Theorem xmetdmdm 24300

Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetdmdm	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem xmetdmdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24294	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2	1	fdmd 6679	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3	2	dmeqd 5861	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
4		dmxpid 5886	. 2 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
5	3, 4	eqtr2di 2789	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5629  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  ℝ^*cxr 11178  ∞Metcxmet 21337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-xr 11183  df-xmet 21345

This theorem is referenced by:  metdmdm  24301  xmetunirn  24302  cfilfval  25231