Theorem xmetdmdm 24562

Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmetdmdm	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem xmetdmdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 24556	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2	1	fdmd 6717	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3	2	dmeqd 5893	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋))
4		dmxpid 5918	. 2 ⊢ dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
5	3, 4	eqtr2di 2814	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5657  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  ℝ^*cxr 11269  ∞Metcxmet 21571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-xr 11274  df-xmet 21579

This theorem is used by:  metdmdm  24563  xmetunirn  24564  cfilfval  25493