Theorem symgextf1 19327

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 19323	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		difsnid 4770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
6	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑦 ∈ 𝑁 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
7	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10		elun 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11		elun 4112	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
12	1, 2	symgextfv 19324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
13	12	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
15	14	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦))
16	1, 2	symgextfv 19324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧))
20	15, 19	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
22	21, 1	symgbasf1o 19281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23		f1of1 6781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24		dff13 7211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25		fveqeq2 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗)))
26		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑗))
27	25, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑧))
29	28	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
30		equequ2 2026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	29, 30	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
32	27, 31	rspc2va 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
33	32	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
35	24, 34	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
36	22, 23, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
37	36	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
38	37	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
39	20, 38	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
40	39	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
41	1, 2	symgextf1lem 19326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦)))
42		eqneqall 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑧) = (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
43	42	eqcoms 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	41, 44	syl6com 37	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
46	45	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	1, 2	symgextf1lem 19326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧)))
48		eqneqall 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
49	48	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
50	47, 49	syl6com 37	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
51		elsni 4602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
52		elsni 4602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
53		eqtr3 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
54	53	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
55	51, 52, 54	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
56	40, 46, 50, 55	ccase 1037	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
57	10, 11, 56	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
58	57	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
59	9, 58	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
60	59	ralrimivv 3176	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
61		dff13 7211	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
62	3, 60, 61	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909  ifcif 4484  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  –1-1→wf1 6496  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  SymGrpcsymg 19275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-efmnd 18772  df-symg 19276

This theorem is referenced by:  symgextf1o  19329