MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextfo 18119
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextfo ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo
Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . 3 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextf 18114 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
4 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
54, 1symgbasf1o 18080 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6 f1ofo 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
87adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9 dffo3 6568 . . . . . . . 8 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
108, 9sylib 209 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1110simprd 489 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖))
121, 2symgextfv 18115 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
1312imp 395 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
1413eqeq2d 2775 . . . . . . . 8 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍𝑖)))
1514rexbidva 3196 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1615ralbidv 3133 . . . . . 6 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍𝑖)))
1711, 16mpbird 248 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖))
18 difssd 3902 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19 ssrexv 3829 . . . . . . 7 ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
2120ralimia 3097 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
2217, 21syl 17 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
23 simpl 474 . . . . 5 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐾𝑁)
241, 2symgextfve 18116 . . . . . . . 8 (𝐾𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2524adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸𝑖) = 𝐾))
2625imp 395 . . . . . 6 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸𝑖) = 𝐾)
2726eqcomd 2771 . . . . 5 (((𝐾𝑁𝑍𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸𝑖))
2823, 27rspcedeq2vd 3472 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))
29 eqeq1 2769 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3029rexbidv 3199 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖)))
3130ralunsn 4582 . . . . 5 (𝐾𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3231adantr 472 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ∧ ∃𝑖𝑁 𝐾 = (𝐸𝑖))))
3322, 28, 32mpbir2and 704 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
34 difsnid 4497 . . . . . 6 (𝐾𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
3534eqcomd 2771 . . . . 5 (𝐾𝑁𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
3635raleqdv 3292 . . . 4 (𝐾𝑁 → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3736adantr 472 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
3833, 37mpbird 248 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖))
39 dffo3 6568 . 2 (𝐸:𝑁onto𝑁 ↔ (𝐸:𝑁𝑁 ∧ ∀𝑘𝑁𝑖𝑁 𝑘 = (𝐸𝑖)))
403, 38, 39sylanbrc 578 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁onto𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cdif 3731  cun 3732  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336  cmpt 4890  wf 6066  ontowfo 6068  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  Basecbs 16144  SymGrpcsymg 18074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-plusg 16241  df-tset 16247  df-symg 18075
This theorem is referenced by:  symgextf1o  18120
  Copyright terms: Public domain W3C validator