MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1 19288
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 19284 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 difsnid 4813 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
54eqcomd 2738 . . . . . . 7 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
65eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑦𝑁𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
75eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑧𝑁𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
86, 7anbi12d 631 . . . . 5 (𝐾𝑁 → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
98adantr 481 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10 elun 4148 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11 elun 4148 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
121, 2symgextfv 19285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1312com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1514imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦))
161, 2symgextfv 19285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1817adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1918imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧))
2015, 19eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2221, 1symgbasf1o 19241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23 f1of1 6832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24 dff13 7253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑗)))
26 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗𝑦 = 𝑗))
2725, 26imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑧 → (𝑍𝑗) = (𝑍𝑧))
2928eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
30 equequ2 2029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗𝑦 = 𝑧))
3129, 30imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3227, 31rspc2va 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3332expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3524, 34simplbiim 505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3622, 23, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑍𝑆 → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3736impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3837impcom 408 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3920, 38sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4039ex 413 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
411, 2symgextf1lem 19287 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦)))
42 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑧) = (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4342eqcoms 2740 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4443com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4541, 44syl6com 37 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4645ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
471, 2symgextf1lem 19287 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧)))
48 eqneqall 2951 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4948com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
5047, 49syl6com 37 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
51 elsni 4645 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
52 elsni 4645 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
53 eqtr3 2758 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
54532a1d 26 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5551, 52, 54syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5640, 46, 50, 55ccase 1036 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5710, 11, 56syl2anb 598 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5857com12 32 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
599, 58sylbid 239 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6059ralrimivv 3198 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
61 dff13 7253 . 2 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
623, 60, 61sylanbrc 583 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  cdif 3945  cun 3946  ifcif 4528  {csn 4628  cmpt 5231  wf 6539  1-1wf1 6540  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  Basecbs 17143  SymGrpcsymg 19233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18749  df-symg 19234
This theorem is referenced by:  symgextf1o  19290
  Copyright terms: Public domain W3C validator