Theorem symgextfo 19352

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfo	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo

Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 19347	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
5	4, 1	symgbasf1o 19305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		f1ofo 6807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		dffo3 7074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
11	10	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖))
12	1, 2	symgextfv 19348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
13	12	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖))
14	13	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
15	14	rexbidva 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
16	15	ralbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
17	11, 16	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖))
18		difssd 4100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19		ssrexv 4016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
21	20	ralimia 3063	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
22	17, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
23		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24	1, 2	symgextfve 19349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
26	25	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸‘𝑖) = 𝐾)
27	26	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
28	23, 27	rspcedeq2vd 3596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
29		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
31	30	ralunsn 4858	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
33	22, 28, 32	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
34		difsnid 4774	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
36	35	raleqdv 3299	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
38	33, 37	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
39		dffo3 7074	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–onto→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  SymGrpcsymg 19299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-efmnd 18796  df-symg 19300

This theorem is referenced by:  symgextf1o  19353