Theorem rnxrnres 38743

Description: Range of a range Cartesian product with a restricted relation. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rnxrnres	⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnxrn 38742	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)}
2		brres 5951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
3	2	elv 3434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
4	3	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
5		an12 646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
6	4, 5	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
7	6	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
8		df-rex 3062	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
9	7, 8	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
10	9	opabbii 5152	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}
11	1, 10	eqtri 2759	1 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  {copab 5147  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ⋉ cxrn 38495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fo 6504  df-fv 6506  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-ec 8645  df-xrn 38701

This theorem is referenced by:  rnxrncnvepres  38744  rnxrnidres  38745