MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1 19419
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 19415 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 difsnid 4819 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
54eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
65eleq2d 2812 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑦𝑁𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
75eleq2d 2812 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑧𝑁𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
86, 7anbi12d 630 . . . . 5 (𝐾𝑁 → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
98adantr 479 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10 elun 4148 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11 elun 4148 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
121, 2symgextfv 19416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1312com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1514imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦))
161, 2symgextfv 19416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1817adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1918imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧))
2015, 19eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
21 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2221, 1symgbasf1o 19372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23 f1of1 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24 dff13 7270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25 fveqeq2 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑗)))
26 equequ1 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗𝑦 = 𝑗))
2725, 26imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑧 → (𝑍𝑗) = (𝑍𝑧))
2928eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
30 equequ2 2022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗𝑦 = 𝑧))
3129, 30imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3227, 31rspc2va 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3332expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3524, 34simplbiim 503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3622, 23, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑍𝑆 → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3736impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3837impcom 406 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3920, 38sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4039ex 411 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
411, 2symgextf1lem 19418 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦)))
42 eqneqall 2941 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑧) = (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4342eqcoms 2734 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4443com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4541, 44syl6com 37 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4645ancoms 457 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
471, 2symgextf1lem 19418 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧)))
48 eqneqall 2941 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4948com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
5047, 49syl6com 37 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
51 elsni 4650 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
52 elsni 4650 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
53 eqtr3 2752 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
54532a1d 26 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5551, 52, 54syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5640, 46, 50, 55ccase 1035 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5710, 11, 56syl2anb 596 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5857com12 32 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
599, 58sylbid 239 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6059ralrimivv 3189 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
61 dff13 7270 . 2 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
623, 60, 61sylanbrc 581 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  cdif 3944  cun 3945  ifcif 4533  {csn 4633  cmpt 5236  wf 6550  1-1wf1 6551  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  Basecbs 17213  SymGrpcsymg 19364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-tset 17285  df-efmnd 18859  df-symg 19365
This theorem is referenced by:  symgextf1o  19421
  Copyright terms: Public domain W3C validator