Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archiabllem1b 32608
Description: Lemma for archiabl 32614. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
archiabllem1.p (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
archiabllem1.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1b ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐡   π‘ˆ,𝑛,π‘₯   𝑛,π‘Š,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑛,π‘₯   0 ,𝑛,π‘₯   < ,𝑛,π‘₯   π‘₯, ≀
Allowed substitution hints:   < (𝑦)   Β· (𝑦)   π‘ˆ(𝑦)   ≀ (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)
Proof of Theorem archiabllem1b
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 12574 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 0 ∈ β„€)
2 simpr 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝑦 = 0 )
3 archiabllem1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
4 archiabllem.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 archiabllem.m . . . . . . 7 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
74, 5, 6mulg0 18993 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘ˆ) = 0 )
83, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘ˆ) = 0 )
98ad2antrr 722 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (0 Β· π‘ˆ) = 0 )
102, 9eqtr4d 2773 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝑦 = (0 Β· π‘ˆ))
11 oveq1 7418 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· π‘ˆ) = (0 Β· π‘ˆ))
1211rspceeqv 3632 . . 3 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (0 Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
131, 10, 12syl2anc 582 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
14 simplr 765 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘š ∈ β„•)
1514nnzd 12589 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1615znegcld 12672 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ -π‘š ∈ β„€)
1733ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1817ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
19 eqid 2730 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
204, 6, 19mulgnegnn 19000 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (-π‘š Β· π‘ˆ) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘š Β· π‘ˆ)))
2114, 18, 20syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (-π‘š Β· π‘ˆ) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘š Β· π‘ˆ)))
22 simpr 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ))
2322fveq2d 6894 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘š Β· π‘ˆ)))
24 archiabllem.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
25243ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
26 ogrpgrp 32491 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘Š ∈ Grp)
28 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
294, 19grpinvinv 18926 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
3130ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
3221, 23, 313eqtr2rd 2777 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑦 = (-π‘š Β· π‘ˆ))
33 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑛 = -π‘š β†’ (𝑛 Β· π‘ˆ) = (-π‘š Β· π‘ˆ))
3433rspceeqv 3632 . . . . 5 ((-π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (-π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
3516, 32, 34syl2anc 582 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
36 archiabllem.e . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
37 archiabllem.t . . . . 5 < = (ltβ€˜π‘Š)
38 archiabllem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
39383ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘Š ∈ Archi)
40 archiabllem1.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
41403ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 0 < π‘ˆ)
42 simp1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ πœ‘)
43 archiabllem1.s . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
4442, 43syl3an1 1161 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
454, 19grpinvcl 18908 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
4627, 28, 45syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
474, 5grpidcl 18886 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
4827, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 0 ∈ 𝐡)
49 simp3 1136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 𝑦 < 0 )
50 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
514, 37, 50ogrpaddlt 32505 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) < ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
5225, 28, 48, 46, 49, 51syl131anc 1381 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) < ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
534, 50, 5, 19grprinv 18911 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 0 )
5427, 28, 53syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 0 )
554, 50, 5grplid 18888 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5627, 46, 55syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5752, 54, 563brtr3d 5178 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 0 < ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
584, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57archiabllem1a 32607 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ))
5935, 58r19.29a 3160 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
60593expa 1116 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
61 nnssz 12584 . . 3 β„• βŠ† β„€
62243ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
63383ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ Archi)
6433ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
65403ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ 0 < π‘ˆ)
66 simp1 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ πœ‘)
6766, 43syl3an1 1161 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
68 simp2 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
69 simp3 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ 0 < 𝑦)
704, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69archiabllem1a 32607 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
71703expa 1116 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
72 ssrexv 4050 . . 3 (β„• βŠ† β„€ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ)))
7361, 71, 72mpsyl 68 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
74 isogrp 32490 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
7574simprbi 495 . . . . 5 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
76 omndtos 32493 . . . . 5 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
7724, 75, 763syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Toset)
7877adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ Toset)
79 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
8024, 26, 473syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
8180adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
824, 37tlt3 32407 . . 3 ((π‘Š ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
8378, 79, 81, 82syl3anc 1369 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
8413, 60, 73, 83mpjao3dan 1429 1 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  -cneg 11449  β„•cn 12216  β„€cz 12562  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  lecple 17208  0gc0g 17389  ltcplt 18265  Tosetctos 18373  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  .gcmg 18986  oMndcomnd 32485  oGrpcogrp 32486  Archicarchi 32593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-toset 18374  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-omnd 32487  df-ogrp 32488  df-inftm 32594  df-archi 32595
This theorem is referenced by:  archiabllem1  32609
  Copyright terms: Public domain W3C validator