Theorem grpidcl 18850

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18826	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 18640	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822

This theorem is referenced by:  grpbn0  18851  grprcan  18858  grpid  18860  isgrpid2  18861  grprinv  18875  grpidinv  18883  grpinvid  18884  grpidrcan  18888  grpidlcan  18889  grpidssd  18899  grpinvval2  18906  grpsubid1  18908  imasgrp  18939  mulgcl  18971  mulgz  18982  subg0  19012  subg0cl  19014  issubg4  19025  0subgOLD  19032  nmzsubg  19045  eqgid  19060  qusgrp  19065  qus0  19068  ghmid  19098  ghmpreima  19114  ghmf1  19121  gafo  19160  gaid  19163  gass  19165  gaorber  19172  gastacl  19173  lactghmga  19273  cayleylem2  19281  symgsssg  19335  symgfisg  19336  od1  19427  gexdvds  19452  sylow1lem2  19467  sylow3lem1  19495  lsmdisj2  19550  0frgp  19647  odadd1  19716  torsubg  19722  oddvdssubg  19723  0cyg  19761  prmcyg  19762  telgsums  19861  dprdfadd  19890  dprdz  19900  pgpfac1lem3a  19946  ablsimpgprmd  19985  ring0cl  20084  ringlz  20107  ringrz  20108  f1ghm0to0  20279  kerf1ghm  20282  isdrng2  20371  srng0  20468  lmod0vcl  20501  islmhm2  20649  isdomn4  20918  frgpcyg  21129  ip0l  21189  ocvlss  21225  ascl0  21438  psr0cl  21513  mplsubglem  21558  mhp0cl  21689  mhpaddcl  21694  evl1gsumd  21876  grpvlinv  21897  matinvgcell  21937  mat0dim0  21969  mdetdiag  22101  mdetuni0  22123  chpdmatlem2  22341  chp0mat  22348  istgp2  23595  cldsubg  23615  tgpconncompeqg  23616  tgpconncomp  23617  snclseqg  23620  tgphaus  23621  tgpt1  23622  qustgphaus  23627  tgptsmscls  23654  nrmmetd  24083  nmfval2  24100  nmval2  24101  nmf2  24102  ngpds3  24117  nmge0  24126  nmeq0  24127  nminv  24130  nmmtri  24131  nmrtri  24133  nm0  24138  tngnm  24168  idnghm  24260  nmcn  24360  clmvz  24627  nmoleub2lem2  24632  nglmle  24819  mdeg0  25588  dchrinv  26764  dchr1re  26766  dchrpt  26770  dchrsum2  26771  dchrhash  26774  rpvmasumlem  26990  rpvmasum2  27015  dchrisum0re  27016  ogrpinv0lt  32240  ogrpinvlt  32241  isarchi3  32333  archirng  32334  archirngz  32335  archiabllem1b  32338  rmfsupp2  32387  orngsqr  32422  ornglmulle  32423  orngrmulle  32424  ornglmullt  32425  orngrmullt  32426  orngmullt  32427  ofldchr  32432  isarchiofld  32435  qusker  32464  eqg0el  32473  grplsm0l  32513  qus0g  32518  nsgqus0  32521  nsgmgclem  32522  ghmqusker  32532  fedgmullem1  32714  qqh0  32964  sconnpi1  34230  lfl0f  37939  lkrlss  37965  lshpkrlem1  37980  lkrin  38034  dvhgrp  39978  fsuppind  41162  fsuppssind  41165  mhpind  41166  rng0cl  46662  rnglz  46664  rngrz  46665  zrrnghm  46716  rnglidl0  46752  evl1at0  47072