Theorem symgextfv 19384

Description: The function value of the extension of a permutation, fixing the additional element, for elements in the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfv	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4061	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍‘𝑋) ∈ V)
3		ifexg 4504	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝑋) ∈ V) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
4	2, 3	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
5		eqeq1 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐾 ↔ 𝑋 = 𝐾))
6		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
7	5, 6	ifbieq2d 4481	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
8		symgext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
9	7, 8	fvmptg 6933	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
10	1, 4, 9	syl2anr 603	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
11		eldifsnneq 4724	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
12	11	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
13	12	iffalsed 4465	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) = (𝑍‘𝑋))
14	10, 13	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
15	14	ex 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  SymGrpcsymg 19335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493

This theorem is referenced by:  symgextf1lem  19386  symgextf1  19387  symgextfo  19388  symgextres  19391