Theorem dmxpid 5877

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5867	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5636	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5721	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5852	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5876	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3016	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4274   × cxp 5620  dom cdm 5622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-dm 5632

This theorem is referenced by:  dmxpin  5878  xpid11  5879  sofld  6143  xpider  8726  hartogslem1  9448  unxpwdom2  9494  infxpenlem  9924  fpwwe2lem12  10554  fpwwe2  10555  canth4  10559  dmrecnq  10880  homfeqbas  17620  sscfn1  17742  sscfn2  17743  ssclem  17744  isssc  17745  rescval2  17753  issubc2  17761  cofuval  17807  resfval2  17818  resf1st  17819  psssdm2  18505  tsrss  18513  decpmatval  22708  pmatcollpw3lem  22726  ustssco  24158  ustbas2  24168  psmetdmdm  24248  xmetdmdm  24278  setsmstopn  24421  tmsval  24424  tngtopn  24593  caufval  25220  grporndm  30570  dfhnorm2  31182  hhshsslem1  31327  metideq  34043  filnetlem4  36569  poimirlem3  37935  ssbnd  38100  bnd2lem  38103  ismtyval  38112  ismndo2  38186  exidreslem  38189  divrngcl  38269  isdrngo2  38270  rtrclex  44047  fnxpdmdm  48594  dmdm  49486  infsubc2d  49495