Theorem symgextres 19061

Description: The restriction of the extension of a permutation, fixing the additional element, to the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextres	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextfv 19054	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
4	3	ralrimiv 3136	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖))
5	1, 2	symgextf 19053	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
6	5	ffnd 6619	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸 Fn 𝑁)
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
8	7, 1	symgbasf 19011	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
9	8	ffnd 6619	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
11		difssd 4070	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
12		fvreseq1 6936	. . 3 ⊢ (((𝐸 Fn 𝑁 ∧ 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
13	6, 10, 11, 12	syl21anc 834	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
14	4, 13	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4462  {csn 4564   ↦ cmpt 5160   ↾ cres 5593   Fn wfn 6442  ‘cfv 6447  Basecbs 16940  SymGrpcsymg 19002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-tset 17009  df-efmnd 18536  df-symg 19003

This theorem is referenced by:  symgfixfo  19075