Theorem rnglidl0 21240

Description: Every non-unital ring contains a zero ideal. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl0	⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rnglidl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	rng0cl 20161	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	snssd 4808	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ⊆ (Base‘𝑅))
5	2	fvexi 6919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ V)
7	6	snn0d 4774	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	1, 8, 2	rngrz 20164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
11		rnggrp 20156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 2	grpidcl 18984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	1, 13, 2	grprid 18987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
17	10, 16	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	5	elsn2 4664	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
20		oveq2 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅) 0 ))
21	20	oveq1d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧))
22	21	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
23	22	ralbidv 3177	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4680	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
25		oveq2 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ))
26	25	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 }))
27	5, 26	ralsn 4680	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
28	24, 27	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
29	19, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
30	29	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
31		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
32	31, 1, 13, 8	islidl 21226	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ 𝑈 ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
33	4, 7, 30, 32	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  Rngcrng 20150  LIdealclidl 21217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219

This theorem is referenced by:  lidl0  21241