Theorem uhgrsubgrself 29866

Description: A hypergraph is a subgraph of itself. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 21-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgrsubgrself	⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐺 SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem uhgrsubgrself

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3930	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) ⊆ (Vtx‘𝐺)
2		ssid 3930	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) ⊆ (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝐺) ⊆ (iEdg‘𝐺))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5	4	uhgrfun 29649	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
6		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
8	7, 7, 4, 4	uhgrissubgr 29861	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐺 ∈ UHGraph) → (𝐺 SubGraph 𝐺 ↔ ((Vtx‘𝐺) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝐺) ⊆ (iEdg‘𝐺))))
9	5, 6, 8	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐺 SubGraph 𝐺 ↔ ((Vtx‘𝐺) ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (iEdg‘𝐺) ⊆ (iEdg‘𝐺))))
10	3, 9	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐺 SubGraph 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  Vtxcvtx 29579  iEdgciedg 29580  UHGraphcuhgr 29639   SubGraph csubgr 29853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-edg 29631  df-uhgr 29641  df-subgr 29854

This theorem is used by: (None)