MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1lem 18191
Description: Lemma for symgextf1 18192. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1lem ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . . . . . 7 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2 symgext.s . . . . . . 7 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
31, 2symgfv 18158 . . . . . 6 ((𝑍𝑆𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
43adantll 707 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
5 eldifsni 4541 . . . . . 6 ((𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑍𝑋) ≠ 𝐾)
6 symgext.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
72, 6symgextfv 18189 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑋) = (𝑍𝑋)))
87imp 397 . . . . . . 7 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑋) = (𝑍𝑋))
98neeq1d 3059 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐸𝑋) ≠ 𝐾 ↔ (𝑍𝑋) ≠ 𝐾))
105, 9syl5ibr 238 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑋) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾))
114, 10mpd 15 . . . 4 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾)
1211adantrr 710 . . 3 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ 𝐾)
13 elsni 4415 . . . . . 6 (𝑌 ∈ {𝐾} → 𝑌 = 𝐾)
142, 6symgextfve 18190 . . . . . . 7 (𝐾𝑁 → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1514adantr 474 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑌 = 𝐾 → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1613, 15syl5com 31 . . . . 5 (𝑌 ∈ {𝐾} → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1716adantl 475 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑌) = 𝐾))
1817impcom 398 . . 3 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑌) = 𝐾)
1912, 18neeqtrrd 3074 . 2 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾})) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌))
2019ex 403 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑋 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑌 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑋) ≠ (𝐸𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  cdif 3796  ifcif 4307  {csn 4398  cmpt 4953  cfv 6124  Basecbs 16223  SymGrpcsymg 18148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-plusg 16319  df-tset 16325  df-symg 18149
This theorem is referenced by:  symgextf1  18192
  Copyright terms: Public domain W3C validator