Theorem tposf2 8305

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfo2 8304	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶ontoran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ontoran 𝐹))
2		ffn 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		dffn4 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴⟶ontoran 𝐹)
4	2, 3	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹:𝐴⟶ontoran 𝐹)
5	1, 4	impel 515	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ontoran 𝐹)
6		fof 6826	. . . 4 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴⟶ontoran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
8		frn 6747	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	7, 9	fssd 6757	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵)
11	10	ex 418	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659  Rel wrel 5663   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  tpos ctpos 8280

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fo 6572  df-fv 6574  df-tpos 8281

This theorem is used by:  tposf  8309