Theorem grpidcl 18897

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18872	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 18676	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868

This theorem is referenced by:  grpbn0  18898  grprcan  18905  grpid  18907  isgrpid2  18908  grprinv  18922  grpidinv  18930  grpinvid  18931  grpidrcan  18935  grpidlcan  18936  grpidssd  18948  grpinvval2  18955  grpsubid1  18957  imasgrp  18988  mulgcl  19023  mulgz  19034  subg0  19064  subg0cl  19066  issubg4  19077  0subgOLD  19084  nmzsubg  19097  eqgid  19112  eqg0el  19115  qusgrp  19118  qus0  19121  ghmid  19154  ghmpreima  19170  f1ghm0to0  19177  kerf1ghm  19179  ghmqusker  19219  gafo  19228  gaid  19231  gass  19233  gaorber  19240  gastacl  19241  lactghmga  19335  cayleylem2  19343  symgsssg  19397  symgfisg  19398  od1  19489  gexdvds  19514  sylow1lem2  19529  sylow3lem1  19557  lsmdisj2  19612  0frgp  19709  odadd1  19778  torsubg  19784  oddvdssubg  19785  0cyg  19823  prmcyg  19824  telgsums  19923  dprdfadd  19952  dprdz  19962  pgpfac1lem3a  20008  ablsimpgprmd  20047  rng0cl  20072  rnglz  20074  rngrz  20075  ring0cl  20176  zrrnghm  20445  isdomn4  20625  isdrng2  20652  srng0  20763  lmod0vcl  20797  islmhm2  20945  rnglidl0  21139  frgpcyg  21483  ip0l  21545  ocvlss  21581  ascl0  21793  psr0cl  21861  mplsubglem  21908  mhp0cl  22033  mhpaddcl  22038  evl1gsumd  22244  grpvlinv  22285  matinvgcell  22322  mat0dim0  22354  mdetdiag  22486  mdetuni0  22508  chpdmatlem2  22726  chp0mat  22733  istgp2  23978  cldsubg  23998  tgpconncompeqg  23999  tgpconncomp  24000  snclseqg  24003  tgphaus  24004  tgpt1  24005  qustgphaus  24010  tgptsmscls  24037  nrmmetd  24462  nmfval2  24479  nmval2  24480  nmf2  24481  ngpds3  24496  nmge0  24505  nmeq0  24506  nminv  24509  nmmtri  24510  nmrtri  24512  nm0  24517  tngnm  24539  idnghm  24631  nmcn  24733  clmvz  25011  nmoleub2lem2  25016  nglmle  25202  mdeg0  25975  dchrinv  27172  dchr1re  27174  dchrpt  27178  dchrsum2  27179  dchrhash  27182  rpvmasumlem  27398  rpvmasum2  27423  dchrisum0re  27424  ogrpinv0lt  33036  ogrpinvlt  33037  conjga  33127  fxpsubm  33129  isarchi3  33141  archirng  33142  archirngz  33143  archiabllem1b  33146  rmfsupp2  33189  erler  33216  rlocaddval  33219  rlocmulval  33220  rloc0g  33222  fracfld  33258  orngsqr  33282  ornglmulle  33283  orngrmulle  33284  ornglmullt  33285  orngrmullt  33286  orngmullt  33287  ofldchr  33292  isarchiofld  33295  qusker  33320  grplsm0l  33374  qus0g  33378  nsgqus0  33381  nsgmgclem  33382  fedgmullem1  33625  irredminply  33706  rtelextdg2lem  33716  qqh0  33974  sconnpi1  35226  lfl0f  39062  lkrlss  39088  lshpkrlem1  39103  lkrin  39157  dvhgrp  41101  primrootscoprmpow  42087  aks5lem7  42188  fsuppind  42578  fsuppssind  42581  mhpind  42582  evl1at0  48380