Theorem metxmet 24229

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24228	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  ∞Metcxmet 21256  Metcmet 21257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-xadd 13080  df-xmet 21264  df-met 21265

This theorem is referenced by:  metdmdm  24231  meteq0  24234  mettri2  24236  met0  24238  metge0  24240  metsym  24245  metrtri  24252  metgt0  24254  metres2  24258  prdsmet  24265  imasf1omet  24271  blpnf  24292  bl2in  24295  isms2  24345  setsms  24375  tmsms  24382  metss2lem  24406  metss2  24407  methaus  24415  dscopn  24468  ngpocelbl  24599  cnxmet  24667  rexmet  24686  metdcn2  24735  metdsre  24749  metdscn2  24753  lebnumlem1  24867  lebnumlem2  24868  lebnumlem3  24869  lebnum  24870  xlebnum  24871  cmetcaulem  25195  cmetcau  25196  iscmet3lem1  25198  iscmet3lem2  25199  iscmet3  25200  equivcfil  25206  equivcau  25207  metsscmetcld  25222  cmetss  25223  relcmpcmet  25225  cmpcmet  25226  cncmet  25229  bcthlem2  25232  bcthlem3  25233  bcthlem4  25234  bcthlem5  25235  bcth2  25237  bcth3  25238  cmetcusp1  25260  cmetcusp  25261  minveclem3  25336  imsxmet  30628  blocni  30741  ubthlem1  30806  ubthlem2  30807  minvecolem4a  30813  hhxmet  31111  hilxmet  31131  fmcncfil  33928  blssp  37757  lmclim2  37759  geomcau  37760  caures  37761  caushft  37762  sstotbnd2  37775  equivtotbnd  37779  isbndx  37783  isbnd3  37785  ssbnd  37789  totbndbnd  37790  prdstotbnd  37795  prdsbnd2  37796  heibor1lem  37810  heibor1  37811  heiborlem3  37814  heiborlem6  37817  heiborlem8  37819  heiborlem9  37820  heiborlem10  37821  heibor  37822  bfplem1  37823  bfplem2  37824  rrncmslem  37833  ismrer1  37839  reheibor  37840  metpsmet  45092  qndenserrnbllem  46299  qndenserrnbl  46300  qndenserrnopnlem  46302  rrndsxmet  46308  hoiqssbllem2  46628  hoiqssbl  46630  opnvonmbllem2  46638