Theorem archiabllem1b 33172

Description: Lemma for archiabl 33178. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hints:   < (𝑦)   · (𝑦)   𝑈(𝑦)   ≤ (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)

Proof of Theorem archiabllem1b

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12651	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 0 ∈ ℤ)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
3		archiabllem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		archiabllem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		archiabllem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
7	4, 5, 6	mulg0 19114	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑈) = 0 )
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑈) = 0 )
9	8	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → (0 · 𝑈) = 0 )
10	2, 9	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = (0 · 𝑈))
11		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑈) = (0 · 𝑈))
12	11	rspceeqv 3658	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (0 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
13	1, 10, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
14		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12666	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12749	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → -𝑚 ∈ ℤ)
17	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
20	4, 6, 19	mulgnegnn 19124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
21	14, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
23	22	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
24		archiabllem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
25	24	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		ogrpgrp 33053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Grp)
28		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
29	4, 19	grpinvinv 19045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
31	30	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
32	21, 23, 31	3eqtr2rd 2787	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈))
33		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · 𝑈) = (-𝑚 · 𝑈))
34	33	rspceeqv 3658	. . . . 5 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
35	16, 32, 34	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37		archiabllem.t	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
38		archiabllem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Archi)
40		archiabllem1.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < 𝑈)
42		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝜑)
43		archiabllem1.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
44	42, 43	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
45	4, 19	grpinvcl 19027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
46	27, 28, 45	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
47	4, 5	grpidcl 19005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
48	27, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 ∈ 𝐵)
49		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 < 0 )
50		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
51	4, 37, 50	ogrpaddlt 33067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
52	25, 28, 48, 46, 49, 51	syl131anc 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
53	4, 50, 5, 19	grprinv 19030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
54	27, 28, 53	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
55	4, 50, 5	grplid 19007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
56	27, 46, 55	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
57	52, 54, 56	3brtr3d 5197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < ((invg‘𝑊)‘𝑦))
58	4, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57	archiabllem1a 33171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
59	35, 58	r19.29a 3168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
60	59	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
61		nnssz 12661	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
62	24	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ oGrp)
63	38	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ Archi)
64	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑈 ∈ 𝐵)
65	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑈)
66		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
67	66, 43	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
68		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
70	4, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69	archiabllem1a 33171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
71	70	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
72		ssrexv 4078	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈)))
73	61, 71, 72	mpsyl 68	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
74		isogrp 33052	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
75	74	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
76		omndtos 33055	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
77	24, 75, 76	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
78	77	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Toset)
79		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
80	24, 26, 47	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
81	80	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
82	4, 37	tlt3 32943	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
83	78, 79, 81, 82	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
84	13, 60, 73, 83	mpjao3dan 1432	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  -cneg 11521  ℕcn 12293  ℤcz 12639  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  lecple 17318  0_gc0g 17499  ltcplt 18378  Tosetctos 18486  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  ._gcmg 19107  oMndcomnd 33047  oGrpcogrp 33048  Archicarchi 33157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-toset 18487  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-omnd 33049  df-ogrp 33050  df-inftm 33158  df-archi 33159

This theorem is referenced by:  archiabllem1  33173