Theorem resabs1 6004

Description: Absorption law for restriction. Exercise 17 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 9-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
resabs1	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵))

Proof of Theorem resabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resres 5990	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵))
2		sseqin2 4175	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐵)
3		reseq2 5972	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∩ 𝐵) = 𝐵 → (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵))
4	2, 3	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → (𝐴 ↾ (𝐶 ∩ 𝐵)) = (𝐴 ↾ 𝐵))
5	1, 4	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 → ((𝐴 ↾ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝐴 ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   ↾ cres 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-opab 5173  df-xp 5666  df-rel 5667  df-res 5672

This theorem is used by:  resabs1i  6005  resabs1d  6006  resabs2  6007  resiima  6077  fun2ssres  6581  fssres2  6746  smores3  8338  setsres  17244  gsum2dlem2  20047  gsumle  20221  lindsss  21985  resthauslem  23531  ptcmpfi  23981  tsmsres  24312  ressxms  24693  nrginvrcn  24860  xrge0gsumle  25002  lebnumii  25136  dvmptresicc  26086  dfrelog  26741  relogf1o  26742  dvlog  26827  dvlog2  26829  efopnlem2  26833  wilthlem2  27244  nosupres  27882  nosupbnd2lem1  27890  noinfres  27897  noinfbnd2lem1  27905  nosupinfsep  27907  rrhre  34420  iwrdsplit  34786  rpsqrtcn  34989  pthhashvtx  35628  cvmsss2  35774  mbfposadd  38346  mzpcompact2lem  43510  eldioph2  43521  diophin  43531  diophrex  43534  2rexfrabdioph  43551  3rexfrabdioph  43552  4rexfrabdioph  43553  6rexfrabdioph  43554  7rexfrabdioph  43555  fourierdlem46  46894  fourierdlem57  46905  fourierdlem111  46959  fouriersw  46973  psmeasurelem  47212