Theorem symgextfo 19218

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfo	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo

Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 19213	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
5	4, 1	symgbasf1o 19170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		f1ofo 6796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		dffo3 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
11	10	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖))
12	1, 2	symgextfv 19214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
13	12	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖))
14	13	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
15	14	rexbidva 3169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
16	15	ralbidv 3170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
17	11, 16	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖))
18		difssd 4097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19		ssrexv 4016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
21	20	ralimia 3079	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
22	17, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
23		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24	1, 2	symgextfve 19215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
26	25	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸‘𝑖) = 𝐾)
27	26	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
28	23, 27	rspcedeq2vd 3588	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
29		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3171	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
31	30	ralunsn 4856	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
32	31	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
33	22, 28, 32	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
34		difsnid 4775	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
36	35	raleqdv 3311	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
37	36	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
38	33, 37	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
39		dffo3 7057	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–onto→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ifcif 4491  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6497  –onto→wfo 6499  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  Basecbs 17094  SymGrpcsymg 19162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-tset 17166  df-efmnd 18693  df-symg 19163

This theorem is referenced by:  symgextf1o  19219