MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metxmet 23703
Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metxmet (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem metxmet
StepHypRef Expression
1 ismet2 23702 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„))
21simplbi 499 1 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2107   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-mulcl 11118  ax-i2m1 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-xadd 13039  df-xmet 20805  df-met 20806
This theorem is referenced by:  metdmdm  23705  meteq0  23708  mettri2  23710  met0  23712  metge0  23714  metsym  23719  metrtri  23726  metgt0  23728  metres2  23732  prdsmet  23739  imasf1omet  23745  blpnf  23766  bl2in  23769  isms2  23819  setsms  23851  tmsms  23859  metss2lem  23883  metss2  23884  methaus  23892  dscopn  23945  ngpocelbl  24084  cnxmet  24152  rexmet  24170  metdcn2  24218  metdsre  24232  metdscn2  24236  lebnumlem1  24340  lebnumlem2  24341  lebnumlem3  24342  lebnum  24343  xlebnum  24344  cmetcaulem  24668  cmetcau  24669  iscmet3lem1  24671  iscmet3lem2  24672  iscmet3  24673  equivcfil  24679  equivcau  24680  metsscmetcld  24695  cmetss  24696  relcmpcmet  24698  cmpcmet  24699  cncmet  24702  bcthlem2  24705  bcthlem3  24706  bcthlem4  24707  bcthlem5  24708  bcth2  24710  bcth3  24711  cmetcusp1  24733  cmetcusp  24734  minveclem3  24809  imsxmet  29676  blocni  29789  ubthlem1  29854  ubthlem2  29855  minvecolem4a  29861  hhxmet  30159  hilxmet  30179  fmcncfil  32569  blssp  36261  lmclim2  36263  geomcau  36264  caures  36265  caushft  36266  sstotbnd2  36279  equivtotbnd  36283  isbndx  36287  isbnd3  36289  ssbnd  36293  totbndbnd  36294  prdstotbnd  36299  prdsbnd2  36300  heibor1lem  36314  heibor1  36315  heiborlem3  36318  heiborlem6  36321  heiborlem8  36323  heiborlem9  36324  heiborlem10  36325  heibor  36326  bfplem1  36327  bfplem2  36328  rrncmslem  36337  ismrer1  36343  reheibor  36344  metpsmet  43389  qndenserrnbllem  44621  qndenserrnbl  44622  qndenserrnopnlem  44624  rrndsxmet  44630  hoiqssbllem2  44950  hoiqssbl  44952  opnvonmbllem2  44960
  Copyright terms: Public domain W3C validator