Theorem rnglidl0 21036

Description: Every non-unital ring contains a zero ideal. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl0	⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rnglidl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	rng0cl 20061	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	snssd 4812	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ⊆ (Base‘𝑅))
5	2	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ V)
7	6	snn0d 4779	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	1, 8, 2	rngrz 20064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
11		rnggrp 20056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 2	grpidcl 18890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	1, 13, 2	grprid 18893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc2 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
17	10, 16	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	5	elsn2 4667	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
19	17, 18	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
20		oveq2 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅) 0 ))
21	20	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧))
22	21	eleq1d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
23	22	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4685	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
25		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ))
26	25	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 }))
27	5, 26	ralsn 4685	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
28	24, 27	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
29	19, 28	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
30	29	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
31		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
32	31, 1, 13, 8	islidl 20985	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ 𝑈 ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
33	4, 7, 30, 32	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392  Grpcgrp 18858  Rngcrng 20050  LIdealclidl 20932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936

This theorem is referenced by: (None)