MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmetf 23682
Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6879 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 isxmet 23677 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
43ibi 266 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
54simpld 495 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3064   class class class wbr 5105   Γ— cxp 5631  dom cdm 5633  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  β„*cxr 11188   ≀ cle 11190   +𝑒 cxad 13031  βˆžMetcxmet 20781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-xr 11193  df-xmet 20789
This theorem is referenced by:  xmetcl  23684  xmetdmdm  23688  xmetpsmet  23701  xmettpos  23702  xmetres2  23714  xmetres  23717  imasdsf1olem  23726  xmeterval  23785  xmeter  23786  xmetresbl  23790  tmsval  23836  tmslem  23837  tmslemOLD  23838  tmsxms  23842  imasf1oxms  23845  comet  23869  stdbdxmet  23871  prdsxms  23886  xrsdsre  24173  xmetdcn2  24200  iscfil2  24630  caufval  24639  isbndx  36241  ssbnd  36247  ismtyval  36259
  Copyright terms: Public domain W3C validator