↔ [𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ))
23		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ [(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ )
24		rngabl 20229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
25	1, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
26		nsgsubg 19220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
27	8, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
28	25, 27	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)))
29		rng2idlring.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
30	29, 14	rng0cl 20237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	1, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐵)
32	31	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵))
33		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
34	29, 33, 11	qusecsub 19901	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ ((0g‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
35	28, 32, 34	syl2an2r 697	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([(0g‘𝑅)] ∼ = [𝐴] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
36	23, 35	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = [(0g‘𝑅)] ∼ ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
37	18, 22, 36	3bitrd 308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ↔ (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼))
38		rnggrp 20232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
39	1, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
40	29, 14, 33	grpsubid1 19087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
41	39, 40	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = 𝐴)
42	41	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ 𝐼))
43		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
44		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐽) = (0g‘𝐽)
45		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
46	4	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Ring)
47		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
48		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐽) = (1r‘𝐽)
49	43, 44, 45, 46, 47, 48	ring1nzdiv 20477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
50	49	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽)))
51	50	ex 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝐽) → (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
52	2, 3, 43	2idlbas 21369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55		rng2idlring.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘𝑅)
56	3, 55	ressmulr 17356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
57	2, 56	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
58		rng2idlring.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝐽))
60		eqidd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
61	57, 59, 60	oveq123d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴))
62	61	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) ↔ ((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽)))
63	3, 14	subg0 19194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
64	27, 63	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐽))
65	64	eqeq2d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (0g‘𝑅) ↔ 𝐴 = (0g‘𝐽)))
66	62, 65	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅)) ↔ (((1r‘𝐽)(.r‘𝐽)𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝐽))))
67	51, 54, 66	3imtr4d 297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
68	67	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
69	42, 68	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝐴(-g‘𝑅)(0g‘𝑅)) ∈ 𝐼 → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
70	37, 69	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) → (( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽) → 𝐴 = (0g‘𝑅))))
71	70	impd 415	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (([𝐴] ∼ = (0g‘𝑄) ∧ ( 1 · 𝐴) = (0g‘𝐽)) → 𝐴 = (0g‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  [cec 8688  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488   /_s cqus 17555  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998  SubGrpcsubg 19182  NrmSGrpcnsg 19183   ~_QG cqg 19184  Abelcabl 19847  Rngcrng 20226  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  2Idealc2idl 21355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-0g 17490  df-imas 17558  df-qus 17559  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-subrng 20627  df-lss 21027  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-2idl 21356

This theorem is referenced by:  rngqiprngimf1  21407