Theorem rnglidl0 21366

Description: Every non-unital ring contains a zero ideal. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl0	⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rnglidl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	rng0cl 20247	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	snssd 4751	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ⊆ (Base‘𝑅))
5	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ V)
7	6	snn0d 4740	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	1, 8, 2	rngrz 20250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
11		rnggrp 20242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 2	grpidcl 19038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	1, 13, 2	grprid 19041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc2 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
16	15	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
17	10, 16	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	5	elsn2 4630	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
19	17, 18	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
20		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅) 0 ))
21	20	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧))
22	21	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
23	22	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4646	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
25		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ))
26	25	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 }))
27	5, 26	ralsn 4646	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
28	24, 27	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
29	19, 28	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
30	29	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
31		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
32	31, 1, 13, 8	islidl 21351	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ 𝑈 ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
33	4, 7, 30, 32	syl3anbrc 1361	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  Rngcrng 20236  LIdealclidl 21341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343

This theorem is used by:  lidl0  21367