Theorem metxmet 24686

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24685	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   × cxp 5654  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℝcr 11229  ∞Metcxmet 21696  Metcmet 21697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-mulcl 11292  ax-i2m1 11298

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-xadd 13272  df-xmet 21704  df-met 21705

This theorem is used by:  metdmdm  24688  meteq0  24691  mettri2  24693  met0  24695  metge0  24697  metsym  24702  metrtri  24709  metgt0  24711  metres2  24715  prdsmet  24722  imasf1omet  24728  blpnf  24749  bl2in  24752  isms2  24802  setsms  24832  tmsms  24839  metss2lem  24863  metss2  24864  methaus  24872  dscopn  24925  ngpocelbl  25056  cnxmet  25124  rexmet  25143  metdcn2  25192  metdsre  25206  metdscn2  25210  lebnumlem1  25315  lebnumlem2  25316  lebnumlem3  25317  lebnum  25318  xlebnum  25319  cmetcaulem  25642  cmetcau  25643  iscmet3lem1  25645  iscmet3lem2  25646  iscmet3  25647  equivcfil  25653  equivcau  25654  metsscmetcld  25669  cmetss  25670  relcmpcmet  25672  cmpcmet  25673  cncmet  25676  bcthlem2  25679  bcthlem3  25680  bcthlem4  25681  bcthlem5  25682  bcth2  25684  bcth3  25685  cmetcusp1  25707  cmetcusp  25708  minveclem3  25783  imsxmet  31327  blocni  31440  ubthlem1  31505  ubthlem2  31506  minvecolem4a  31512  hhxmet  31810  hilxmet  31830  fmcncfil  34646  blssp  38893  lmclim2  38895  geomcau  38896  caures  38897  caushft  38898  sstotbnd2  38911  equivtotbnd  38915  isbndx  38919  isbnd3  38921  ssbnd  38925  totbndbnd  38926  prdstotbnd  38931  prdsbnd2  38932  heibor1lem  38946  heibor1  38947  heiborlem3  38950  heiborlem6  38953  heiborlem8  38955  heiborlem9  38956  heiborlem10  38957  heibor  38958  bfplem1  38959  bfplem2  38960  rrncmslem  38969  ismrer1  38975  reheibor  38976  metpsmet  46321  qndenserrnbllem  47519  qndenserrnbl  47520  qndenserrnopnlem  47522  rrndsxmet  47528  hoiqssbllem2  47848  hoiqssbl  47850  opnvonmbllem2  47858