Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1lem 18539
 Description: Lemma for symgextf1 18540. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1lem ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . . . 7 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 symgext.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
31, 2symgfv 18499 . . . . . 6 ((𝑍𝑆𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
43adantll 713 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
5 eldifsni 4705 . . . . . 6 ((𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑍𝑋) ≠ 𝐾)
6 symgext.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
72, 6symgextfv 18537 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑋) = (𝑍𝑋)))
87imp 410 . . . . . . 7 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑋) = (𝑍𝑋))
98neeq1d 3072 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐸𝑋) ≠ 𝐾 ↔ (𝑍𝑋) ≠ 𝐾))
105, 9syl5ibr 249 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾))
114, 10mpd 15 . . . 4 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾)
1211adantrr 716 . . 3 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾)
13 elsni 4565 . . . . . 6 (𝑌 ∈ {𝐾} → 𝑌 = 𝐾)
142, 6symgextfve 18538 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1613, 15syl5com 31 . . . . 5 (𝑌 ∈ {𝐾} → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1716adantl 485 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1817impcom 411 . . 3 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑌) = 𝐾)
1912, 18neeqtrrd 3087 . 2 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌))
2019ex 416 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013   ∖ cdif 3915  ifcif 4448  {csn 4548   ↦ cmpt 5129  ‘cfv 6338  Basecbs 16474  SymGrpcsymg 18486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-tset 16575  df-efmnd 18025  df-symg 18487 This theorem is referenced by:  symgextf1  18540
 Copyright terms: Public domain W3C validator