MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextres 19215
Description: The restriction of the extension of a permutation, fixing the additional element, to the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextres ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextfv 19208 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
43ralrimiv 3139 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
51, 2symgextf 19207 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
65ffnd 6673 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 Fn 𝑁)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
87, 1symgbasf 19165 . . . . 5 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
98ffnd 6673 . . . 4 (𝑍𝑆𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
109adantl 483 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
11 difssd 4096 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
12 fvreseq1 6993 . . 3 (((𝐸 Fn 𝑁𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
136, 10, 11, 12syl21anc 837 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
144, 13mpbird 257 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cdif 3911  wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590  cmpt 5192  cres 5639   Fn wfn 6495  cfv 6500  Basecbs 17091  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-efmnd 18687  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  symgfixfo  19229
  Copyright terms: Public domain W3C validator