MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tposf2 8231
Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf2 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅))

Proof of Theorem tposf2
StepHypRef Expression
1 tposfo2 8230 . . . . 5 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹))
2 ffn 6708 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 dffn4 6802 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
51, 4impel 505 . . . 4 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
6 fof 6796 . . . 4 (tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆran 𝐹)
75, 6syl 17 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆran 𝐹)
8 frn 6715 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
98adantl 481 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
107, 9fssd 6726 . 2 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅)
1110ex 412 1 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   βŠ† wss 3941  β—‘ccnv 5666  ran crn 5668  Rel wrel 5672   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€“ontoβ†’wfo 6532  tpos ctpos 8206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fo 6540  df-fv 6542  df-tpos 8207
This theorem is referenced by:  tposf  8235
  Copyright terms: Public domain W3C validator