Theorem archiabllem2b 33757

Description: Lemma for archiabl 33759. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2b	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiabllem.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiabllem.e	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
4		archiabllem.t	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑊)
5		archiabllem.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑊)
6		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
7		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
8		archiabllem2.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		archiabllem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
10		archiabllem2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
11		archiabllem2b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		archiabllem2b.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	archiabllem2c 33756	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11	archiabllem2c 33756	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌))
15		isogrp 20338	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
16	15	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
17		omndtos 20341	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
18	6, 16, 17	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
19		ogrpgrp 20339	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	6, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
21	1, 8	grpcl 19152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	20, 11, 12, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 8	grpcl 19152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	20, 12, 11, 23	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	1, 4	tlt3 33531	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
27	13, 14, 26	ecase23d 1503	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  lecple 17435  0_gc0g 17610  ltcplt 18482  Tosetctos 18588  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  opp_gcoppg 19559  oMndcomnd 20333  oGrpcogrp 20334  Archicarchi 33738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-ple 17448  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-toset 18589  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-oppg 19560  df-omnd 20335  df-ogrp 20336  df-inftm 33739  df-archi 33740

This theorem is used by:  archiabllem2  33758