Theorem dmxpid 5919

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5909	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5674	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5759	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5894	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 23	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2823	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5918	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3040	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  ∅c0 4285   × cxp 5658  dom cdm 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-dm 5670

This theorem is used by:  dmxpin  5920  xpid11  5921  sofld  6184  xpider  8784  hartogslem1  9502  unxpwdom2  9548  infxpenlem  10004  fpwwe2lem12  10633  fpwwe2  10634  canth4  10638  dmrecnq  10959  homfeqbas  17758  sscfn1  17880  sscfn2  17881  ssclem  17882  isssc  17883  rescval2  17891  issubc2  17899  cofuval  17945  resfval2  17956  resf1st  17957  psssdm2  18643  tsrss  18651  decpmatval  22933  pmatcollpw3lem  22951  ustssco  24383  ustbas2  24393  psmetdmdm  24473  xmetdmdm  24503  setsmstopn  24646  tmsval  24649  tngtopn  24818  caufval  25445  grporndm  30873  dfhnorm2  31485  hhshsslem1  31630  metideq  34292  filnetlem4  36920  poimirlem3  38302  ssbnd  38467  bnd2lem  38470  ismtyval  38479  ismndo2  38553  exidreslem  38556  divrngcl  38636  isdrngo2  38637  rtrclex  44371  fnxpdmdm  48953  dmdm  49859  infsubc2d  49868