Theorem smores3 8343

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smores3	⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

Proof of Theorem smores3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 6005	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
2		incom 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∩ dom 𝐴) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
3	1, 2	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (dom 𝐴 ∩ 𝐵)
4	3	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵))
5		smores 8342	. . . 4 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
6	4, 5	sylan2br 607	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵)) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
7	6	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶))
8		elinel2 4148	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
9		ordelss 6373	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
10	9	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11	8, 10	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
12	11	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
13		resabs1 5999	. . 3 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶))
14		smoeq 8340	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) = (𝐴 ↾ 𝐶) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
15	12, 13, 14	3syl 19	. 2 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (Smo ((𝐴 ↾ 𝐵) ↾ 𝐶) ↔ Smo (𝐴 ↾ 𝐶)))
16	7, 15	mpbid 235	1 ⊢ ((Smo (𝐴 ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → Smo (𝐴 ↾ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Ord word 6356  Smo wsmo 8335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ord 6360  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-smo 8336

This theorem is used by: (None)