Theorem ustrel 23271

Description: The elements of uniform structures, called entourages, are relations. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustrel	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → Rel 𝑉)

Proof of Theorem ustrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ustssxp 23264	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5596	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3929	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (V × V))
4		df-rel 5587	. 2 ⊢ (Rel 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → Rel 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  Rel wrel 5585  ‘cfv 6418  UnifOncust 23259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-res 5592  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ust 23260

This theorem is referenced by:  ustssco  23274  ustexsym  23275  ustuqtop4  23304  utop2nei  23310  utop3cls  23311  ucncn  23345