Theorem symgextfv 19347

Description: The function value of the extension of a permutation, fixing the additional element, for elements in the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfv	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4083	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍‘𝑋) ∈ V)
3		ifexg 4529	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝑋) ∈ V) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
4	2, 3	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
5		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐾 ↔ 𝑋 = 𝐾))
6		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
7	5, 6	ifbieq2d 4506	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
8		symgext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
9	7, 8	fvmptg 6939	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
10	1, 4, 9	syl2anr 597	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
11		eldifsnneq 4747	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
13	12	iffalsed 4490	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) = (𝑍‘𝑋))
14	10, 13	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
15	14	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  SymGrpcsymg 19298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500

This theorem is referenced by:  symgextf1lem  19349  symgextf1  19350  symgextfo  19351  symgextres  19354