MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1lem 19413
Description: Lemma for symgextf1 19414. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1lem ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . . 7 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 symgext.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
31, 2symgfv 19372 . . . . . 6 ((𝑍𝑆𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
43adantll 712 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
5 eldifsni 4798 . . . . . 6 ((𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑍𝑋) ≠ 𝐾)
6 symgext.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
72, 6symgextfv 19411 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑋) = (𝑍𝑋)))
87imp 405 . . . . . . 7 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑋) = (𝑍𝑋))
98neeq1d 2989 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐸𝑋) ≠ 𝐾 ↔ (𝑍𝑋) ≠ 𝐾))
105, 9imbitrrid 245 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾))
114, 10mpd 15 . . . 4 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾)
1211adantrr 715 . . 3 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾)
13 elsni 4649 . . . . . 6 (𝑌 ∈ {𝐾} → 𝑌 = 𝐾)
142, 6symgextfve 19412 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1613, 15syl5com 31 . . . . 5 (𝑌 ∈ {𝐾} → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1716adantl 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1817impcom 406 . . 3 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑌) = 𝐾)
1912, 18neeqtrrd 3004 . 2 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌))
2019ex 411 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3943  ifcif 4532  {csn 4632  cmpt 5235  cfv 6553  Basecbs 17208  SymGrpcsymg 19359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-tset 17280  df-efmnd 18854  df-symg 19360
This theorem is referenced by:  symgextf1  19414
  Copyright terms: Public domain W3C validator