Theorem symgextfv 19632

Description: The function value of the extension of a permutation, fixing the additional element, for elements in the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfv	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4078	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍‘𝑋) ∈ V)
3		ifexg 4532	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝑋) ∈ V) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
4	2, 3	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
5		eqeq1 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐾 ↔ 𝑋 = 𝐾))
6		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
7	5, 6	ifbieq2d 4509	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
8		symgext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
9	7, 8	fvmptg 6991	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
10	1, 4, 9	syl2anr 609	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
11		eldifsnneq 4754	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
13	12	iffalsed 4493	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) = (𝑍‘𝑋))
14	10, 13	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
15	14	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  SymGrpcsymg 19583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  symgextf1lem  19634  symgextf1  19635  symgextfo  19636  symgextres  19639