Theorem symgextf1 18191

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 18187	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		difsnid 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
6	5	eleq2d 2892	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑦 ∈ 𝑁 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
7	5	eleq2d 2892	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
8	6, 7	anbi12d 626	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
9	8	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10		elun 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11		elun 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
12	1, 2	symgextfv 18188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
13	12	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
14	13	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
15	14	imp 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦))
16	1, 2	symgextfv 18188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
18	17	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
19	18	imp 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧))
20	15, 19	eqeq12d 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
21		eqid 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
22	21, 1	symgbasf1o 18153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23		f1of1 6377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24		dff13 6767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25		fveqeq2 6442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗)))
26		equequ1 2131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑗))
27	25, 26	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑧))
29	28	eqeq2d 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
30		equequ2 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	29, 30	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
32	27, 31	rspc2va 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
33	32	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
35	34	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
36	24, 35	sylbi 209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
37	22, 23, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
38	37	impcom 398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
39	38	impcom 398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
40	20, 39	sylbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
41	40	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
42	1, 2	symgextf1lem 18190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦)))
43		eqneqall 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑧) = (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	eqcoms 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46	42, 45	syl6com 37	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	46	ancoms 452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
48	1, 2	symgextf1lem 18190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧)))
49		eqneqall 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
50	49	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
51	48, 50	syl6com 37	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
52		elsni 4414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
53		elsni 4414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
54		eqtr3 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
55	54	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
56	52, 53, 55	syl2an 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
57	41, 47, 51, 56	ccase 1066	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
58	10, 11, 57	syl2anb 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
59	58	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
60	9, 59	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
61	60	ralrimivv 3179	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
62		dff13 6767	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
63	3, 61, 62	sylanbrc 580	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796  ifcif 4306  {csn 4397   ↦ cmpt 4952  ⟶wf 6119  –1-1→wf1 6120  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  SymGrpcsymg 18147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-tset 16324  df-symg 18148

This theorem is referenced by:  symgextf1o  18193