Theorem metdmdm 23039

Description: Recover the base set from a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metdmdm	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Proof of Theorem metdmdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 23037	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		xmetdmdm 23038	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = dom dom 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  dom cdm 5525  ‘cfv 6336  ∞Metcxmet 20152  Metcmet 20153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-mulcl 10638  ax-i2m1 10644

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-xadd 12550  df-xmet 20160  df-met 20161

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  24016