Theorem dmxpid 5910

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5900	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5753	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5885	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2796	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5908	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3015	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540  ∅c0 4308   × cxp 5652  dom cdm 5654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-dm 5664

This theorem is referenced by:  dmxpin  5911  xpid11  5912  sofld  6176  xpider  8802  hartogslem1  9556  unxpwdom2  9602  infxpenlem  10027  fpwwe2lem12  10656  fpwwe2  10657  canth4  10661  dmrecnq  10982  homfeqbas  17708  sscfn1  17830  sscfn2  17831  ssclem  17832  isssc  17833  rescval2  17841  issubc2  17849  cofuval  17895  resfval2  17906  resf1st  17907  psssdm2  18591  tsrss  18599  decpmatval  22703  pmatcollpw3lem  22721  ustssco  24153  ustbas2  24164  psmetdmdm  24244  xmetdmdm  24274  setsmstopn  24417  tmsval  24420  tngtopn  24589  caufval  25227  grporndm  30491  dfhnorm2  31103  hhshsslem1  31248  metideq  33924  filnetlem4  36399  poimirlem3  37647  ssbnd  37812  bnd2lem  37815  ismtyval  37824  ismndo2  37898  exidreslem  37901  divrngcl  37981  isdrngo2  37982  rtrclex  43641  fnxpdmdm  48135  dmdm  49020  infsubc2d  49029