Theorem rnxrnres 39052

Description: Range of a range Cartesian product with a restricted relation. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rnxrnres	⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnxrn 39051	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)}
2		brres 5987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
3	2	elv 3460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
4	3	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
5		an12 657	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
7	6	exbii 1878	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
8		df-rex 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
9	7, 8	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
10	9	opabbii 5179	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}
11	1, 10	eqtri 2786	1 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  {copab 5174  ran crn 5664   ↾ cres 5665   ⋉ cxrn 38804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fo 6544  df-fv 6546  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-ec 8697  df-xrn 39010

This theorem is referenced by:  rnxrncnvepres  39053  rnxrnidres  39054