Theorem archiabllem1b 33452

Description: Lemma for archiabl 33458. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
archiabllem.e	⊢ ≤ = (le‘𝑊)
archiabllem.t	⊢ < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m	⊢ · = (.g‘𝑊)
archiabllem.g	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
archiabllem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
archiabllem1.p	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
archiabllem1.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
archiabllem1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝐵   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑊,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥,𝑦   · ,𝑛,𝑥   0 ,𝑛,𝑥   < ,𝑛,𝑥   𝑥, ≤

Allowed substitution hints:   < (𝑦)   · (𝑦)   𝑈(𝑦)   ≤ (𝑦,𝑛)   0 (𝑦)

Proof of Theorem archiabllem1b

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12602	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 0 ∈ ℤ)
2		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = 0 )
3		archiabllem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
4		archiabllem.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		archiabllem.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
6		archiabllem.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑊)
7	4, 5, 6	mulg0 19139	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑈) = 0 )
8	3, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝑈) = 0 )
9	8	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → (0 · 𝑈) = 0 )
10	2, 9	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → 𝑦 = (0 · 𝑈))
11		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑈) = (0 · 𝑈))
12	11	rspceeqv 3613	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (0 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
13	1, 10, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
14		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnzd 12616	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑚 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12701	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → -𝑚 ∈ ℤ)
17	3	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑈 ∈ 𝐵)
18	17	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
19		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
20	4, 6, 19	mulgnegnn 19149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
21	14, 18, 20	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → (-𝑚 · 𝑈) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
22		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
23	22	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘(𝑚 · 𝑈)))
24		archiabllem.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ oGrp)
25	24	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ oGrp)
26		ogrpgrp 20194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Grp)
28		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 ∈ 𝐵)
29	4, 19	grpinvinv 19071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
30	27, 28, 29	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
31	30	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ((invg‘𝑊)‘((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 𝑦)
32	21, 23, 31	3eqtr2rd 2811	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈))
33		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = -𝑚 → (𝑛 · 𝑈) = (-𝑚 · 𝑈))
34	33	rspceeqv 3613	. . . . 5 ⊢ ((-𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = (-𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
35	16, 32, 34	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
36		archiabllem.e	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑊)
37		archiabllem.t	. . . . 5 ⊢ < = (lt‘𝑊)
38		archiabllem.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Archi)
39	38	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑊 ∈ Archi)
40		archiabllem1.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑈)
41	40	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < 𝑈)
42		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝜑)
43		archiabllem1.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
44	42, 43	syl3an1 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
45	4, 19	grpinvcl 19053	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
46	27, 28, 45	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵)
47	4, 5	grpidcl 19031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
48	27, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 ∈ 𝐵)
49		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 𝑦 < 0 )
50		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
51	4, 37, 50	ogrpaddlt 20207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oGrp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
52	25, 28, 48, 46, 49, 51	syl131anc 1408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) < ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)))
53	4, 50, 5, 19	grprinv 19056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
54	27, 28, 53	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → (𝑦(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = 0 )
55	4, 50, 5	grplid 19033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑦) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
56	27, 46, 55	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ( 0 (+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑦)) = ((invg‘𝑊)‘𝑦))
57	52, 54, 56	3brtr3d 5146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → 0 < ((invg‘𝑊)‘𝑦))
58	4, 5, 36, 37, 6, 25, 39, 17, 41, 44, 46, 57	archiabllem1a 33451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ((invg‘𝑊)‘𝑦) = (𝑚 · 𝑈))
59	35, 58	r19.29a 3179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
60	59	3expa 1134	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 < 0 ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
61		nnssz 12612	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
62	24	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ oGrp)
63	38	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑊 ∈ Archi)
64	3	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑈 ∈ 𝐵)
65	40	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑈)
66		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝜑)
67	66, 43	syl3an1 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑥) → 𝑈 ≤ 𝑥)
68		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
69		simp3 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
70	4, 5, 36, 37, 6, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69	archiabllem1a 33451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
71	70	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
72		ssrexv 4015	. . 3 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈)))
73	61, 71, 72	mpsyl 69	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))
74		isogrp 20193	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ oMnd))
75	74	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ oMnd)
76		omndtos 20196	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oMnd → 𝑊 ∈ Toset)
77	24, 75, 76	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Toset)
78	77	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Toset)
79		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
80	24, 26, 47	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
81	80	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
82	4, 37	tlt3 33230	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Toset ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
83	78, 79, 81, 82	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 < 0 ∨ 0 < 𝑦))
84	13, 60, 73, 83	mpjao3dan 1457	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑦 = (𝑛 · 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11099  -cneg 11441  ℕcn 12232  ℤcz 12590  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  lecple 17316  0_gc0g 17491  ltcplt 18363  Tosetctos 18469  Grpcgrp 18999  inv_gcminusg 19000  ._gcmg 19132  oMndcomnd 20188  oGrpcogrp 20189  Archicarchi 33437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-0g 17493  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-toset 18470  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-omnd 20190  df-ogrp 20191  df-inftm 33438  df-archi 33439

This theorem is referenced by:  archiabllem1  33453