MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextfo 18661
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextfo ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 18656 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
54, 1symgbasf1o 18614 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 f1ofo 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
87adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9 dffo3 6872 . . . . . . . 8 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
108, 9sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1110simprd 499 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖))
121, 2symgextfv 18657 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
1312imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
1413eqeq2d 2749 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍𝑖)))
1514rexbidva 3205 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1615ralbidv 3109 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1711, 16mpbird 260 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖))
18 difssd 4021 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19 ssrexv 3942 . . . . . . 7 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2120ralimia 3073 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
2217, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
23 simpl 486 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
241, 2symgextfve 18658 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2524adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2625imp 410 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸𝑖) = 𝐾)
2726eqcomd 2744 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸𝑖))
2823, 27rspcedeq2vd 3531 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))
29 eqeq1 2742 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3029rexbidv 3206 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3130ralunsn 4779 . . . . 5 (𝐾𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3231adantr 484 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3322, 28, 32mpbir2and 713 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
34 difsnid 4695 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
3534eqcomd 2744 . . . . 5 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
3635raleqdv 3315 . . . 4 (𝐾𝑁 → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3736adantr 484 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3833, 37mpbird 260 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
39 dffo3 6872 . 2 (𝐸:𝑁onto𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
403, 38, 39sylanbrc 586 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  cdif 3838  cun 3839  wss 3841  ifcif 4411  {csn 4513  cmpt 5107  wf 6329  ontowfo 6331  1-1-ontowf1o 6332  cfv 6333  Basecbs 16579  SymGrpcsymg 18606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-tset 16680  df-efmnd 18143  df-symg 18607
This theorem is referenced by:  symgextf1o  18662
  Copyright terms: Public domain W3C validator