Theorem metxmet 23724

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 23723	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 498	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   × cxp 5636  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  ℝcr 11059  ∞Metcxmet 20818  Metcmet 20819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-mulcl 11122  ax-i2m1 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-xadd 13043  df-xmet 20826  df-met 20827

This theorem is referenced by:  metdmdm  23726  meteq0  23729  mettri2  23731  met0  23733  metge0  23735  metsym  23740  metrtri  23747  metgt0  23749  metres2  23753  prdsmet  23760  imasf1omet  23766  blpnf  23787  bl2in  23790  isms2  23840  setsms  23872  tmsms  23880  metss2lem  23904  metss2  23905  methaus  23913  dscopn  23966  ngpocelbl  24105  cnxmet  24173  rexmet  24191  metdcn2  24239  metdsre  24253  metdscn2  24257  lebnumlem1  24361  lebnumlem2  24362  lebnumlem3  24363  lebnum  24364  xlebnum  24365  cmetcaulem  24689  cmetcau  24690  iscmet3lem1  24692  iscmet3lem2  24693  iscmet3  24694  equivcfil  24700  equivcau  24701  metsscmetcld  24716  cmetss  24717  relcmpcmet  24719  cmpcmet  24720  cncmet  24723  bcthlem2  24726  bcthlem3  24727  bcthlem4  24728  bcthlem5  24729  bcth2  24731  bcth3  24732  cmetcusp1  24754  cmetcusp  24755  minveclem3  24830  imsxmet  29697  blocni  29810  ubthlem1  29875  ubthlem2  29876  minvecolem4a  29882  hhxmet  30180  hilxmet  30200  fmcncfil  32601  blssp  36288  lmclim2  36290  geomcau  36291  caures  36292  caushft  36293  sstotbnd2  36306  equivtotbnd  36310  isbndx  36314  isbnd3  36316  ssbnd  36320  totbndbnd  36321  prdstotbnd  36326  prdsbnd2  36327  heibor1lem  36341  heibor1  36342  heiborlem3  36345  heiborlem6  36348  heiborlem8  36350  heiborlem9  36351  heiborlem10  36352  heibor  36353  bfplem1  36354  bfplem2  36355  rrncmslem  36364  ismrer1  36370  reheibor  36371  metpsmet  43423  qndenserrnbllem  44655  qndenserrnbl  44656  qndenserrnopnlem  44658  rrndsxmet  44664  hoiqssbllem2  44984  hoiqssbl  44986  opnvonmbllem2  44994