Theorem archiabllem2b 33516

Description: Lemma for archiabl 33518. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2b	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiabllem.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiabllem.e	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
4		archiabllem.t	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑊)
5		archiabllem.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑊)
6		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
7		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
8		archiabllem2.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		archiabllem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
10		archiabllem2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
11		archiabllem2b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		archiabllem2b.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	archiabllem2c 33515	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11	archiabllem2c 33515	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌))
15		isogrp 20189	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
16	15	simprbi 502	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
17		omndtos 20192	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
18	6, 16, 17	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
19		ogrpgrp 20190	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	6, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
21	1, 8	grpcl 19003	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	20, 11, 12, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 8	grpcl 19003	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	20, 12, 11, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	1, 4	tlt3 33290	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
27	13, 14, 26	ecase23d 1503	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  lecple 17312  0_gc0g 17487  ltcplt 18359  Tosetctos 18465  Grpcgrp 18995  ._gcmg 19128  opp_gcoppg 19410  oMndcomnd 20184  oGrpcogrp 20185  Archicarchi 33497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-seq 14034  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-ple 17325  df-0g 17489  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-toset 18466  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-oppg 19411  df-omnd 20186  df-ogrp 20187  df-inftm 33498  df-archi 33499

This theorem is referenced by:  archiabllem2  33517