Theorem dmxpid 5839

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5829	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5603	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5685	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5814	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2804	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5838	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3028	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539  ∅c0 4256   × cxp 5587  dom cdm 5589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599

This theorem is referenced by:  dmxpin  5840  xpid11  5841  sofld  6090  xpider  8577  hartogslem1  9301  unxpwdom2  9347  infxpenlem  9769  fpwwe2lem12  10398  fpwwe2  10399  canth4  10403  dmrecnq  10724  homfeqbas  17405  sscfn1  17529  sscfn2  17530  ssclem  17531  isssc  17532  rescval2  17540  issubc2  17551  cofuval  17597  resfval2  17608  resf1st  17609  psssdm2  18299  tsrss  18307  decpmatval  21914  pmatcollpw3lem  21932  ustssco  23366  ustbas2  23377  psmetdmdm  23458  xmetdmdm  23488  setsmstopn  23633  tmsval  23636  tngtopn  23814  caufval  24439  grporndm  28872  dfhnorm2  29484  hhshsslem1  29629  metideq  31843  filnetlem4  34570  poimirlem3  35780  ssbnd  35946  bnd2lem  35949  ismtyval  35958  ismndo2  36032  exidreslem  36035  divrngcl  36115  isdrngo2  36116  rtrclex  41225  fnxpdmdm  45322