Theorem archiabllem2b 31352

Description: Lemma for archiabl 31354. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2b	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiabllem.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiabllem.e	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
4		archiabllem.t	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑊)
5		archiabllem.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑊)
6		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
7		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
8		archiabllem2.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		archiabllem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
10		archiabllem2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
11		archiabllem2b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		archiabllem2b.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	archiabllem2c 31351	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11	archiabllem2c 31351	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌))
15		isogrp 31230	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
16	15	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
17		omndtos 31233	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
18	6, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
19		ogrpgrp 31231	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
21	1, 8	grpcl 18500	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	20, 11, 12, 21	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 8	grpcl 18500	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	20, 12, 11, 23	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	1, 4	tlt3 31150	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
27	13, 14, 26	ecase23d 1471	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  lecple 16895  0_gc0g 17067  ltcplt 17941  Tosetctos 18049  Grpcgrp 18492  ._gcmg 18615  opp_gcoppg 18864  oMndcomnd 31225  oGrpcogrp 31226  Archicarchi 31333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-ple 16908  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-toset 18050  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-oppg 18865  df-omnd 31227  df-ogrp 31228  df-inftm 31334  df-archi 31335

This theorem is referenced by:  archiabllem2  31353