Theorem symgextf 19025

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 772	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → 𝐾 ∈ 𝑁)
2		simpllr 773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → 𝑍 ∈ 𝑆)
3		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
4		neqne 2951	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → 𝑥 ≠ 𝐾)
5	3, 4	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝐾))
6		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝐾))
7	5, 6	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → 𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		symgext.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10	8, 9	symgfv 18987	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍‘𝑥) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	2, 7, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑍‘𝑥) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
12	11	eldifad 3899	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑍‘𝑥) ∈ 𝑁)
13	1, 12	ifclda 4494	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) ∈ 𝑁)
14		symgext.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
15	13, 14	fmptd 6988	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  SymGrpcsymg 18974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-efmnd 18508  df-symg 18975

This theorem is referenced by:  symgextf1  19029  symgextfo  19030  symgextres  19033