Theorem metxmet 24220

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24219	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  ∞Metcxmet 21246  Metcmet 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-mulcl 11071  ax-i2m1 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-xadd 13015  df-xmet 21254  df-met 21255

This theorem is referenced by:  metdmdm  24222  meteq0  24225  mettri2  24227  met0  24229  metge0  24231  metsym  24236  metrtri  24243  metgt0  24245  metres2  24249  prdsmet  24256  imasf1omet  24262  blpnf  24283  bl2in  24286  isms2  24336  setsms  24366  tmsms  24373  metss2lem  24397  metss2  24398  methaus  24406  dscopn  24459  ngpocelbl  24590  cnxmet  24658  rexmet  24677  metdcn2  24726  metdsre  24740  metdscn2  24744  lebnumlem1  24858  lebnumlem2  24859  lebnumlem3  24860  lebnum  24861  xlebnum  24862  cmetcaulem  25186  cmetcau  25187  iscmet3lem1  25189  iscmet3lem2  25190  iscmet3  25191  equivcfil  25197  equivcau  25198  metsscmetcld  25213  cmetss  25214  relcmpcmet  25216  cmpcmet  25217  cncmet  25220  bcthlem2  25223  bcthlem3  25224  bcthlem4  25225  bcthlem5  25226  bcth2  25228  bcth3  25229  cmetcusp1  25251  cmetcusp  25252  minveclem3  25327  imsxmet  30640  blocni  30753  ubthlem1  30818  ubthlem2  30819  minvecolem4a  30825  hhxmet  31123  hilxmet  31143  fmcncfil  33914  blssp  37756  lmclim2  37758  geomcau  37759  caures  37760  caushft  37761  sstotbnd2  37774  equivtotbnd  37778  isbndx  37782  isbnd3  37784  ssbnd  37788  totbndbnd  37789  prdstotbnd  37794  prdsbnd2  37795  heibor1lem  37809  heibor1  37810  heiborlem3  37813  heiborlem6  37816  heiborlem8  37818  heiborlem9  37819  heiborlem10  37820  heibor  37821  bfplem1  37822  bfplem2  37823  rrncmslem  37832  ismrer1  37838  reheibor  37839  metpsmet  45089  qndenserrnbllem  46295  qndenserrnbl  46296  qndenserrnopnlem  46298  rrndsxmet  46304  hoiqssbllem2  46624  hoiqssbl  46626  opnvonmbllem2  46634