MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextf1 18104
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextf1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 18100 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 difsnid 4495 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
54eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
65eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑦𝑁𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
75eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → (𝑧𝑁𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})))
86, 7anbi12d 624 . . . . 5 (𝐾𝑁 → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
98adantr 472 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))))
10 elun 3915 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}))
11 elun 3915 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ↔ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾}))
121, 2symgextfv 18101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1312com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1413adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦)))
1514imp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑦) = (𝑍𝑦))
161, 2symgextfv 18101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1817adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧)))
1918imp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → (𝐸𝑧) = (𝑍𝑧))
2015, 19eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
21 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2221, 1symgbasf1o 18066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
23 f1of1 6319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}))
24 dff13 6704 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)))
25 fveqeq2 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑦 → ((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑗)))
26 equequ1 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑦 → (𝑖 = 𝑗𝑦 = 𝑗))
2725, 26imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑦 → (((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗)))
28 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑧 → (𝑍𝑗) = (𝑍𝑧))
2928eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑧 → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) ↔ (𝑍𝑦) = (𝑍𝑧)))
30 equequ2 2123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑗𝑦 = 𝑧))
3129, 30imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑧 → (((𝑍𝑦) = (𝑍𝑗) → 𝑦 = 𝑗) ↔ ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3227, 31rspc2va 3475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
3332expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∀𝑗 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑍𝑖) = (𝑍𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3624, 35sylbi 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1→(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3722, 23, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑍𝑆 → (𝐾𝑁 → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))))
3837impcom 396 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
3938impcom 396 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝑍𝑦) = (𝑍𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4020, 39sylbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝐾𝑁𝑍𝑆)) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4140ex 401 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
421, 2symgextf1lem 18103 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦)))
43 eqneqall 2948 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑧) = (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4443eqcoms 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → 𝑦 = 𝑧))
4544com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑧) ≠ (𝐸𝑦) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4642, 45syl6com 37 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑦 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4746ancoms 450 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
481, 2symgextf1lem 18103 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → (𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧)))
49 eqneqall 2948 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
5049com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑦) ≠ (𝐸𝑧) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
5148, 50syl6com 37 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
52 elsni 4351 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝐾} → 𝑦 = 𝐾)
53 elsni 4351 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝐾} → 𝑧 = 𝐾)
54 eqtr3 2786 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → 𝑦 = 𝑧)
55542a1d 26 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝐾𝑧 = 𝐾) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5652, 53, 55syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝐾} ∧ 𝑧 ∈ {𝐾}) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5741, 47, 51, 56ccase 1060 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑦 ∈ {𝐾}) ∧ (𝑧 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5810, 11, 57syl2anb 591 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
5958com12 32 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
609, 59sylbid 231 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝑦𝑁𝑧𝑁) → ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
6160ralrimivv 3117 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
62 dff13 6704 . 2 (𝐸:𝑁1-1𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝐸𝑦) = (𝐸𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
633, 61, 62sylanbrc 578 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁1-1𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  cdif 3729  cun 3730  ifcif 4243  {csn 4334  cmpt 4888  wf 6064  1-1wf1 6065  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  Basecbs 16130  SymGrpcsymg 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-plusg 16227  df-tset 16233  df-symg 18061
This theorem is referenced by:  symgextf1o  18106
  Copyright terms: Public domain W3C validator