Theorem rnxrnres 38670

Description: Range of a range Cartesian product with a restricted relation. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rnxrnres	⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦   𝑢,𝑆,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnxrn 38669	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)}
2		brres 5953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
3	2	elv 3447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
4	3	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
5		an12 646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)) ↔ (𝑢𝑅𝑥 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
6	4, 5	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
7	6	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
8		df-rex 3063	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)))
9	7, 8	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦))
10	9	opabbii 5167	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢(𝑆 ↾ 𝐴)𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}
11	1, 10	eqtri 2760	1 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑆𝑦)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  {copab 5162  ran crn 5633   ↾ cres 5634   ⋉ cxrn 38422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-ec 8647  df-xrn 38628

This theorem is referenced by:  rnxrncnvepres  38671  rnxrnidres  38672