Theorem tposf2 8248

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfo2 8247	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹))
2		ffn 6702	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		dffn4 6795	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
5	1, 4	impel 515	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹)
6		fof 6789	. . . 4 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
8		frn 6710	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	7, 9	fssd 6720	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵)
11	10	ex 418	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  Rel wrel 5660   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  tpos ctpos 8223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-tpos 8224

This theorem is used by:  tposf  8252