Theorem metxmet 24299

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24298	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  ∞Metcxmet 21337  Metcmet 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-xadd 13064  df-xmet 21345  df-met 21346

This theorem is referenced by:  metdmdm  24301  meteq0  24304  mettri2  24306  met0  24308  metge0  24310  metsym  24315  metrtri  24322  metgt0  24324  metres2  24328  prdsmet  24335  imasf1omet  24341  blpnf  24362  bl2in  24365  isms2  24415  setsms  24445  tmsms  24452  metss2lem  24476  metss2  24477  methaus  24485  dscopn  24538  ngpocelbl  24669  cnxmet  24737  rexmet  24756  metdcn2  24805  metdsre  24819  metdscn2  24823  lebnumlem1  24928  lebnumlem2  24929  lebnumlem3  24930  lebnum  24931  xlebnum  24932  cmetcaulem  25255  cmetcau  25256  iscmet3lem1  25258  iscmet3lem2  25259  iscmet3  25260  equivcfil  25266  equivcau  25267  metsscmetcld  25282  cmetss  25283  relcmpcmet  25285  cmpcmet  25286  cncmet  25289  bcthlem2  25292  bcthlem3  25293  bcthlem4  25294  bcthlem5  25295  bcth2  25297  bcth3  25298  cmetcusp1  25320  cmetcusp  25321  minveclem3  25396  imsxmet  30763  blocni  30876  ubthlem1  30941  ubthlem2  30942  minvecolem4a  30948  hhxmet  31246  hilxmet  31266  fmcncfil  34075  blssp  38077  lmclim2  38079  geomcau  38080  caures  38081  caushft  38082  sstotbnd2  38095  equivtotbnd  38099  isbndx  38103  isbnd3  38105  ssbnd  38109  totbndbnd  38110  prdstotbnd  38115  prdsbnd2  38116  heibor1lem  38130  heibor1  38131  heiborlem3  38134  heiborlem6  38137  heiborlem8  38139  heiborlem9  38140  heiborlem10  38141  heibor  38142  bfplem1  38143  bfplem2  38144  rrncmslem  38153  ismrer1  38159  reheibor  38160  metpsmet  45521  qndenserrnbllem  46722  qndenserrnbl  46723  qndenserrnopnlem  46725  rrndsxmet  46731  hoiqssbllem2  47051  hoiqssbl  47053  opnvonmbllem2  47061