Theorem rnglidl0 21262

Description: Every non-unital ring contains a zero ideal. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl0	⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rnglidl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	rng0cl 20190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4	3	snssd 4834	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ⊆ (Base‘𝑅))
5	2	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ V)
7	6	snn0d 4800	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ≠ ∅)
8		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9	1, 8, 2	rngrz 20193	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
10	9	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅) 0 ))
11		rnggrp 20185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 2	grpidcl 19005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
13		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
14	1, 13, 2	grprid 19008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
15	11, 12, 14	syl2anc2 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
17	10, 16	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
18	5	elsn2 4687	. . . . 5 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
20		oveq2 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑅) 0 ))
21	20	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧))
22	21	eleq1d 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
23	22	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
24	5, 23	ralsn 4705	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
25		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 0 → ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ))
26	25	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → (((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 }))
27	5, 26	ralsn 4705	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
28	24, 27	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(.r‘𝑅) 0 )(+g‘𝑅) 0 ) ∈ { 0 })
29	19, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
30	29	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 })
31		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
32	31, 1, 13, 8	islidl 21248	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ 𝑈 ↔ ({ 0 } ⊆ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ { 0 }∀𝑧 ∈ { 0 } ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ { 0 }))
33	4, 7, 30, 32	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → { 0 } ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  Rngcrng 20179  LIdealclidl 21239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241

This theorem is referenced by:  lidl0  21263