Theorem metxmet 24271

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24270	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   × cxp 5652  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  ℝcr 11126  ∞Metcxmet 21298  Metcmet 21299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-mulcl 11189  ax-i2m1 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-xadd 13127  df-xmet 21306  df-met 21307

This theorem is referenced by:  metdmdm  24273  meteq0  24276  mettri2  24278  met0  24280  metge0  24282  metsym  24287  metrtri  24294  metgt0  24296  metres2  24300  prdsmet  24307  imasf1omet  24313  blpnf  24334  bl2in  24337  isms2  24387  setsms  24417  tmsms  24424  metss2lem  24448  metss2  24449  methaus  24457  dscopn  24510  ngpocelbl  24641  cnxmet  24709  rexmet  24728  metdcn2  24777  metdsre  24791  metdscn2  24795  lebnumlem1  24909  lebnumlem2  24910  lebnumlem3  24911  lebnum  24912  xlebnum  24913  cmetcaulem  25238  cmetcau  25239  iscmet3lem1  25241  iscmet3lem2  25242  iscmet3  25243  equivcfil  25249  equivcau  25250  metsscmetcld  25265  cmetss  25266  relcmpcmet  25268  cmpcmet  25269  cncmet  25272  bcthlem2  25275  bcthlem3  25276  bcthlem4  25277  bcthlem5  25278  bcth2  25280  bcth3  25281  cmetcusp1  25303  cmetcusp  25304  minveclem3  25379  imsxmet  30619  blocni  30732  ubthlem1  30797  ubthlem2  30798  minvecolem4a  30804  hhxmet  31102  hilxmet  31122  fmcncfil  33908  blssp  37726  lmclim2  37728  geomcau  37729  caures  37730  caushft  37731  sstotbnd2  37744  equivtotbnd  37748  isbndx  37752  isbnd3  37754  ssbnd  37758  totbndbnd  37759  prdstotbnd  37764  prdsbnd2  37765  heibor1lem  37779  heibor1  37780  heiborlem3  37783  heiborlem6  37786  heiborlem8  37788  heiborlem9  37789  heiborlem10  37790  heibor  37791  bfplem1  37792  bfplem2  37793  rrncmslem  37802  ismrer1  37808  reheibor  37809  metpsmet  45063  qndenserrnbllem  46271  qndenserrnbl  46272  qndenserrnopnlem  46274  rrndsxmet  46280  hoiqssbllem2  46600  hoiqssbl  46602  opnvonmbllem2  46610