Theorem ustrel 24330

Description: The elements of uniform structures, called entourages, are relations. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustrel	⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → Rel 𝑉)

Proof of Theorem ustrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ustssxp 24323	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
2		xpss 5668	. . 3 ⊢ (𝑋 × 𝑋) ⊆ (V × V)
3	1, 2	sstrdi 3951	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (V × V))
4		df-rel 5659	. 2 ⊢ (Rel 𝑉 ↔ 𝑉 ⊆ (V × V))
5	3, 4	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑈 ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈) → Rel 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   × cxp 5650  Rel wrel 5657  ‘cfv 6525  UnifOncust 24318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-res 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ust 24319

This theorem is referenced by:  ustssco  24333  ustexsym  24334  ustuqtop4  24362  utop2nei  24368  utop3cls  24369  ucncn  24402