Theorem metxmet 24278

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24277	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ℝcr 11025  ∞Metcxmet 21294  Metcmet 21295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-xadd 13027  df-xmet 21302  df-met 21303

This theorem is referenced by:  metdmdm  24280  meteq0  24283  mettri2  24285  met0  24287  metge0  24289  metsym  24294  metrtri  24301  metgt0  24303  metres2  24307  prdsmet  24314  imasf1omet  24320  blpnf  24341  bl2in  24344  isms2  24394  setsms  24424  tmsms  24431  metss2lem  24455  metss2  24456  methaus  24464  dscopn  24517  ngpocelbl  24648  cnxmet  24716  rexmet  24735  metdcn2  24784  metdsre  24798  metdscn2  24802  lebnumlem1  24916  lebnumlem2  24917  lebnumlem3  24918  lebnum  24919  xlebnum  24920  cmetcaulem  25244  cmetcau  25245  iscmet3lem1  25247  iscmet3lem2  25248  iscmet3  25249  equivcfil  25255  equivcau  25256  metsscmetcld  25271  cmetss  25272  relcmpcmet  25274  cmpcmet  25275  cncmet  25278  bcthlem2  25281  bcthlem3  25282  bcthlem4  25283  bcthlem5  25284  bcth2  25286  bcth3  25287  cmetcusp1  25309  cmetcusp  25310  minveclem3  25385  imsxmet  30767  blocni  30880  ubthlem1  30945  ubthlem2  30946  minvecolem4a  30952  hhxmet  31250  hilxmet  31270  fmcncfil  34088  blssp  37957  lmclim2  37959  geomcau  37960  caures  37961  caushft  37962  sstotbnd2  37975  equivtotbnd  37979  isbndx  37983  isbnd3  37985  ssbnd  37989  totbndbnd  37990  prdstotbnd  37995  prdsbnd2  37996  heibor1lem  38010  heibor1  38011  heiborlem3  38014  heiborlem6  38017  heiborlem8  38019  heiborlem9  38020  heiborlem10  38021  heibor  38022  bfplem1  38023  bfplem2  38024  rrncmslem  38033  ismrer1  38039  reheibor  38040  metpsmet  45335  qndenserrnbllem  46538  qndenserrnbl  46539  qndenserrnopnlem  46541  rrndsxmet  46547  hoiqssbllem2  46867  hoiqssbl  46869  opnvonmbllem2  46877