Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1 18606
 Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 18602 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 difsnid 4698 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
54eqcomd 2765 . . . . . . 7 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
65eleq2d 2838 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑦𝑁𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
75eleq2d 2838 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑧𝑁𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
86, 7anbi12d 634 . . . . 5 (𝐾𝑁 → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
98adantr 485 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10 elun 4055 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11 elun 4055 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
121, 2symgextfv 18603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1312com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1413adantr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1514imp 411 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦))
161, 2symgextfv 18603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1817adantl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1918imp 411 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧))
2015, 19eqeq12d 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
21 eqid 2759 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2221, 1symgbasf1o 18560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23 f1of1 6599 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24 dff13 7003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25 fveqeq2 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑗)))
26 equequ1 2033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗𝑦 = 𝑗))
2725, 26imbi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28 fveq2 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑧 → (𝑍𝑗) = (𝑍𝑧))
2928eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
30 equequ2 2034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗𝑦 = 𝑧))
3129, 30imbi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3227, 31rspc2va 3553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3332expcom 418 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3524, 34simplbiim 509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3622, 23, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑍𝑆 → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3736impcom 412 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3837impcom 412 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3920, 38sylbid 243 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4039ex 417 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
411, 2symgextf1lem 18605 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦)))
42 eqneqall 2963 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑧) = (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4342eqcoms 2767 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4443com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4541, 44syl6com 37 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4645ancoms 463 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
471, 2symgextf1lem 18605 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧)))
48 eqneqall 2963 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4948com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
5047, 49syl6com 37 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
51 elsni 4537 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
52 elsni 4537 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
53 eqtr3 2781 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
54532a1d 26 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5551, 52, 54syl2an 599 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5640, 46, 50, 55ccase 1034 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5710, 11, 56syl2anb 601 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5857com12 32 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
599, 58sylbid 243 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6059ralrimivv 3120 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
61 dff13 7003 . 2 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
623, 60, 61sylanbrc 587 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071   ∖ cdif 3856   ∪ cun 3857  ifcif 4418  {csn 4520   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6329  –1-1→wf1 6330  –1-1-onto→wf1o 6332  ‘cfv 6333  Basecbs 16531  SymGrpcsymg 18552 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-4 11729  df-5 11730  df-6 11731  df-7 11732  df-8 11733  df-9 11734  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-fz 12930  df-struct 16533  df-ndx 16534  df-slot 16535  df-base 16537  df-sets 16538  df-ress 16539  df-plusg 16626  df-tset 16632  df-efmnd 18090  df-symg 18553 This theorem is referenced by:  symgextf1o  18608
 Copyright terms: Public domain W3C validator