Theorem archiabllem2b 33290

Description: Lemma for archiabl 33292. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1	⊢ + = (+g‘𝑊)
archiabllem2.2	⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
archiabllem2b.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
archiabllem2b.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2b	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ≤ ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		archiabllem.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		archiabllem.e	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
4		archiabllem.t	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑊)
5		archiabllem.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑊)
6		archiabllem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
7		archiabllem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
8		archiabllem2.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
9		archiabllem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppg‘𝑊) ∈ oGrp)
10		archiabllem2.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑎) → ∃𝑏 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑎))
11		archiabllem2b.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		archiabllem2b.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	archiabllem2c 33289	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11	archiabllem2c 33289	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌))
15		isogrp 20065	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
16	15	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
17		omndtos 20068	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
18	6, 16, 17	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
19		ogrpgrp 20066	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
20	6, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
21	1, 8	grpcl 18883	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	20, 11, 12, 21	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
23	1, 8	grpcl 18883	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
24	20, 12, 11, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵)
25	1, 4	tlt3 33063	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
26	18, 22, 24, 25	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑋 + 𝑌) < (𝑌 + 𝑋) ∨ (𝑌 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑌)))
27	13, 14, 26	ecase23d 1476	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  lecple 17196  0_gc0g 17371  ltcplt 18243  Tosetctos 18349  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  opp_gcoppg 19286  oMndcomnd 20060  oGrpcogrp 20061  Archicarchi 33271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-ple 17209  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-toset 18350  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-oppg 19287  df-omnd 20062  df-ogrp 20063  df-inftm 33272  df-archi 33273

This theorem is referenced by:  archiabllem2  33291