Theorem metxmet 23487

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 23486	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 498	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  ℝcr 10870  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-mulcl 10933  ax-i2m1 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-xadd 12849  df-xmet 20590  df-met 20591

This theorem is referenced by:  metdmdm  23489  meteq0  23492  mettri2  23494  met0  23496  metge0  23498  metsym  23503  metrtri  23510  metgt0  23512  metres2  23516  prdsmet  23523  imasf1omet  23529  blpnf  23550  bl2in  23553  isms2  23603  setsms  23635  tmsms  23643  metss2lem  23667  metss2  23668  methaus  23676  dscopn  23729  ngpocelbl  23868  cnxmet  23936  rexmet  23954  metdcn2  24002  metdsre  24016  metdscn2  24020  lebnumlem1  24124  lebnumlem2  24125  lebnumlem3  24126  lebnum  24127  xlebnum  24128  cmetcaulem  24452  cmetcau  24453  iscmet3lem1  24455  iscmet3lem2  24456  iscmet3  24457  equivcfil  24463  equivcau  24464  metsscmetcld  24479  cmetss  24480  relcmpcmet  24482  cmpcmet  24483  cncmet  24486  bcthlem2  24489  bcthlem3  24490  bcthlem4  24491  bcthlem5  24492  bcth2  24494  bcth3  24495  cmetcusp1  24517  cmetcusp  24518  minveclem3  24593  imsxmet  29054  blocni  29167  ubthlem1  29232  ubthlem2  29233  minvecolem4a  29239  hhxmet  29537  hilxmet  29557  fmcncfil  31881  blssp  35914  lmclim2  35916  geomcau  35917  caures  35918  caushft  35919  sstotbnd2  35932  equivtotbnd  35936  isbndx  35940  isbnd3  35942  ssbnd  35946  totbndbnd  35947  prdstotbnd  35952  prdsbnd2  35953  heibor1lem  35967  heibor1  35968  heiborlem3  35971  heiborlem6  35974  heiborlem8  35976  heiborlem9  35977  heiborlem10  35978  heibor  35979  bfplem1  35980  bfplem2  35981  rrncmslem  35990  ismrer1  35996  reheibor  35997  metpsmet  42641  qndenserrnbllem  43835  qndenserrnbl  43836  qndenserrnopnlem  43838  rrndsxmet  43844  hoiqssbllem2  44161  hoiqssbl  44163  opnvonmbllem2  44171