MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilfval 25142
Description: The set of Cauchy filters on a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilfval (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑓,𝑋   𝐷,𝑓,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem cfilfval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 6917 . . . 4 (∞Metβ€˜π‘‹) βŠ† βˆͺ ran ∞Met
21sseli 3973 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met)
3 dmeq 5896 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 5898 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
54fveq2d 6888 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (Filβ€˜dom dom 𝑑) = (Filβ€˜dom dom 𝐷))
6 imaeq1 6047 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) = (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)))
76sseq1d 4008 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
87rexbidv 3172 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
98ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
105, 9rabeqbidv 3443 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
11 df-cfil 25133 . . . 4 CauFil = (𝑑 ∈ βˆͺ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝑑) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝑑 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
12 fvex 6897 . . . . 5 (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∈ V
1312rabex 5325 . . . 4 {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} ∈ V
1410, 11, 13fvmpt 6991 . . 3 (𝐷 ∈ βˆͺ ran ∞Met β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
152, 14syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
16 xmetdmdm 24191 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
1716fveq2d 6888 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Filβ€˜π‘‹) = (Filβ€˜dom dom 𝐷))
1817rabeqdv 3441 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)} = {𝑓 ∈ (Filβ€˜dom dom 𝐷) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
1915, 18eqtr4d 2769 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (CauFilβ€˜π·) = {𝑓 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑓 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  β„+crp 12977  [,)cico 13329  βˆžMetcxmet 21220  Filcfil 23699  CauFilccfil 25130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-xr 11253  df-xmet 21228  df-cfil 25133
This theorem is referenced by:  iscfil  25143
  Copyright terms: Public domain W3C validator