MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglidl0 21139
Description: Every non-unital ring contains a zero ideal. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidl0.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
rnglidl0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglidl0 (𝑅 ∈ Rng β†’ { 0 } ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem rnglidl0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 rnglidl0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2rng0cl 20117 . . 3 (𝑅 ∈ Rng β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
43snssd 4817 . 2 (𝑅 ∈ Rng β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
52fvexi 6916 . . . 4 0 ∈ V
65a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Rng β†’ 0 ∈ V)
76snn0d 4784 . 2 (𝑅 ∈ Rng β†’ { 0 } β‰  βˆ…)
8 eqid 2728 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
91, 8, 2rngrz 20120 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
109oveq1d 7441 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = ( 0 (+gβ€˜π‘…) 0 ))
11 rnggrp 20112 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
121, 2grpidcl 18936 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
13 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
141, 13, 2grprid 18939 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
1511, 12, 14syl2anc2 583 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
1615adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
1710, 16eqtrd 2768 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
185elsn2 4672 . . . . 5 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) = 0 )
1917, 18sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ { 0 })
20 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 ))
2120oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧))
2221eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 β†’ (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 }))
2322ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑦 = 0 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 } ↔ βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 }))
245, 23ralsn 4690 . . . . 5 (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 }βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 } ↔ βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 })
25 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑧 = 0 β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ))
2625eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝑧 = 0 β†’ (((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ { 0 }))
275, 26ralsn 4690 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ { 0 })
2824, 27bitri 274 . . . 4 (βˆ€π‘¦ ∈ { 0 }βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 } ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…) 0 )(+gβ€˜π‘…) 0 ) ∈ { 0 })
2919, 28sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ { 0 }βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 })
3029ralrimiva 3143 . 2 (𝑅 ∈ Rng β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ { 0 }βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 })
31 rnglidl0.u . . 3 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
3231, 1, 13, 8islidl 21125 . 2 ({ 0 } ∈ π‘ˆ ↔ ({ 0 } βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ { 0 } β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘¦ ∈ { 0 }βˆ€π‘§ ∈ { 0 } ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦)(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ { 0 }))
334, 7, 30, 32syl3anbrc 1340 1 (𝑅 ∈ Rng β†’ { 0 } ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  Rngcrng 20106  LIdealclidl 21116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-lidl 21118
This theorem is referenced by:  lidl0  21140
  Copyright terms: Public domain W3C validator