MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetdmdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetdmdm 22940
Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetdmdm (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem xmetdmdm
StepHypRef Expression
1 xmetf 22934 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
21fdmd 6504 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
32dmeqd 5751 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
4 dmxpid 5777 . 2 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
53, 4syl6req 2874 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114   × cxp 5530  dom cdm 5532  cfv 6334  *cxr 10663  ∞Metcxmet 20074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-map 8395  df-xr 10668  df-xmet 20082
This theorem is referenced by:  metdmdm  22941  xmetunirn  22942  cfilfval  23866
  Copyright terms: Public domain W3C validator