Theorem dmxpid 5784

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5774	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5550	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5631	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5759	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5783	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3015	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1543  ∅c0 4223   × cxp 5534  dom cdm 5536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-dm 5546

This theorem is referenced by:  dmxpin  5785  xpid11  5786  sofld  6030  xpider  8448  hartogslem1  9136  unxpwdom2  9182  infxpenlem  9592  fpwwe2lem12  10221  fpwwe2  10222  canth4  10226  dmrecnq  10547  homfeqbas  17153  sscfn1  17276  sscfn2  17277  ssclem  17278  isssc  17279  rescval2  17287  issubc2  17296  cofuval  17342  resfval2  17353  resf1st  17354  psssdm2  18041  tsrss  18049  decpmatval  21616  pmatcollpw3lem  21634  ustssco  23066  ustbas2  23077  psmetdmdm  23157  xmetdmdm  23187  setsmstopn  23330  tmsval  23333  tngtopn  23502  caufval  24126  grporndm  28545  dfhnorm2  29157  hhshsslem1  29302  metideq  31511  filnetlem4  34256  poimirlem3  35466  ssbnd  35632  bnd2lem  35635  ismtyval  35644  ismndo2  35718  exidreslem  35721  divrngcl  35801  isdrngo2  35802  rtrclex  40842  fnxpdmdm  44938