Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem1b 32028
Description: Lemma for archiabl 32034. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u (𝜑𝑈𝐵)
archiabllem1.p (𝜑0 < 𝑈)
archiabllem1.s ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
Assertion
Ref Expression
archiabllem1b ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥,
Allowed substitution hints:   < (𝑦)   · (𝑦)   𝑈(𝑦)   (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)

Proof of Theorem archiabllem1b
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0zd 12511 . . 3 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 0 ∈ ℤ)
2 simpr 485 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
3 archiabllem1.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐵)
4 archiabllem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 archiabllem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
6 archiabllem.m . . . . . . 7 · = (.g𝑊)
74, 5, 6mulg0 18879 . . . . . 6 (𝑈𝐵 → (0 · 𝑈) = 0 )
83, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑈) = 0 )
98ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → (0 · 𝑈) = 0 )
102, 9eqtr4d 2779 . . 3 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = (0 · 𝑈))
11 oveq1 7364 . . . 4 (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑈) = (0 · 𝑈))
1211rspceeqv 3595 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (0 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
131, 10, 12syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
14 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1514nnzd 12526 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615znegcld 12609 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → -𝑚 ∈ ℤ)
1733ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑈𝐵)
1817ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑈𝐵)
19 eqid 2736 . . . . . . . 8 (invg𝑊) = (invg𝑊)
204, 6, 19mulgnegnn 18886 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑈𝐵) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
2114, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
22 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
2322fveq2d 6846 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = ((invg𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
24 archiabllem.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
25243ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ oGrp)
26 ogrpgrp 31911 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Grp)
28 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑦𝐵)
294, 19grpinvinv 18814 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
3130ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg𝑊)‘((invg𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
3221, 23, 313eqtr2rd 2783 . . . . 5 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈))
33 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · 𝑈) = (-𝑚 · 𝑈))
3433rspceeqv 3595 . . . . 5 ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
3516, 32, 34syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
36 archiabllem.e . . . . 5 = (le‘𝑊)
37 archiabllem.t . . . . 5 < = (lt‘𝑊)
38 archiabllem.a . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
39383ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Archi)
40 archiabllem1.p . . . . . 6 (𝜑0 < 𝑈)
41403ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 0 < 𝑈)
42 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝜑)
43 archiabllem1.s . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
4442, 43syl3an1 1163 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) ∧ 𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
454, 19grpinvcl 18798 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
4627, 28, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
474, 5grpidcl 18778 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Grp → 0𝐵)
4827, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 0𝐵)
49 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 𝑦 < 0 )
50 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
514, 37, 50ogrpaddlt 31925 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑦𝐵0𝐵 ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)))
5225, 28, 48, 46, 49, 51syl131anc 1383 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)))
534, 50, 5, 19grprinv 18801 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = 0 )
5427, 28, 53syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = 0 )
554, 50, 5grplid 18780 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((invg𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = ((invg𝑊)‘𝑦))
5627, 46, 55syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ( 0 (+g𝑊)((invg𝑊)‘𝑦)) = ((invg𝑊)‘𝑦))
5752, 54, 563brtr3d 5136 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → 0 < ((invg𝑊)‘𝑦))
584, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57archiabllem1a 32027 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ((invg𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
5935, 58r19.29a 3159 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
60593expa 1118 . 2 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
61 nnssz 12521 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
62243ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ oGrp)
63383ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ Archi)
6433ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑈𝐵)
65403ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 0 < 𝑈)
66 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝜑)
6766, 43syl3an1 1163 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) ∧ 𝑥𝐵0 < 𝑥) → 𝑈 𝑥)
68 simp2 1137 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 𝑦𝐵)
69 simp3 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
704, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69archiabllem1a 32027 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
71703expa 1118 . . 3 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
72 ssrexv 4011 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈)))
7361, 71, 72mpsyl 68 . 2 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
74 isogrp 31910 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
7574simprbi 497 . . . . 5 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
76 omndtos 31913 . . . . 5 (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
7724, 75, 763syl 18 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Toset)
7877adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Toset)
79 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
8024, 26, 473syl 18 . . . 4 (𝜑0𝐵)
8180adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → 0𝐵)
824, 37tlt3 31830 . . 3 ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑦𝐵0𝐵) → (𝑦 = 0𝑦 < 00 < 𝑦))
8378, 79, 81, 82syl3anc 1371 . 2 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦 = 0𝑦 < 00 < 𝑦))
8413, 60, 73, 83mpjao3dan 1431 1 ((𝜑𝑦𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  wss 3910   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  -cneg 11386  cn 12153  cz 12499  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  lecple 17140  0gc0g 17321  ltcplt 18197  Tosetctos 18305  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  .gcmg 18872  oMndcomnd 31905  oGrpcogrp 31906  Archicarchi 32013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-toset 18306  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-omnd 31907  df-ogrp 31908  df-inftm 32014  df-archi 32015
This theorem is referenced by:  archiabllem1  32029
  Copyright terms: Public domain W3C validator