Theorem rnxrnres 36262

Description: Range of a range Cartesian product with a restricted relation. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rnxrnres	⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnxrn 36261	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)}
2		brres 5858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
3	2	elv 3414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
4	3	anbi2i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
5		an12 645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
6	4, 5	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
7	6	exbii 1855	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
8		df-rex 3067	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
9	7, 8	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
10	9	opabbii 5120	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}
11	1, 10	eqtri 2765	1 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  {copab 5115  ran crn 5552   ↾ cres 5553   ⋉ cxrn 36069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fo 6386  df-fv 6388  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-ec 8393  df-xrn 36238

This theorem is referenced by:  rnxrncnvepres  36263  rnxrnidres  36264