Theorem tposf2 8291

Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposf2	⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

Proof of Theorem tposf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposfo2 8290	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹))
2		ffn 6747	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		dffn4 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
4	2, 3	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹:𝐴–onto→ran 𝐹)
5	1, 4	impel 505	. . . 4 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹)
6		fof 6834	. . . 4 ⊢ (tpos 𝐹:◡𝐴–onto→ran 𝐹 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶ran 𝐹)
8		frn 6754	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	7, 9	fssd 6764	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵)
11	10	ex 412	1 ⊢ (Rel 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → tpos 𝐹:◡𝐴⟶𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3976  ^◡ccnv 5699  ran crn 5701  Rel wrel 5705   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  tpos ctpos 8266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581  df-tpos 8267

This theorem is referenced by:  tposf  8295