Theorem metxmet 24309

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24308	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  ∞Metcxmet 21329  Metcmet 21330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-mulcl 11091  ax-i2m1 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-xadd 13055  df-xmet 21337  df-met 21338

This theorem is referenced by:  metdmdm  24311  meteq0  24314  mettri2  24316  met0  24318  metge0  24320  metsym  24325  metrtri  24332  metgt0  24334  metres2  24338  prdsmet  24345  imasf1omet  24351  blpnf  24372  bl2in  24375  isms2  24425  setsms  24455  tmsms  24462  metss2lem  24486  metss2  24487  methaus  24495  dscopn  24548  ngpocelbl  24679  cnxmet  24747  rexmet  24766  metdcn2  24815  metdsre  24829  metdscn2  24833  lebnumlem1  24938  lebnumlem2  24939  lebnumlem3  24940  lebnum  24941  xlebnum  24942  cmetcaulem  25265  cmetcau  25266  iscmet3lem1  25268  iscmet3lem2  25269  iscmet3  25270  equivcfil  25276  equivcau  25277  metsscmetcld  25292  cmetss  25293  relcmpcmet  25295  cmpcmet  25296  cncmet  25299  bcthlem2  25302  bcthlem3  25303  bcthlem4  25304  bcthlem5  25305  bcth2  25307  bcth3  25308  cmetcusp1  25330  cmetcusp  25331  minveclem3  25406  imsxmet  30778  blocni  30891  ubthlem1  30956  ubthlem2  30957  minvecolem4a  30963  hhxmet  31261  hilxmet  31281  fmcncfil  34091  blssp  38091  lmclim2  38093  geomcau  38094  caures  38095  caushft  38096  sstotbnd2  38109  equivtotbnd  38113  isbndx  38117  isbnd3  38119  ssbnd  38123  totbndbnd  38124  prdstotbnd  38129  prdsbnd2  38130  heibor1lem  38144  heibor1  38145  heiborlem3  38148  heiborlem6  38151  heiborlem8  38153  heiborlem9  38154  heiborlem10  38155  heibor  38156  bfplem1  38157  bfplem2  38158  rrncmslem  38167  ismrer1  38173  reheibor  38174  metpsmet  45539  qndenserrnbllem  46740  qndenserrnbl  46741  qndenserrnopnlem  46743  rrndsxmet  46749  hoiqssbllem2  47069  hoiqssbl  47071  opnvonmbllem2  47079