MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmxpid 5941
Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmxpid dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid
StepHypRef Expression
1 dm0 5931 . . 3 dom ∅ = ∅
2 xpeq1 5699 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3 0xp 5784 . . . . 5 (∅ × 𝐴) = ∅
42, 3eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
54dmeqd 5916 . . 3 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6 id 22 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
71, 5, 63eqtr4a 2803 . 2 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8 dmxp 5939 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
97, 8pm2.61ine 3025 1 dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  c0 4333   × cxp 5683  dom cdm 5685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-dm 5695
This theorem is referenced by:  dmxpin  5942  xpid11  5943  sofld  6207  xpider  8828  hartogslem1  9582  unxpwdom2  9628  infxpenlem  10053  fpwwe2lem12  10682  fpwwe2  10683  canth4  10687  dmrecnq  11008  homfeqbas  17739  sscfn1  17861  sscfn2  17862  ssclem  17863  isssc  17864  rescval2  17872  issubc2  17881  cofuval  17927  resfval2  17938  resf1st  17939  psssdm2  18626  tsrss  18634  decpmatval  22771  pmatcollpw3lem  22789  ustssco  24223  ustbas2  24234  psmetdmdm  24315  xmetdmdm  24345  setsmstopn  24490  tmsval  24493  tngtopn  24671  caufval  25309  grporndm  30529  dfhnorm2  31141  hhshsslem1  31286  metideq  33892  filnetlem4  36382  poimirlem3  37630  ssbnd  37795  bnd2lem  37798  ismtyval  37807  ismndo2  37881  exidreslem  37884  divrngcl  37964  isdrngo2  37965  rtrclex  43630  fnxpdmdm  48076
  Copyright terms: Public domain W3C validator