Theorem dmxpid 5880

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5870	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5639	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5724	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5855	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5879	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3016	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4286   × cxp 5623  dom cdm 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-dm 5635

This theorem is referenced by:  dmxpin  5881  xpid11  5882  sofld  6146  xpider  8729  hartogslem1  9451  unxpwdom2  9497  infxpenlem  9927  fpwwe2lem12  10557  fpwwe2  10558  canth4  10562  dmrecnq  10883  homfeqbas  17623  sscfn1  17745  sscfn2  17746  ssclem  17747  isssc  17748  rescval2  17756  issubc2  17764  cofuval  17810  resfval2  17821  resf1st  17822  psssdm2  18508  tsrss  18516  decpmatval  22713  pmatcollpw3lem  22731  ustssco  24163  ustbas2  24173  psmetdmdm  24253  xmetdmdm  24283  setsmstopn  24426  tmsval  24429  tngtopn  24598  caufval  25235  grporndm  30568  dfhnorm2  31180  hhshsslem1  31325  metideq  34031  filnetlem4  36556  poimirlem3  37795  ssbnd  37960  bnd2lem  37963  ismtyval  37972  ismndo2  38046  exidreslem  38049  divrngcl  38129  isdrngo2  38130  rtrclex  43894  fnxpdmdm  48442  dmdm  49334  infsubc2d  49343