Theorem rnxrnres 38607

Description: Range of a range Cartesian product with a restricted relation. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rnxrnres	⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnxrn 38606	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)}
2		brres 5945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
3	2	elv 3445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
4	3	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
5		an12 645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
6	4, 5	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
7	6	exbii 1849	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
8		df-rex 3061	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
9	7, 8	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
10	9	opabbii 5165	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}
11	1, 10	eqtri 2759	1 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  {copab 5160  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ⋉ cxrn 38375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fo 6498  df-fv 6500  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-ec 8637  df-xrn 38565

This theorem is referenced by:  rnxrncnvepres  38608  rnxrnidres  38609