MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmxpid 5768
Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmxpid dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid
StepHypRef Expression
1 dm0 5758 . . 3 dom ∅ = ∅
2 xpeq1 5537 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3 0xp 5617 . . . . 5 (∅ × 𝐴) = ∅
42, 3eqtrdi 2852 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
54dmeqd 5742 . . 3 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6 id 22 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
71, 5, 63eqtr4a 2862 . 2 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8 dmxp 5767 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
97, 8pm2.61ine 3073 1 dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  c0 4246   × cxp 5521  dom cdm 5523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-br 5034  df-opab 5096  df-xp 5529  df-dm 5533
This theorem is referenced by:  dmxpin  5769  xpid11  5770  sofld  6015  xpider  8355  hartogslem1  8994  unxpwdom2  9040  infxpenlem  9428  fpwwe2lem13  10057  fpwwe2  10058  canth4  10062  dmrecnq  10383  homfeqbas  16962  sscfn1  17083  sscfn2  17084  ssclem  17085  isssc  17086  rescval2  17094  issubc2  17102  cofuval  17148  resfval2  17159  resf1st  17160  psssdm2  17821  tsrss  17829  decpmatval  21374  pmatcollpw3lem  21392  ustssco  22824  ustbas2  22835  psmetdmdm  22916  xmetdmdm  22946  setsmstopn  23089  tmsval  23092  tngtopn  23260  caufval  23883  grporndm  28297  dfhnorm2  28909  hhshsslem1  29054  metideq  31250  filnetlem4  33843  poimirlem3  35059  ssbnd  35225  bnd2lem  35228  ismtyval  35237  ismndo2  35311  exidreslem  35314  divrngcl  35394  isdrngo2  35395  rtrclex  40314  fnxpdmdm  44385
  Copyright terms: Public domain W3C validator