MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextfo 19455
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextfo ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 19450 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
54, 1symgbasf1o 19407 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 f1ofo 6856 . . . . . . . . . 10 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9 dffo3 7122 . . . . . . . 8 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
108, 9sylib 218 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1110simprd 495 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖))
121, 2symgextfv 19451 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
1312imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
1413eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍𝑖)))
1514rexbidva 3175 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1615ralbidv 3176 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1711, 16mpbird 257 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖))
18 difssd 4147 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19 ssrexv 4065 . . . . . . 7 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2120ralimia 3078 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
2217, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
23 simpl 482 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
241, 2symgextfve 19452 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2625imp 406 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸𝑖) = 𝐾)
2726eqcomd 2741 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸𝑖))
2823, 27rspcedeq2vd 3630 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))
29 eqeq1 2739 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3029rexbidv 3177 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3130ralunsn 4899 . . . . 5 (𝐾𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3231adantr 480 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3322, 28, 32mpbir2and 713 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
34 difsnid 4815 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
3534eqcomd 2741 . . . . 5 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
3635raleqdv 3324 . . . 4 (𝐾𝑁 → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3736adantr 480 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3833, 37mpbird 257 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
39 dffo3 7122 . 2 (𝐸:𝑁onto𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
403, 38, 39sylanbrc 583 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Basecbs 17245  SymGrpcsymg 19401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895  df-symg 19402
This theorem is referenced by:  symgextf1o  19456
  Copyright terms: Public domain W3C validator