Theorem dmxpid 5867

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5858	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5628	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5713	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5843	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5866	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3009	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541  ∅c0 4281   × cxp 5612  dom cdm 5614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-dm 5624

This theorem is referenced by:  dmxpin  5868  xpid11  5869  sofld  6131  xpider  8707  hartogslem1  9423  unxpwdom2  9469  infxpenlem  9896  fpwwe2lem12  10525  fpwwe2  10526  canth4  10530  dmrecnq  10851  homfeqbas  17594  sscfn1  17716  sscfn2  17717  ssclem  17718  isssc  17719  rescval2  17727  issubc2  17735  cofuval  17781  resfval2  17792  resf1st  17793  psssdm2  18479  tsrss  18487  decpmatval  22673  pmatcollpw3lem  22691  ustssco  24123  ustbas2  24133  psmetdmdm  24213  xmetdmdm  24243  setsmstopn  24386  tmsval  24389  tngtopn  24558  caufval  25195  grporndm  30480  dfhnorm2  31092  hhshsslem1  31237  metideq  33896  filnetlem4  36394  poimirlem3  37642  ssbnd  37807  bnd2lem  37810  ismtyval  37819  ismndo2  37893  exidreslem  37896  divrngcl  37976  isdrngo2  37977  rtrclex  43629  fnxpdmdm  48170  dmdm  49064  infsubc2d  49073