Theorem metxmet 24448

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24447	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   × cxp 5649  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  ∞Metcxmet 21464  Metcmet 21465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-mulcl 11150  ax-i2m1 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-xadd 13126  df-xmet 21472  df-met 21473

This theorem is referenced by:  metdmdm  24450  meteq0  24453  mettri2  24455  met0  24457  metge0  24459  metsym  24464  metrtri  24471  metgt0  24473  metres2  24477  prdsmet  24484  imasf1omet  24490  blpnf  24511  bl2in  24514  isms2  24564  setsms  24594  tmsms  24601  metss2lem  24625  metss2  24626  methaus  24634  dscopn  24687  ngpocelbl  24818  cnxmet  24886  rexmet  24905  metdcn2  24954  metdsre  24968  metdscn2  24972  lebnumlem1  25077  lebnumlem2  25078  lebnumlem3  25079  lebnum  25080  xlebnum  25081  cmetcaulem  25404  cmetcau  25405  iscmet3lem1  25407  iscmet3lem2  25408  iscmet3  25409  equivcfil  25415  equivcau  25416  metsscmetcld  25431  cmetss  25432  relcmpcmet  25434  cmpcmet  25435  cncmet  25438  bcthlem2  25441  bcthlem3  25442  bcthlem4  25443  bcthlem5  25444  bcth2  25446  bcth3  25447  cmetcusp1  25469  cmetcusp  25470  minveclem3  25545  imsxmet  30949  blocni  31062  ubthlem1  31127  ubthlem2  31128  minvecolem4a  31134  hhxmet  31432  hilxmet  31452  fmcncfil  34233  blssp  38262  lmclim2  38264  geomcau  38265  caures  38266  caushft  38267  sstotbnd2  38280  equivtotbnd  38284  isbndx  38288  isbnd3  38290  ssbnd  38294  totbndbnd  38295  prdstotbnd  38300  prdsbnd2  38301  heibor1lem  38315  heibor1  38316  heiborlem3  38319  heiborlem6  38322  heiborlem8  38324  heiborlem9  38325  heiborlem10  38326  heibor  38327  bfplem1  38328  bfplem2  38329  rrncmslem  38338  ismrer1  38344  reheibor  38345  metpsmet  45668  qndenserrnbllem  46867  qndenserrnbl  46868  qndenserrnopnlem  46870  rrndsxmet  46876  hoiqssbllem2  47196  hoiqssbl  47198  opnvonmbllem2  47206