Theorem symgextf1 19029

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf1	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 19025	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		difsnid 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
6	5	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑦 ∈ 𝑁 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
7	5	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑧 ∈ 𝑁 ↔ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
8	6, 7	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10		elun 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11		elun 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
12	1, 2	symgextfv 19026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
13	12	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦)))
15	14	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑍‘𝑦))
16	1, 2	symgextfv 19026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧)))
19	18	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝐸‘𝑧) = (𝑍‘𝑧))
20	15, 19	eqeq12d 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
22	21, 1	symgbasf1o 18982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23		f1of1 6715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24		dff13 7128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25		fveqeq2 6783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗)))
26		equequ1 2028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑗))
27	25, 26	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑧))
29	28	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) ↔ (𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧)))
30		equequ2 2029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	29, 30	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
32	27, 31	rspc2va 3571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
33	32	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
34	33	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍‘𝑖) = (𝑍‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
35	24, 34	simplbiim 505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
36	22, 23, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
37	36	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
38	37	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝑍‘𝑦) = (𝑍‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
39	20, 38	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
40	39	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
41	1, 2	symgextf1lem 19028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦)))
42		eqneqall 2954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑧) = (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
43	42	eqcoms 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑧) ≠ (𝐸‘𝑦) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	41, 44	syl6com 37	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
46	45	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	1, 2	symgextf1lem 19028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧)))
48		eqneqall 2954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
49	48	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑦) ≠ (𝐸‘𝑧) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
50	47, 49	syl6com 37	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
51		elsni 4578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
52		elsni 4578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
53		eqtr3 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
54	53	2a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝐾 ∧ 𝑧 = 𝐾) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
55	51, 52, 54	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
56	40, 46, 50, 55	ccase 1035	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
57	10, 11, 56	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
58	57	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
59	9, 58	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ((𝑦 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
60	59	ralrimivv 3122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
61		dff13 7128	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–1-1→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝐸‘𝑦) = (𝐸‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
62	3, 60, 61	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–1-1→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975

This theorem is referenced by:  symgextf1o  19031