Theorem symgextf1 19300

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 19296	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		difsnid 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
6	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑦 ∈ 𝑁 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
7	5	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10		elun 4104	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11		elun 4104	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
12	1, 2	symgextfv 19297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
13	12	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
15	14	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦))
16	1, 2	symgextfv 19297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧))
20	15, 19	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
22	21, 1	symgbasf1o 19254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23		f1of1 6763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24		dff13 7191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25		fveqeq2 6831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗)))
26		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑗))
27	25, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑧))
29	28	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
30		equequ2 2026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	29, 30	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
32	27, 31	rspc2va 3589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
33	32	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
35	24, 34	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
36	22, 23, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
37	36	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
38	37	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
39	20, 38	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
40	39	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
41	1, 2	symgextf1lem 19299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦)))
42		eqneqall 2936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑧) = (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
43	42	eqcoms 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	41, 44	syl6com 37	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
46	45	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	1, 2	symgextf1lem 19299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧)))
48		eqneqall 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
49	48	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
50	47, 49	syl6com 37	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
51		elsni 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
52		elsni 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
53		eqtr3 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
54	53	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
55	51, 52, 54	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
56	40, 46, 50, 55	ccase 1037	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
57	10, 11, 56	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
58	57	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
59	9, 58	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
60	59	ralrimivv 3170	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
61		dff13 7191	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
62	3, 60, 61	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  ifcif 4476  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  –1-1→wf1 6479  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  SymGrpcsymg 19248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-efmnd 18743  df-symg 19249

This theorem is referenced by:  symgextf1o  19302