Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnxrnres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnxrnres 38381
Description: Range of a range Cartesian product with a restricted relation. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
rnxrnres ran (𝑅 ⋉ (𝑆𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrnres
StepHypRef Expression
1 rnxrn 38380 . 2 ran (𝑅 ⋉ (𝑆𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢(𝑆𝐴)𝑦)}
2 brres 6007 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑆𝐴)𝑦 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑆𝑦)))
32elv 3483 . . . . . . 7 (𝑢(𝑆𝐴)𝑦 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑆𝑦))
43anbi2i 623 . . . . . 6 ((𝑢𝑅𝑥𝑢(𝑆𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢𝐴𝑢𝑆𝑦)))
5 an12 645 . . . . . 6 ((𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢𝐴𝑢𝑆𝑦)))
64, 5bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑢𝑅𝑥𝑢(𝑆𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)))
76exbii 1845 . . . 4 (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢(𝑆𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)))
8 df-rex 3069 . . . 4 (∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)))
97, 8bitr4i 278 . . 3 (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢(𝑆𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦))
109opabbii 5215 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥𝑢(𝑆𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)}
111, 10eqtri 2763 1 ran (𝑅 ⋉ (𝑆𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑆𝑦)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5690  cres 5691  cxrn 38161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-ec 8746  df-xrn 38353
This theorem is referenced by:  rnxrncnvepres  38382  rnxrnidres  38383
  Copyright terms: Public domain W3C validator