Theorem dmxpid 5930

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5921	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5775	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5906	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2799	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5929	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3026	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  ∅c0 4323   × cxp 5675  dom cdm 5677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687

This theorem is referenced by:  dmxpin  5931  xpid11  5932  sofld  6187  xpider  8782  hartogslem1  9537  unxpwdom2  9583  infxpenlem  10008  fpwwe2lem12  10637  fpwwe2  10638  canth4  10642  dmrecnq  10963  homfeqbas  17640  sscfn1  17764  sscfn2  17765  ssclem  17766  isssc  17767  rescval2  17775  issubc2  17786  cofuval  17832  resfval2  17843  resf1st  17844  psssdm2  18534  tsrss  18542  decpmatval  22267  pmatcollpw3lem  22285  ustssco  23719  ustbas2  23730  psmetdmdm  23811  xmetdmdm  23841  setsmstopn  23986  tmsval  23989  tngtopn  24167  caufval  24792  grporndm  29794  dfhnorm2  30406  hhshsslem1  30551  metideq  32904  filnetlem4  35314  poimirlem3  36539  ssbnd  36704  bnd2lem  36707  ismtyval  36716  ismndo2  36790  exidreslem  36793  divrngcl  36873  isdrngo2  36874  rtrclex  42416  fnxpdmdm  46586