MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilfval 24651
Description: The set of Cauchy filters on a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilfval (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑓,𝑋   𝐷,𝑓,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cfilfval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6879 . . . 4 (∞Metβ€˜π‘‹) βŠ† βˆͺ ran ∞Met
21sseli 3944 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
3 dmeq 5863 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 5865 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
54fveq2d 6850 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (Filβ€˜dom dom 𝑑) = (Filβ€˜dom dom 𝐷))
6 imaeq1 6012 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)))
76sseq1d 3979 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
87rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
98ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
105, 9rabeqbidv 3423 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
11 df-cfil 24642 . . . 4 CauFil = (𝑑 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
12 fvex 6859 . . . . 5 (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∈ V
1312rabex 5293 . . . 4 {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} ∈ V
1410, 11, 13fvmpt 6952 . . 3 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
152, 14syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
16 xmetdmdm 23711 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
1716fveq2d 6850 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Filβ€˜π‘‹) = (Filβ€˜dom dom 𝐷))
1817rabeqdv 3421 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
1915, 18eqtr4d 2776 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„+crp 12923  [,)cico 13275  βˆžMetcxmet 20804  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-xr 11201  df-xmet 20812  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  iscfil  24652
  Copyright terms: Public domain W3C validator