MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilfval 25212
Description: The set of Cauchy filters on a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilfval (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑓,𝑋   𝐷,𝑓,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cfilfval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6935 . . . 4 (∞Metβ€˜π‘‹) βŠ† βˆͺ ran ∞Met
21sseli 3978 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
3 dmeq 5910 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 5912 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
54fveq2d 6906 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (Filβ€˜dom dom 𝑑) = (Filβ€˜dom dom 𝐷))
6 imaeq1 6063 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)))
76sseq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
87rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
98ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
105, 9rabeqbidv 3448 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
11 df-cfil 25203 . . . 4 CauFil = (𝑑 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
12 fvex 6915 . . . . 5 (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∈ V
1312rabex 5338 . . . 4 {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} ∈ V
1410, 11, 13fvmpt 7010 . . 3 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
152, 14syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
16 xmetdmdm 24261 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
1716fveq2d 6906 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Filβ€˜π‘‹) = (Filβ€˜dom dom 𝐷))
1817rabeqdv 3446 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
1915, 18eqtr4d 2771 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3430   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  ran crn 5683   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  β„+crp 13014  [,)cico 13366  βˆžMetcxmet 21271  Filcfil 23769  CauFilccfil 25200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-xr 11290  df-xmet 21279  df-cfil 25203
This theorem is referenced by:  iscfil  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator