Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextfo 18470
 Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextfo ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 18465 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
54, 1symgbasf1o 18431 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 f1ofo 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9 dffo3 6864 . . . . . . . 8 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
108, 9sylib 219 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1110simprd 496 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖))
121, 2symgextfv 18466 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
1312imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
1413eqeq2d 2837 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍𝑖)))
1514rexbidva 3301 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1615ralbidv 3202 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1711, 16mpbird 258 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖))
18 difssd 4113 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19 ssrexv 4038 . . . . . . 7 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2120ralimia 3163 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
2217, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
23 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
241, 2symgextfve 18467 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2524adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2625imp 407 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸𝑖) = 𝐾)
2726eqcomd 2832 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸𝑖))
2823, 27rspcedeq2vd 3634 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))
29 eqeq1 2830 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3029rexbidv 3302 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3130ralunsn 4823 . . . . 5 (𝐾𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3231adantr 481 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3322, 28, 32mpbir2and 709 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
34 difsnid 4742 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
3534eqcomd 2832 . . . . 5 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
3635raleqdv 3421 . . . 4 (𝐾𝑁 → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3736adantr 481 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3833, 37mpbird 258 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
39 dffo3 6864 . 2 (𝐸:𝑁onto𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
403, 38, 39sylanbrc 583 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  ∃wrex 3144   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  ifcif 4470  {csn 4564   ↦ cmpt 5143  ⟶wf 6348  –onto→wfo 6350  –1-1-onto→wf1o 6351  ‘cfv 6352  Basecbs 16473  SymGrpcsymg 18425 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-plusg 16568  df-tset 16574  df-symg 18426 This theorem is referenced by:  symgextf1o  18471
 Copyright terms: Public domain W3C validator