Theorem symgextfv 19451

Description: The function value of the extension of a permutation, fixing the additional element, for elements in the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfv	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4141	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		fvexd 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍‘𝑋) ∈ V)
3		ifexg 4580	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝑋) ∈ V) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
4	2, 3	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
5		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐾 ↔ 𝑋 = 𝐾))
6		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
7	5, 6	ifbieq2d 4557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
8		symgext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
9	7, 8	fvmptg 7014	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
10	1, 4, 9	syl2anr 597	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
11		eldifsnneq 4796	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
13	12	iffalsed 4542	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) = (𝑍‘𝑋))
14	10, 13	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
15	14	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  symgextf1lem  19453  symgextf1  19454  symgextfo  19455  symgextres  19458