Theorem resabs1 5965

Description: Absorption law for restriction. Exercise 17 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 9-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
resabs1	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem resabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resres 5951	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵))
2		sseqin2 4175	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐵)
3		reseq2 5933	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐵 → (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵))
4	2, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵))
5	1, 4	eqtrid 2783	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901   ↾ cres 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-res 5636

This theorem is referenced by:  resabs1i  5966  resabs1d  5967  resabs2  5968  resiima  6035  fun2ssres  6537  fssres2  6702  smores3  8285  setsres  17105  gsum2dlem2  19900  gsumle  20074  lindsss  21779  resthauslem  23307  ptcmpfi  23757  tsmsres  24088  ressxms  24469  nrginvrcn  24636  xrge0gsumle  24778  lebnumii  24921  dvmptresicc  25873  dfrelog  26530  relogf1o  26531  dvlog  26616  dvlog2  26618  efopnlem2  26622  wilthlem2  27035  nosupres  27675  nosupbnd2lem1  27683  noinfres  27690  noinfbnd2lem1  27698  nosupinfsep  27700  rrhre  34178  iwrdsplit  34544  rpsqrtcn  34750  pthhashvtx  35322  cvmsss2  35468  mbfposadd  37868  mzpcompact2lem  42993  eldioph2  43004  diophin  43014  diophrex  43017  2rexfrabdioph  43038  3rexfrabdioph  43039  4rexfrabdioph  43040  6rexfrabdioph  43041  7rexfrabdioph  43042  fourierdlem46  46396  fourierdlem57  46407  fourierdlem111  46461  fouriersw  46475  psmeasurelem  46714