Theorem symgextf 19673

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextf	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 787	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → 𝐾 ∈ 𝑁)
2		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → 𝑍 ∈ 𝑆)
3		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → 𝑥 ∈ 𝑁)
4		neqne 2967	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 = 𝐾 → 𝑥 ≠ 𝐾)
5	3, 4	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝐾))
6		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 𝐾))
7	5, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → 𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		symgext.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
10	8, 9	symgfv 19636	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑍‘𝑥) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
11	2, 7, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑍‘𝑥) ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
12	11	eldifad 4054	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐾) → (𝑍‘𝑥) ∈ 𝑁)
13	1, 12	ifclda 4521	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)) ∈ 𝑁)
14		symgext.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
15	13, 14	fmptd 7144	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  Basecbs 17428  SymGrpcsymg 19625

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-tset 17488  df-efmnd 19106  df-symg 19626

This theorem is used by:  symgextf1  19677  symgextfo  19678  symgextres  19681