MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmxpid 5592
Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmxpid dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid
StepHypRef Expression
1 dm0 5586 . . 3 dom ∅ = ∅
2 xpeq1 5371 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3 0xp 5449 . . . . 5 (∅ × 𝐴) = ∅
42, 3syl6eq 2830 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
54dmeqd 5573 . . 3 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6 id 22 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
71, 5, 63eqtr4a 2840 . 2 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8 dmxp 5591 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
97, 8pm2.61ine 3053 1 dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1601  c0 4141   × cxp 5355  dom cdm 5357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-br 4889  df-opab 4951  df-xp 5363  df-dm 5367
This theorem is referenced by:  dmxpin  5593  xpid11  5594  sofld  5837  xpider  8103  hartogslem1  8738  unxpwdom2  8784  infxpenlem  9171  fpwwe2lem13  9801  fpwwe2  9802  canth4  9806  dmrecnq  10127  homfeqbas  16752  sscfn1  16873  sscfn2  16874  ssclem  16875  isssc  16876  rescval2  16884  issubc2  16892  cofuval  16938  resfval2  16949  resf1st  16950  psssdm2  17612  tsrss  17620  decpmatval  20988  pmatcollpw3lem  21006  ustssco  22437  ustbas2  22448  psmetdmdm  22529  xmetdmdm  22559  setsmstopn  22702  tmsval  22705  tngtopn  22873  caufval  23492  grporndm  27954  dfhnorm2  28568  hhshsslem1  28713  metideq  30542  filnetlem4  32972  poimirlem3  34047  ssbnd  34220  bnd2lem  34223  ismtyval  34232  ismndo2  34306  exidreslem  34309  divrngcl  34389  isdrngo2  34390  rtrclex  38895  fnxpdmdm  42797
  Copyright terms: Public domain W3C validator