Theorem xmetdmdm 24615

Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetdmdm	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem xmetdmdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24609	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2	1	fdmd 6708	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3	2	dmeqd 5883	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
4		dmxpid 5908	. 2 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
5	3, 4	eqtr2di 2812	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5645  dom cdm 5647  ‘cfv 6527  ℝ^*cxr 11313  ∞Metcxmet 21624

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8827  df-xr 11318  df-xmet 21632

This theorem is used by:  metdmdm  24616  xmetunirn  24617  cfilfval  25546