MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tposf2 8256
Description: The domain and codomain of a transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposf2 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅))

Proof of Theorem tposf2
StepHypRef Expression
1 tposfo2 8255 . . . . 5 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹))
2 ffn 6722 . . . . . 6 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 dffn4 6817 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
42, 3sylib 217 . . . . 5 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ 𝐹:𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
51, 4impel 505 . . . 4 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹)
6 fof 6811 . . . 4 (tpos 𝐹:◑𝐴–ontoβ†’ran 𝐹 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆran 𝐹)
75, 6syl 17 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆran 𝐹)
8 frn 6729 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
98adantl 481 . . 3 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
107, 9fssd 6740 . 2 ((Rel 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅)
1110ex 412 1 (Rel 𝐴 β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ tpos 𝐹:β—‘π΄βŸΆπ΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   βŠ† wss 3947  β—‘ccnv 5677  ran crn 5679  Rel wrel 5683   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€“ontoβ†’wfo 6546  tpos ctpos 8231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fo 6554  df-fv 6556  df-tpos 8232
This theorem is referenced by:  tposf  8260
  Copyright terms: Public domain W3C validator