Theorem smores3 8392

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smores3	⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Proof of Theorem smores3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 6032	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
2		incom 4217	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ dom 𝐴) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
3	1, 2	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
4	3	eleq2i 2831	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵))
5		smores 8391	. . . 4 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
6	4, 5	sylan2br 595	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
7	6	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
8		elinel2 4212	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9		ordelss 6402	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10	9	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11	8, 10	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
13		resabs1 6027	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶))
14		smoeq 8389	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
15	12, 13, 14	3syl 18	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
16	7, 15	mpbid 232	1 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  Ord word 6385  Smo wsmo 8384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ord 6389  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-smo 8385

This theorem is referenced by: (None)