Theorem metxmet 24528

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24527	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  ∞Metcxmet 21544  Metcmet 21545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-mulcl 11180  ax-i2m1 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-xadd 13156  df-xmet 21552  df-met 21553

This theorem is used by:  metdmdm  24530  meteq0  24533  mettri2  24535  met0  24537  metge0  24539  metsym  24544  metrtri  24551  metgt0  24553  metres2  24557  prdsmet  24564  imasf1omet  24570  blpnf  24591  bl2in  24594  isms2  24644  setsms  24674  tmsms  24681  metss2lem  24705  metss2  24706  methaus  24714  dscopn  24767  ngpocelbl  24898  cnxmet  24966  rexmet  24985  metdcn2  25034  metdsre  25048  metdscn2  25052  lebnumlem1  25157  lebnumlem2  25158  lebnumlem3  25159  lebnum  25160  xlebnum  25161  cmetcaulem  25484  cmetcau  25485  iscmet3lem1  25487  iscmet3lem2  25488  iscmet3  25489  equivcfil  25495  equivcau  25496  metsscmetcld  25511  cmetss  25512  relcmpcmet  25514  cmpcmet  25515  cncmet  25518  bcthlem2  25521  bcthlem3  25522  bcthlem4  25523  bcthlem5  25524  bcth2  25526  bcth3  25527  cmetcusp1  25549  cmetcusp  25550  minveclem3  25625  imsxmet  31081  blocni  31194  ubthlem1  31259  ubthlem2  31260  minvecolem4a  31266  hhxmet  31564  hilxmet  31584  fmcncfil  34352  blssp  38448  lmclim2  38450  geomcau  38451  caures  38452  caushft  38453  sstotbnd2  38466  equivtotbnd  38470  isbndx  38474  isbnd3  38476  ssbnd  38480  totbndbnd  38481  prdstotbnd  38486  prdsbnd2  38487  heibor1lem  38501  heibor1  38502  heiborlem3  38505  heiborlem6  38508  heiborlem8  38510  heiborlem9  38511  heiborlem10  38512  heibor  38513  bfplem1  38514  bfplem2  38515  rrncmslem  38524  ismrer1  38530  reheibor  38531  metpsmet  45850  qndenserrnbllem  47049  qndenserrnbl  47050  qndenserrnopnlem  47052  rrndsxmet  47058  hoiqssbllem2  47378  hoiqssbl  47380  opnvonmbllem2  47388