Theorem metxmet 22467

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 22466	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 492	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157   × cxp 5310  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  ℝcr 10223  ∞Metcxmet 20053  Metcmet 20054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-mulcl 10286  ax-i2m1 10292

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-xadd 12194  df-xmet 20061  df-met 20062

This theorem is referenced by:  metdmdm  22469  meteq0  22472  mettri2  22474  met0  22476  metge0  22478  metsym  22483  metrtri  22490  metgt0  22492  metres2  22496  prdsmet  22503  imasf1omet  22509  blpnf  22530  bl2in  22533  isms2  22583  setsms  22613  tmsms  22620  metss2lem  22644  metss2  22645  methaus  22653  dscopn  22706  ngpocelbl  22836  cnxmet  22904  rexmet  22922  metdcn2  22970  metdsre  22984  metdscn2  22988  lebnumlem1  23088  lebnumlem2  23089  lebnumlem3  23090  lebnum  23091  xlebnum  23092  cmetcaulem  23414  cmetcau  23415  iscmet3lem1  23417  iscmet3lem2  23418  iscmet3  23419  equivcfil  23425  equivcau  23426  metsscmetcld  23441  cmetss  23442  relcmpcmet  23444  cmpcmet  23445  cncmet  23448  bcthlem2  23451  bcthlem3  23452  bcthlem4  23453  bcthlem5  23454  bcth2  23456  bcth3  23457  cmetcusp1  23479  cmetcusp  23480  minveclem3  23539  imsxmet  28072  blocni  28185  ubthlem1  28251  ubthlem2  28252  minvecolem4a  28258  hhxmet  28557  hilxmet  28577  fmcncfil  30493  blssp  34039  lmclim2  34041  geomcau  34042  caures  34043  caushft  34044  sstotbnd2  34060  equivtotbnd  34064  isbndx  34068  isbnd3  34070  ssbnd  34074  totbndbnd  34075  prdstotbnd  34080  prdsbnd2  34081  heibor1lem  34095  heibor1  34096  heiborlem3  34099  heiborlem6  34102  heiborlem8  34104  heiborlem9  34105  heiborlem10  34106  heibor  34107  bfplem1  34108  bfplem2  34109  rrncmslem  34118  ismrer1  34124  reheibor  34125  metpsmet  40027  qndenserrnbllem  41257  qndenserrnbl  41258  qndenserrnopnlem  41260  rrndsxmet  41266  hoiqssbllem2  41583  hoiqssbl  41585  opnvonmbllem2  41593