MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustexsym Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustexsym 23940
Description: In an uniform structure, for any entourage 𝑉, there exists a smaller symmetrical entourage. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ustexsym ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
Distinct variable groups:   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑀)
Proof of Theorem ustexsym
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 771 . . . 4 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹))
2 ustinvel 23934 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ β—‘π‘₯ ∈ π‘ˆ)
32ad4ant13 747 . . . 4 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ β—‘π‘₯ ∈ π‘ˆ)
4 simplr 765 . . . 4 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
5 ustincl 23932 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ β—‘π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) ∈ π‘ˆ)
61, 3, 4, 5syl3anc 1369 . . 3 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) ∈ π‘ˆ)
7 ustrel 23936 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ Rel π‘₯)
8 dfrel2 6187 . . . . . . 7 (Rel π‘₯ ↔ β—‘β—‘π‘₯ = π‘₯)
97, 8sylib 217 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ β—‘β—‘π‘₯ = π‘₯)
109ineq1d 4210 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (β—‘β—‘π‘₯ ∩ β—‘π‘₯) = (π‘₯ ∩ β—‘π‘₯))
11 cnvin 6143 . . . . 5 β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (β—‘β—‘π‘₯ ∩ β—‘π‘₯)
12 incom 4200 . . . . 5 (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (π‘₯ ∩ β—‘π‘₯)
1310, 11, 123eqtr4g 2795 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯))
1413ad4ant13 747 . . 3 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯))
15 inss2 4228 . . . 4 (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) βŠ† π‘₯
16 ustssco 23939 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† (π‘₯ ∘ π‘₯))
1716ad4ant13 747 . . . . 5 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ π‘₯ βŠ† (π‘₯ ∘ π‘₯))
18 simpr 483 . . . . 5 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉)
1917, 18sstrd 3991 . . . 4 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑉)
2015, 19sstrid 3992 . . 3 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) βŠ† 𝑉)
21 cnveq 5872 . . . . . 6 (𝑀 = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) β†’ ◑𝑀 = β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯))
22 id 22 . . . . . 6 (𝑀 = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) β†’ 𝑀 = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯))
2321, 22eqeq12d 2746 . . . . 5 (𝑀 = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) β†’ (◑𝑀 = 𝑀 ↔ β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯)))
24 sseq1 4006 . . . . 5 (𝑀 = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) β†’ (𝑀 βŠ† 𝑉 ↔ (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) βŠ† 𝑉))
2523, 24anbi12d 629 . . . 4 (𝑀 = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) β†’ ((◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉) ↔ (β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) ∧ (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) βŠ† 𝑉)))
2625rspcev 3611 . . 3 (((β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) ∈ π‘ˆ ∧ (β—‘(β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) = (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) ∧ (β—‘π‘₯ ∩ π‘₯) βŠ† 𝑉)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
276, 14, 20, 26syl12anc 833 . 2 ((((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
28 ustexhalf 23935 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘ˆ (π‘₯ ∘ π‘₯) βŠ† 𝑉)
2927, 28r19.29a 3160 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (◑𝑀 = 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  β—‘ccnv 5674   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  β€˜cfv 6542  UnifOncust 23924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ust 23925
This theorem is referenced by:  ustex2sym  23941  neipcfilu  24021
  Copyright terms: Public domain W3C validator