Theorem infxrpnf2 46125

Description: Removing plus infinity from a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infxrpnf2	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdifss 4093	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ*)
2		infxrpnf 46108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {+∞}) ⊆ ℝ* → inf(((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ))
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → inf(((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ))
5		difsnid 4775	. . . . 5 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}) = 𝐴)
6	5	infeq1d 9437	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ 𝐴 → inf(((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
7	6	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → inf(((𝐴 ∖ {+∞}) ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
8	4, 7	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ +∞ ∈ 𝐴) → inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
9		difsn 4765	. . . 4 ⊢ (¬ +∞ ∈ 𝐴 → (𝐴 ∖ {+∞}) = 𝐴)
10	9	infeq1d 9437	. . 3 ⊢ (¬ +∞ ∈ 𝐴 → inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
11	10	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ +∞ ∈ 𝐴) → inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
12	8, 11	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∖ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4588  infcinf 9400  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  supminfxr2  46131