MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metxmet 22919
Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metxmet (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet
StepHypRef Expression
1 ismet2 22918 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
21simplbi 501 1 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   × cxp 5526  wf 6324  cfv 6328  cr 10513  ∞Metcxmet 20505  Metcmet 20506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-mulcl 10576  ax-i2m1 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-xadd 12486  df-xmet 20513  df-met 20514
This theorem is referenced by:  metdmdm  22921  meteq0  22924  mettri2  22926  met0  22928  metge0  22930  metsym  22935  metrtri  22942  metgt0  22944  metres2  22948  prdsmet  22955  imasf1omet  22961  blpnf  22982  bl2in  22985  isms2  23035  setsms  23065  tmsms  23072  metss2lem  23096  metss2  23097  methaus  23105  dscopn  23158  ngpocelbl  23288  cnxmet  23356  rexmet  23374  metdcn2  23422  metdsre  23436  metdscn2  23440  lebnumlem1  23544  lebnumlem2  23545  lebnumlem3  23546  lebnum  23547  xlebnum  23548  cmetcaulem  23870  cmetcau  23871  iscmet3lem1  23873  iscmet3lem2  23874  iscmet3  23875  equivcfil  23881  equivcau  23882  metsscmetcld  23897  cmetss  23898  relcmpcmet  23900  cmpcmet  23901  cncmet  23904  bcthlem2  23907  bcthlem3  23908  bcthlem4  23909  bcthlem5  23910  bcth2  23912  bcth3  23913  cmetcusp1  23935  cmetcusp  23936  minveclem3  24011  imsxmet  28453  blocni  28566  ubthlem1  28631  ubthlem2  28632  minvecolem4a  28638  hhxmet  28936  hilxmet  28956  fmcncfil  31181  blssp  35072  lmclim2  35074  geomcau  35075  caures  35076  caushft  35077  sstotbnd2  35090  equivtotbnd  35094  isbndx  35098  isbnd3  35100  ssbnd  35104  totbndbnd  35105  prdstotbnd  35110  prdsbnd2  35111  heibor1lem  35125  heibor1  35126  heiborlem3  35129  heiborlem6  35132  heiborlem8  35134  heiborlem9  35135  heiborlem10  35136  heibor  35137  bfplem1  35138  bfplem2  35139  rrncmslem  35148  ismrer1  35154  reheibor  35155  metpsmet  41512  qndenserrnbllem  42727  qndenserrnbl  42728  qndenserrnopnlem  42730  rrndsxmet  42736  hoiqssbllem2  43053  hoiqssbl  43055  opnvonmbllem2  43063
  Copyright terms: Public domain W3C validator