Theorem grpidcl 18123

Description: The identity element of a group belongs to the group. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpidcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpidcl.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpidcl	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18102	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpidcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpidcl.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	mndidcl 17918	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098

This theorem is referenced by:  grpbn0  18124  grprcan  18129  grpid  18131  isgrpid2  18132  grprinv  18145  grpidinv  18151  grpinvid  18152  grpidrcan  18156  grpidlcan  18157  grpidssd  18167  grpinvval2  18174  grpsubid1  18176  imasgrp  18207  mulgcl  18237  mulgz  18247  subg0  18277  subg0cl  18279  issubg4  18290  0subg  18296  nmzsubg  18309  eqgid  18324  qusgrp  18327  qus0  18330  ghmid  18356  ghmpreima  18372  ghmf1  18379  gafo  18418  gaid  18421  gass  18423  gaorber  18430  gastacl  18431  lactghmga  18525  cayleylem2  18533  symgsssg  18587  symgfisg  18588  od1  18678  gexdvds  18701  sylow1lem2  18716  sylow3lem1  18744  lsmdisj2  18800  0frgp  18897  odadd1  18961  torsubg  18967  oddvdssubg  18968  0cyg  19006  prmcyg  19007  telgsums  19106  dprdfadd  19135  dprdz  19145  pgpfac1lem3a  19191  ablsimpgprmd  19230  ring0cl  19315  ringlz  19333  ringrz  19334  f1ghm0to0  19488  kerf1ghm  19491  isdrng2  19505  srng0  19624  lmod0vcl  19656  islmhm2  19803  frgpcyg  20265  ip0l  20325  ocvlss  20361  ascl0  20570  psr0cl  20632  mplsubglem  20672  mhp0cl  20797  mhpaddcl  20799  evl1gsumd  20981  grpvlinv  21002  matinvgcell  21040  mat0dim0  21072  mdetdiag  21204  mdetuni0  21226  chpdmatlem2  21444  chp0mat  21451  istgp2  22696  cldsubg  22716  tgpconncompeqg  22717  tgpconncomp  22718  snclseqg  22721  tgphaus  22722  tgpt1  22723  qustgphaus  22728  tgptsmscls  22755  nrmmetd  23181  nmfval2  23197  nmval2  23198  nmf2  23199  ngpds3  23214  nmge0  23223  nmeq0  23224  nminv  23227  nmmtri  23228  nmrtri  23230  nm0  23235  tngnm  23257  idnghm  23349  nmcn  23449  clmvz  23716  nmoleub2lem2  23721  nglmle  23906  mdeg0  24671  dchrinv  25845  dchr1re  25847  dchrpt  25851  dchrsum2  25852  dchrhash  25855  rpvmasumlem  26071  rpvmasum2  26096  dchrisum0re  26097  ogrpinv0lt  30773  ogrpinvlt  30774  isarchi3  30866  archirng  30867  archirngz  30868  archiabllem1b  30871  rmfsupp2  30917  orngsqr  30928  ornglmulle  30929  orngrmulle  30930  ornglmullt  30931  orngrmullt  30932  orngmullt  30933  ofldchr  30938  isarchiofld  30941  qusker  30969  eqg0el  30977  fedgmullem1  31113  qqh0  31335  sconnpi1  32599  lfl0f  36365  lkrlss  36391  lshpkrlem1  36406  lkrin  36460  dvhgrp  38403  fsuppind  39456  fsuppssind  39459  rnglz  44508  zrrnghm  44541  evl1at0  44799