Theorem symgextfo 18945

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfo	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo

Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 18940	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
5	4, 1	symgbasf1o 18897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		f1ofo 6707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		dffo3 6960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
11	10	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖))
12	1, 2	symgextfv 18941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
13	12	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖))
14	13	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
15	14	rexbidva 3224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
16	15	ralbidv 3120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
17	11, 16	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖))
18		difssd 4063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19		ssrexv 3984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
21	20	ralimia 3084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
22	17, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
23		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24	1, 2	symgextfve 18942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
26	25	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸‘𝑖) = 𝐾)
27	26	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
28	23, 27	rspcedeq2vd 3559	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
29		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
31	30	ralunsn 4822	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
33	22, 28, 32	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
34		difsnid 4740	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
36	35	raleqdv 3339	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
38	33, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
39		dffo3 6960	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–onto→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890

This theorem is referenced by:  symgextf1o  18946