MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmxpid 5886
Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmxpid dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid
StepHypRef Expression
1 dm0 5877 . . 3 dom ∅ = ∅
2 xpeq1 5648 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3 0xp 5731 . . . . 5 (∅ × 𝐴) = ∅
42, 3eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
54dmeqd 5862 . . 3 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6 id 22 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
71, 5, 63eqtr4a 2799 . 2 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8 dmxp 5885 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
97, 8pm2.61ine 3025 1 dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  c0 4283   × cxp 5632  dom cdm 5634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-dm 5644
This theorem is referenced by:  dmxpin  5887  xpid11  5888  sofld  6140  xpider  8730  hartogslem1  9483  unxpwdom2  9529  infxpenlem  9954  fpwwe2lem12  10583  fpwwe2  10584  canth4  10588  dmrecnq  10909  homfeqbas  17581  sscfn1  17705  sscfn2  17706  ssclem  17707  isssc  17708  rescval2  17716  issubc2  17727  cofuval  17773  resfval2  17784  resf1st  17785  psssdm2  18475  tsrss  18483  decpmatval  22130  pmatcollpw3lem  22148  ustssco  23582  ustbas2  23593  psmetdmdm  23674  xmetdmdm  23704  setsmstopn  23849  tmsval  23852  tngtopn  24030  caufval  24655  grporndm  29494  dfhnorm2  30106  hhshsslem1  30251  metideq  32531  filnetlem4  34899  poimirlem3  36127  ssbnd  36293  bnd2lem  36296  ismtyval  36305  ismndo2  36379  exidreslem  36382  divrngcl  36462  isdrngo2  36463  rtrclex  41977  fnxpdmdm  46148
  Copyright terms: Public domain W3C validator