Theorem symgextfo 19443

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfo	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo

Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 19438	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
5	4, 1	symgbasf1o 19396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		f1ofo 6808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
8	7	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		dffo3 7077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
10	8, 9	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
11	10	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖))
12	1, 2	symgextfv 19439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
13	12	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖))
14	13	eqeq2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
15	14	rexbidva 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
16	15	ralbidv 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
17	11, 16	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖))
18		difssd 4090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19		ssrexv 4006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
21	20	ralimia 3095	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
22	17, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
23		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24	1, 2	symgextfve 19440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
25	24	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
26	25	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸‘𝑖) = 𝐾)
27	26	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
28	23, 27	rspcedeq2vd 3589	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
29		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
31	30	ralunsn 4851	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
32	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
33	22, 28, 32	mpbir2and 723	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
34		difsnid 4767	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
36	35	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
37	36	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
38	33, 37	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
39		dffo3 7077	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–onto→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ifcif 4479  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6511  –onto→wfo 6513  –1-1-onto→wf1o 6514  ‘cfv 6515  Basecbs 17226  SymGrpcsymg 19390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-tset 17286  df-efmnd 18884  df-symg 19391

This theorem is referenced by:  symgextf1o  19444