Theorem dmxpid 5926

Description: The domain of a Cartesian square. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmxpid	⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5917	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
2		xpeq1 5686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3		0xp 5770	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
4	2, 3	eqtrdi 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
5	4	dmeqd 5902	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
7	1, 5, 6	3eqtr4a 2793	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8		dmxp 5925	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
9	7, 8	pm2.61ine 3020	1 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1534  ∅c0 4318   × cxp 5670  dom cdm 5672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5678  df-dm 5682

This theorem is referenced by:  dmxpin  5927  xpid11  5928  sofld  6185  xpider  8798  hartogslem1  9557  unxpwdom2  9603  infxpenlem  10028  fpwwe2lem12  10657  fpwwe2  10658  canth4  10662  dmrecnq  10983  homfeqbas  17667  sscfn1  17791  sscfn2  17792  ssclem  17793  isssc  17794  rescval2  17802  issubc2  17813  cofuval  17859  resfval2  17870  resf1st  17871  psssdm2  18564  tsrss  18572  decpmatval  22654  pmatcollpw3lem  22672  ustssco  24106  ustbas2  24117  psmetdmdm  24198  xmetdmdm  24228  setsmstopn  24373  tmsval  24376  tngtopn  24554  caufval  25190  grporndm  30307  dfhnorm2  30919  hhshsslem1  31064  metideq  33430  filnetlem4  35801  poimirlem3  37031  ssbnd  37196  bnd2lem  37199  ismtyval  37208  ismndo2  37282  exidreslem  37285  divrngcl  37365  isdrngo2  37366  rtrclex  42970  fnxpdmdm  47145