Theorem metxmet 24222

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24221	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  ∞Metcxmet 21249  Metcmet 21250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-xadd 13073  df-xmet 21257  df-met 21258

This theorem is referenced by:  metdmdm  24224  meteq0  24227  mettri2  24229  met0  24231  metge0  24233  metsym  24238  metrtri  24245  metgt0  24247  metres2  24251  prdsmet  24258  imasf1omet  24264  blpnf  24285  bl2in  24288  isms2  24338  setsms  24368  tmsms  24375  metss2lem  24399  metss2  24400  methaus  24408  dscopn  24461  ngpocelbl  24592  cnxmet  24660  rexmet  24679  metdcn2  24728  metdsre  24742  metdscn2  24746  lebnumlem1  24860  lebnumlem2  24861  lebnumlem3  24862  lebnum  24863  xlebnum  24864  cmetcaulem  25188  cmetcau  25189  iscmet3lem1  25191  iscmet3lem2  25192  iscmet3  25193  equivcfil  25199  equivcau  25200  metsscmetcld  25215  cmetss  25216  relcmpcmet  25218  cmpcmet  25219  cncmet  25222  bcthlem2  25225  bcthlem3  25226  bcthlem4  25227  bcthlem5  25228  bcth2  25230  bcth3  25231  cmetcusp1  25253  cmetcusp  25254  minveclem3  25329  imsxmet  30621  blocni  30734  ubthlem1  30799  ubthlem2  30800  minvecolem4a  30806  hhxmet  31104  hilxmet  31124  fmcncfil  33921  blssp  37750  lmclim2  37752  geomcau  37753  caures  37754  caushft  37755  sstotbnd2  37768  equivtotbnd  37772  isbndx  37776  isbnd3  37778  ssbnd  37782  totbndbnd  37783  prdstotbnd  37788  prdsbnd2  37789  heibor1lem  37803  heibor1  37804  heiborlem3  37807  heiborlem6  37810  heiborlem8  37812  heiborlem9  37813  heiborlem10  37814  heibor  37815  bfplem1  37816  bfplem2  37817  rrncmslem  37826  ismrer1  37832  reheibor  37833  metpsmet  45085  qndenserrnbllem  46292  qndenserrnbl  46293  qndenserrnopnlem  46295  rrndsxmet  46301  hoiqssbllem2  46621  hoiqssbl  46623  opnvonmbllem2  46631