Theorem archiabllem1b 32028

Description: Lemma for archiabl 32034. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hints:   < (𝑦)   · (𝑦)   𝑈(𝑦)   ≤ (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)

Proof of Theorem archiabllem1b

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12511	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 0 ∈ ℤ)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
3		archiabllem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		archiabllem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		archiabllem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
7	4, 5, 6	mulg0 18879	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑈) = 0 )
8	3, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑈) = 0 )
9	8	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → (0 · 𝑈) = 0 )
10	2, 9	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = (0 · 𝑈))
11		oveq1 7364	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑈) = (0 · 𝑈))
12	11	rspceeqv 3595	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (0 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
13	1, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
14		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12526	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12609	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → -𝑚 ∈ ℤ)
17	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
20	4, 6, 19	mulgnegnn 18886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
21	14, 18, 20	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
22		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
23	22	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
24		archiabllem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
25	24	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		ogrpgrp 31911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Grp)
28		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
29	4, 19	grpinvinv 18814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
31	30	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
32	21, 23, 31	3eqtr2rd 2783	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈))
33		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · 𝑈) = (-𝑚 · 𝑈))
34	33	rspceeqv 3595	. . . . 5 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
35	16, 32, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37		archiabllem.t	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
38		archiabllem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Archi)
40		archiabllem1.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < 𝑈)
42		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝜑)
43		archiabllem1.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
44	42, 43	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
45	4, 19	grpinvcl 18798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
46	27, 28, 45	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
47	4, 5	grpidcl 18778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
48	27, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 ∈ 𝐵)
49		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 < 0 )
50		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
51	4, 37, 50	ogrpaddlt 31925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
52	25, 28, 48, 46, 49, 51	syl131anc 1383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
53	4, 50, 5, 19	grprinv 18801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
54	27, 28, 53	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
55	4, 50, 5	grplid 18780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
56	27, 46, 55	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
57	52, 54, 56	3brtr3d 5136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < ((invg‘𝑊)‘𝑦))
58	4, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57	archiabllem1a 32027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
59	35, 58	r19.29a 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
60	59	3expa 1118	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
61		nnssz 12521	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
62	24	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ oGrp)
63	38	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ Archi)
64	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑈 ∈ 𝐵)
65	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑈)
66		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
67	66, 43	syl3an1 1163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
68		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
70	4, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69	archiabllem1a 32027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
71	70	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
72		ssrexv 4011	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈)))
73	61, 71, 72	mpsyl 68	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
74		isogrp 31910	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
75	74	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
76		omndtos 31913	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
77	24, 75, 76	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
78	77	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Toset)
79		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
80	24, 26, 47	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
81	80	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
82	4, 37	tlt3 31830	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
83	78, 79, 81, 82	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
84	13, 60, 73, 83	mpjao3dan 1431	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  -cneg 11386  ℕcn 12153  ℤcz 12499  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  lecple 17140  0_gc0g 17321  ltcplt 18197  Tosetctos 18305  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  ._gcmg 18872  oMndcomnd 31905  oGrpcogrp 31906  Archicarchi 32013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-omnd 31907  df-ogrp 31908  df-inftm 32014  df-archi 32015

This theorem is referenced by:  archiabllem1  32029