Theorem archiabllem2b 30258

Description: Lemma for archiabl 30260. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2b	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiabllem.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiabllem.e	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
4		archiabllem.t	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑊)
5		archiabllem.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑊)
6		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
7		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
8		archiabllem2.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		archiabllem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
10		archiabllem2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
11		archiabllem2b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		archiabllem2b.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	archiabllem2c 30257	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11	archiabllem2c 30257	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌))
15		isogrp 30210	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
16	15	simprbi 491	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
17		omndtos 30213	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
18	6, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
19		ogrpgrp 30211	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
21	1, 8	grpcl 17743	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	20, 11, 12, 21	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 8	grpcl 17743	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	20, 12, 11, 23	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	1, 4	tlt3 30173	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1491	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
27	13, 14, 26	ecase23d 1598	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ w3o 1107   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∃wrex 3088   class class class wbr 4841  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  +_gcplusg 16264  lecple 16271  0_gc0g 16412  ltcplt 17253  Tosetctos 17345  Grpcgrp 17735  ._gcmg 17853  opp_gcoppg 18084  oMndcomnd 30205  oGrpcogrp 30206  Archicarchi 30239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-tpos 7588  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-seq 13052  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-plusg 16277  df-ple 16284  df-0g 16414  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-toset 17346  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mulg 17854  df-oppg 18085  df-omnd 30207  df-ogrp 30208  df-inftm 30240  df-archi 30241

This theorem is referenced by:  archiabllem2  30259