Theorem resabs1 5971

Description: Absorption law for restriction. Exercise 17 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 9-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
resabs1	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem resabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resres 5957	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵))
2		sseqin2 4163	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐵)
3		reseq2 5939	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐵 → (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵))
4	2, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵))
5	1, 4	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ↾ cres 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-res 5643

This theorem is referenced by:  resabs1i  5972  resabs1d  5973  resabs2  5974  resiima  6041  fun2ssres  6543  fssres2  6708  smores3  8293  setsres  17148  gsum2dlem2  19946  gsumle  20120  lindsss  21804  resthauslem  23328  ptcmpfi  23778  tsmsres  24109  ressxms  24490  nrginvrcn  24657  xrge0gsumle  24799  lebnumii  24933  dvmptresicc  25883  dfrelog  26529  relogf1o  26530  dvlog  26615  dvlog2  26617  efopnlem2  26621  wilthlem2  27032  nosupres  27671  nosupbnd2lem1  27679  noinfres  27686  noinfbnd2lem1  27694  nosupinfsep  27696  rrhre  34165  iwrdsplit  34531  rpsqrtcn  34737  pthhashvtx  35310  cvmsss2  35456  mbfposadd  37988  mzpcompact2lem  43183  eldioph2  43194  diophin  43204  diophrex  43207  2rexfrabdioph  43224  3rexfrabdioph  43225  4rexfrabdioph  43226  6rexfrabdioph  43227  7rexfrabdioph  43228  fourierdlem46  46580  fourierdlem57  46591  fourierdlem111  46645  fouriersw  46659  psmeasurelem  46898