Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem archiabllem1b 32338
Description: Lemma for archiabl 32344. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
archiabllem.0 0 = (0gβ€˜π‘Š)
archiabllem.e ≀ = (leβ€˜π‘Š)
archiabllem.t < = (ltβ€˜π‘Š)
archiabllem.m Β· = (.gβ€˜π‘Š)
archiabllem.g (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
archiabllem.a (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
archiabllem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
archiabllem1.p (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
archiabllem1.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1b ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐡   π‘ˆ,𝑛,π‘₯   𝑛,π‘Š,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   Β· ,𝑛,π‘₯   0 ,𝑛,π‘₯   < ,𝑛,π‘₯   π‘₯, ≀
Allowed substitution hints:   < (𝑦)   Β· (𝑦)   π‘ˆ(𝑦)   ≀ (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)
Proof of Theorem archiabllem1b
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 12570 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 0 ∈ β„€)
2 simpr 486 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝑦 = 0 )
3 archiabllem1.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
4 archiabllem.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
6 archiabllem.m . . . . . . 7 Β· = (.gβ€˜π‘Š)
74, 5, 6mulg0 18957 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· π‘ˆ) = 0 )
83, 7syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· π‘ˆ) = 0 )
98ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ (0 Β· π‘ˆ) = 0 )
102, 9eqtr4d 2776 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ 𝑦 = (0 Β· π‘ˆ))
11 oveq1 7416 . . . 4 (𝑛 = 0 β†’ (𝑛 Β· π‘ˆ) = (0 Β· π‘ˆ))
1211rspceeqv 3634 . . 3 ((0 ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (0 Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
131, 10, 12syl2anc 585 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
14 simplr 768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘š ∈ β„•)
1514nnzd 12585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1615znegcld 12668 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ -π‘š ∈ β„€)
1733ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
1817ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
204, 6, 19mulgnegnn 18964 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ β„• ∧ π‘ˆ ∈ 𝐡) β†’ (-π‘š Β· π‘ˆ) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘š Β· π‘ˆ)))
2114, 18, 20syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ (-π‘š Β· π‘ˆ) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘š Β· π‘ˆ)))
22 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ))
2322fveq2d 6896 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜(π‘š Β· π‘ˆ)))
24 archiabllem.g . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ oGrp)
25243ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
26 ogrpgrp 32221 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ Grp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘Š ∈ Grp)
28 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
294, 19grpinvinv 18890 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
3130ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
3221, 23, 313eqtr2rd 2780 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ 𝑦 = (-π‘š Β· π‘ˆ))
33 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑛 = -π‘š β†’ (𝑛 Β· π‘ˆ) = (-π‘š Β· π‘ˆ))
3433rspceeqv 3634 . . . . 5 ((-π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑦 = (-π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
3516, 32, 34syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
36 archiabllem.e . . . . 5 ≀ = (leβ€˜π‘Š)
37 archiabllem.t . . . . 5 < = (ltβ€˜π‘Š)
38 archiabllem.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Archi)
39383ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ π‘Š ∈ Archi)
40 archiabllem1.p . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < π‘ˆ)
41403ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 0 < π‘ˆ)
42 simp1 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ πœ‘)
43 archiabllem1.s . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
4442, 43syl3an1 1164 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
454, 19grpinvcl 18872 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
4627, 28, 45syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡)
474, 5grpidcl 18850 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
4827, 47syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 0 ∈ 𝐡)
49 simp3 1139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 𝑦 < 0 )
50 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
514, 37, 50ogrpaddlt 32235 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ oGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) < ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
5225, 28, 48, 46, 49, 51syl131anc 1384 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) < ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)))
534, 50, 5, 19grprinv 18875 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 0 )
5427, 28, 53syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = 0 )
554, 50, 5grplid 18852 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5627, 46, 55syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ ( 0 (+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
5752, 54, 563brtr3d 5180 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ 0 < ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦))
584, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57archiabllem1a 32337 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘¦) = (π‘š Β· π‘ˆ))
5935, 58r19.29a 3163 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
60593expa 1119 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 < 0 ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
61 nnssz 12580 . . 3 β„• βŠ† β„€
62243ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ oGrp)
63383ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ Archi)
6433ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
65403ad2ant1 1134 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ 0 < π‘ˆ)
66 simp1 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ πœ‘)
6766, 43syl3an1 1164 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘ˆ ≀ π‘₯)
68 simp2 1138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
69 simp3 1139 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ 0 < 𝑦)
704, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69archiabllem1a 32337 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
71703expa 1119 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
72 ssrexv 4052 . . 3 (β„• βŠ† β„€ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ)))
7361, 71, 72mpsyl 68 . 2 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
74 isogrp 32220 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oGrp ↔ (π‘Š ∈ Grp ∧ π‘Š ∈ oMnd))
7574simprbi 498 . . . . 5 (π‘Š ∈ oGrp β†’ π‘Š ∈ oMnd)
76 omndtos 32223 . . . . 5 (π‘Š ∈ oMnd β†’ π‘Š ∈ Toset)
7724, 75, 763syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Toset)
7877adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ π‘Š ∈ Toset)
79 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
8024, 26, 473syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
8180adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
824, 37tlt3 32140 . . 3 ((π‘Š ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
8378, 79, 81, 82syl3anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
8413, 60, 73, 83mpjao3dan 1432 1 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑦 = (𝑛 Β· π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  -cneg 11445  β„•cn 12212  β„€cz 12558  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  lecple 17204  0gc0g 17385  ltcplt 18261  Tosetctos 18369  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  .gcmg 18950  oMndcomnd 32215  oGrpcogrp 32216  Archicarchi 32323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-omnd 32217  df-ogrp 32218  df-inftm 32324  df-archi 32325
This theorem is referenced by:  archiabllem1  32339
  Copyright terms: Public domain W3C validator