MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tposf2 8185
Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf2 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅))

Proof of Theorem tposf2
StepHypRef Expression
1 tposfo2 8184 . . . . 5 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹))
2 ffn 6672 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 dffn4 6766 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
51, 4impel 507 . . . 4 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
6 fof 6760 . . . 4 (tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆran 𝐹)
75, 6syl 17 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆran 𝐹)
8 frn 6679 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
98adantl 483 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
107, 9fssd 6690 . 2 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅)
1110ex 414 1 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   βŠ† wss 3914  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638  Rel wrel 5642   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  tpos ctpos 8160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fo 6506  df-fv 6508  df-tpos 8161
This theorem is referenced by:  tposf  8189
  Copyright terms: Public domain W3C validator