Theorem symgextf1lem 19534

Description: Lemma for symgextf1 19535. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf1lem	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝐸‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		symgext.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
3	1, 2	symgfv 19494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
4	3	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
5		eldifsni 4760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑍‘𝑋) ≠ 𝐾)
6		symgext.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
7	2, 6	symgextfv 19532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋)))
8	7	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) = (𝑍‘𝑋))
9	8	neeq1d 3019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾 ↔ (𝑍‘𝑋) ≠ 𝐾))
10	5, 9	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾))
11	4, 10	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾)
12	11	adantrr 730	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) ≠ 𝐾)
13		elsni 4608	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ {𝐾} → 𝑌 = 𝐾)
14	2, 6	symgextfve 19533	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
16	13, 15	syl5com 32	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {𝐾} → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
17	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑌) = 𝐾))
18	17	impcom 413	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸‘𝑌) = 𝐾)
19	12, 18	neeqtrrd 3034	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝐸‘𝑌))
20	19	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑋) ≠ (𝐸‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  Basecbs 17291  SymGrpcsymg 19483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-tset 17351  df-efmnd 18965  df-symg 19484

This theorem is used by:  symgextf1  19535