MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustrel 23579
Description: The elements of uniform structures, called entourages, are relations. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustrel ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ Rel 𝑉)

Proof of Theorem ustrel
StepHypRef Expression
1 ustssxp 23572 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
2 xpss 5650 . . 3 (𝑋 Γ— 𝑋) βŠ† (V Γ— V)
31, 2sstrdi 3957 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑉 βŠ† (V Γ— V))
4 df-rel 5641 . 2 (Rel 𝑉 ↔ 𝑉 βŠ† (V Γ— V))
53, 4sylibr 233 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ Rel 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   Γ— cxp 5632  Rel wrel 5639  β€˜cfv 6497  UnifOncust 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ust 23568
This theorem is referenced by:  ustssco  23582  ustexsym  23583  ustuqtop4  23612  utop2nei  23618  utop3cls  23619  ucncn  23653
  Copyright terms: Public domain W3C validator