Theorem symgextfv 19683

Description: The function value of the extension of a permutation, fixing the additional element, for elements in the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfv	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4070	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑋 ∈ 𝑁)
2		fvexd 6931	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍‘𝑋) ∈ V)
3		ifexg 4535	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ (𝑍‘𝑋) ∈ V) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
4	2, 3	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V)
5		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝐾 ↔ 𝑋 = 𝐾))
6		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑍‘𝑥) = (𝑍‘𝑋))
7	5, 6	ifbieq2d 4512	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
8		symgext.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
9	7, 8	fvmptg 7022	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑁 ∧ if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) ∈ V) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
10	1, 4, 9	syl2anr 609	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)))
11		eldifsnneq 4756	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ¬ 𝑋 = 𝐾)
13	12	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → if(𝑋 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑋)) = (𝑍‘𝑋))
14	10, 13	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
15	14	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  SymGrpcsymg 19634

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574

This theorem is used by:  symgextf1lem  19685  symgextf1  19686  symgextfo  19687  symgextres  19690