Theorem ustrel 24155

Description: The elements of uniform structures, called entourages, are relations. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustrel	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → Rel 𝑉)

Proof of Theorem ustrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ustssxp 24148	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5675	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3976	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (V × V))
4		df-rel 5666	. 2 ⊢ (Rel 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → Rel 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   × cxp 5657  Rel wrel 5664  ‘cfv 6536  UnifOncust 24143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-res 5671  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ust 24144

This theorem is referenced by:  ustssco  24158  ustexsym  24159  ustuqtop4  24188  utop2nei  24194  utop3cls  24195  ucncn  24228