Theorem metxmet 24290

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24289	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℝcr 11037  ∞Metcxmet 21306  Metcmet 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-xadd 13039  df-xmet 21314  df-met 21315

This theorem is referenced by:  metdmdm  24292  meteq0  24295  mettri2  24297  met0  24299  metge0  24301  metsym  24306  metrtri  24313  metgt0  24315  metres2  24319  prdsmet  24326  imasf1omet  24332  blpnf  24353  bl2in  24356  isms2  24406  setsms  24436  tmsms  24443  metss2lem  24467  metss2  24468  methaus  24476  dscopn  24529  ngpocelbl  24660  cnxmet  24728  rexmet  24747  metdcn2  24796  metdsre  24810  metdscn2  24814  lebnumlem1  24928  lebnumlem2  24929  lebnumlem3  24930  lebnum  24931  xlebnum  24932  cmetcaulem  25256  cmetcau  25257  iscmet3lem1  25259  iscmet3lem2  25260  iscmet3  25261  equivcfil  25267  equivcau  25268  metsscmetcld  25283  cmetss  25284  relcmpcmet  25286  cmpcmet  25287  cncmet  25290  bcthlem2  25293  bcthlem3  25294  bcthlem4  25295  bcthlem5  25296  bcth2  25298  bcth3  25299  cmetcusp1  25321  cmetcusp  25322  minveclem3  25397  imsxmet  30779  blocni  30892  ubthlem1  30957  ubthlem2  30958  minvecolem4a  30964  hhxmet  31262  hilxmet  31282  fmcncfil  34108  blssp  38004  lmclim2  38006  geomcau  38007  caures  38008  caushft  38009  sstotbnd2  38022  equivtotbnd  38026  isbndx  38030  isbnd3  38032  ssbnd  38036  totbndbnd  38037  prdstotbnd  38042  prdsbnd2  38043  heibor1lem  38057  heibor1  38058  heiborlem3  38061  heiborlem6  38064  heiborlem8  38066  heiborlem9  38067  heiborlem10  38068  heibor  38069  bfplem1  38070  bfplem2  38071  rrncmslem  38080  ismrer1  38086  reheibor  38087  metpsmet  45447  qndenserrnbllem  46649  qndenserrnbl  46650  qndenserrnopnlem  46652  rrndsxmet  46658  hoiqssbllem2  46978  hoiqssbl  46980  opnvonmbllem2  46988