Theorem grpidcl 18846

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18822	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 18636	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818

This theorem is referenced by:  grpbn0  18847  grprcan  18854  grpid  18856  isgrpid2  18857  grprinv  18871  grpidinv  18879  grpinvid  18880  grpidrcan  18884  grpidlcan  18885  grpidssd  18895  grpinvval2  18902  grpsubid1  18904  imasgrp  18935  mulgcl  18965  mulgz  18976  subg0  19006  subg0cl  19008  issubg4  19019  0subgOLD  19026  nmzsubg  19039  eqgid  19054  qusgrp  19059  qus0  19062  ghmid  19092  ghmpreima  19108  ghmf1  19115  gafo  19154  gaid  19157  gass  19159  gaorber  19166  gastacl  19167  lactghmga  19267  cayleylem2  19275  symgsssg  19329  symgfisg  19330  od1  19421  gexdvds  19446  sylow1lem2  19461  sylow3lem1  19489  lsmdisj2  19544  0frgp  19641  odadd1  19710  torsubg  19716  oddvdssubg  19717  0cyg  19755  prmcyg  19756  telgsums  19855  dprdfadd  19884  dprdz  19894  pgpfac1lem3a  19940  ablsimpgprmd  19979  ring0cl  20077  ringlz  20100  ringrz  20101  f1ghm0to0  20271  kerf1ghm  20274  isdrng2  20321  srng0  20460  lmod0vcl  20493  islmhm2  20641  isdomn4  20910  frgpcyg  21120  ip0l  21180  ocvlss  21216  ascl0  21429  psr0cl  21504  mplsubglem  21549  mhp0cl  21680  mhpaddcl  21685  evl1gsumd  21867  grpvlinv  21888  matinvgcell  21928  mat0dim0  21960  mdetdiag  22092  mdetuni0  22114  chpdmatlem2  22332  chp0mat  22339  istgp2  23586  cldsubg  23606  tgpconncompeqg  23607  tgpconncomp  23608  snclseqg  23611  tgphaus  23612  tgpt1  23613  qustgphaus  23618  tgptsmscls  23645  nrmmetd  24074  nmfval2  24091  nmval2  24092  nmf2  24093  ngpds3  24108  nmge0  24117  nmeq0  24118  nminv  24121  nmmtri  24122  nmrtri  24124  nm0  24129  tngnm  24159  idnghm  24251  nmcn  24351  clmvz  24618  nmoleub2lem2  24623  nglmle  24810  mdeg0  25579  dchrinv  26753  dchr1re  26755  dchrpt  26759  dchrsum2  26760  dchrhash  26763  rpvmasumlem  26979  rpvmasum2  27004  dchrisum0re  27005  ogrpinv0lt  32227  ogrpinvlt  32228  isarchi3  32320  archirng  32321  archirngz  32322  archiabllem1b  32325  rmfsupp2  32375  orngsqr  32410  ornglmulle  32411  orngrmulle  32412  ornglmullt  32413  orngrmullt  32414  orngmullt  32415  ofldchr  32420  isarchiofld  32423  qusker  32452  eqg0el  32461  grplsm0l  32501  qus0g  32506  nsgqus0  32509  nsgmgclem  32510  ghmqusker  32520  fedgmullem1  32702  qqh0  32952  sconnpi1  34218  lfl0f  37927  lkrlss  37953  lshpkrlem1  37968  lkrin  38022  dvhgrp  39966  fsuppind  41159  fsuppssind  41162  mhpind  41163  rng0cl  46648  rnglz  46650  rngrz  46651  zrrnghm  46701  rnglidl0  46734  evl1at0  47025