Theorem metxmet 24659

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24658	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℝcr 11203  ∞Metcxmet 21669  Metcmet 21670

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-mulcl 11266  ax-i2m1 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-xadd 13246  df-xmet 21677  df-met 21678

This theorem is used by:  metdmdm  24661  meteq0  24664  mettri2  24666  met0  24668  metge0  24670  metsym  24675  metrtri  24682  metgt0  24684  metres2  24688  prdsmet  24695  imasf1omet  24701  blpnf  24722  bl2in  24725  isms2  24775  setsms  24805  tmsms  24812  metss2lem  24836  metss2  24837  methaus  24845  dscopn  24898  ngpocelbl  25029  cnxmet  25097  rexmet  25116  metdcn2  25165  metdsre  25179  metdscn2  25183  lebnumlem1  25288  lebnumlem2  25289  lebnumlem3  25290  lebnum  25291  xlebnum  25292  cmetcaulem  25615  cmetcau  25616  iscmet3lem1  25618  iscmet3lem2  25619  iscmet3  25620  equivcfil  25626  equivcau  25627  metsscmetcld  25642  cmetss  25643  relcmpcmet  25645  cmpcmet  25646  cncmet  25649  bcthlem2  25652  bcthlem3  25653  bcthlem4  25654  bcthlem5  25655  bcth2  25657  bcth3  25658  cmetcusp1  25680  cmetcusp  25681  minveclem3  25756  imsxmet  31300  blocni  31413  ubthlem1  31478  ubthlem2  31479  minvecolem4a  31485  hhxmet  31783  hilxmet  31803  fmcncfil  34610  blssp  38784  lmclim2  38786  geomcau  38787  caures  38788  caushft  38789  sstotbnd2  38802  equivtotbnd  38806  isbndx  38810  isbnd3  38812  ssbnd  38816  totbndbnd  38817  prdstotbnd  38822  prdsbnd2  38823  heibor1lem  38837  heibor1  38838  heiborlem3  38841  heiborlem6  38844  heiborlem8  38846  heiborlem9  38847  heiborlem10  38848  heibor  38849  bfplem1  38850  bfplem2  38851  rrncmslem  38860  ismrer1  38866  reheibor  38867  metpsmet  46200  qndenserrnbllem  47398  qndenserrnbl  47399  qndenserrnopnlem  47401  rrndsxmet  47407  hoiqssbllem2  47727  hoiqssbl  47729  opnvonmbllem2  47737