Theorem dmxpid 5886

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5876	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5645	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5730	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5861	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5885	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3016	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4274   × cxp 5629  dom cdm 5631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5637  df-dm 5641

This theorem is referenced by:  dmxpin  5887  xpid11  5888  sofld  6152  xpider  8735  hartogslem1  9457  unxpwdom2  9503  infxpenlem  9935  fpwwe2lem12  10565  fpwwe2  10566  canth4  10570  dmrecnq  10891  homfeqbas  17662  sscfn1  17784  sscfn2  17785  ssclem  17786  isssc  17787  rescval2  17795  issubc2  17803  cofuval  17849  resfval2  17860  resf1st  17861  psssdm2  18547  tsrss  18555  decpmatval  22730  pmatcollpw3lem  22748  ustssco  24180  ustbas2  24190  psmetdmdm  24270  xmetdmdm  24300  setsmstopn  24443  tmsval  24446  tngtopn  24615  caufval  25242  grporndm  30581  dfhnorm2  31193  hhshsslem1  31338  metideq  34037  filnetlem4  36563  poimirlem3  37944  ssbnd  38109  bnd2lem  38112  ismtyval  38121  ismndo2  38195  exidreslem  38198  divrngcl  38278  isdrngo2  38279  rtrclex  44044  fnxpdmdm  48630  dmdm  49522  infsubc2d  49531