Theorem symgextf1lem 19643

Description: Lemma for symgextf1 19644. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf1lem	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝐸‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		symgext.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
3	1, 2	symgfv 19603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
4	3	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
5		eldifsni 4749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑍‘𝑋) ≠ 𝐾)
6		symgext.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
7	2, 6	symgextfv 19641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))
8	7	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
9	8	neeq1d 3014	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾 ↔ (𝑍‘𝑋) ≠ 𝐾))
10	5, 9	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾))
11	4, 10	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾)
12	11	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾)
13		elsni 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ {𝐾} → 𝑌 = 𝐾)
14	2, 6	symgextfve 19642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
16	13, 15	syl5com 32	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {𝐾} → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
18	17	impcom 413	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸‘𝑌) = 𝐾)
19	12, 18	neeqtrrd 3029	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝐸‘𝑌))
20	19	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝐸‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∖ cdif 4044  ifcif 4481  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  SymGrpcsymg 19592

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-tset 17456  df-efmnd 19074  df-symg 19593

This theorem is used by:  symgextf1  19644