Theorem metxmet 24566

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24565	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11127  ∞Metcxmet 21576  Metcmet 21577

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-mulcl 11190  ax-i2m1 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-xadd 13168  df-xmet 21584  df-met 21585

This theorem is used by:  metdmdm  24568  meteq0  24571  mettri2  24573  met0  24575  metge0  24577  metsym  24582  metrtri  24589  metgt0  24591  metres2  24595  prdsmet  24602  imasf1omet  24608  blpnf  24629  bl2in  24632  isms2  24682  setsms  24712  tmsms  24719  metss2lem  24743  metss2  24744  methaus  24752  dscopn  24805  ngpocelbl  24936  cnxmet  25004  rexmet  25023  metdcn2  25072  metdsre  25086  metdscn2  25090  lebnumlem1  25195  lebnumlem2  25196  lebnumlem3  25197  lebnum  25198  xlebnum  25199  cmetcaulem  25522  cmetcau  25523  iscmet3lem1  25525  iscmet3lem2  25526  iscmet3  25527  equivcfil  25533  equivcau  25534  metsscmetcld  25549  cmetss  25550  relcmpcmet  25552  cmpcmet  25553  cncmet  25556  bcthlem2  25559  bcthlem3  25560  bcthlem4  25561  bcthlem5  25562  bcth2  25564  bcth3  25565  cmetcusp1  25587  cmetcusp  25588  minveclem3  25663  imsxmet  31181  blocni  31294  ubthlem1  31359  ubthlem2  31360  minvecolem4a  31366  hhxmet  31664  hilxmet  31684  fmcncfil  34449  blssp  38514  lmclim2  38516  geomcau  38517  caures  38518  caushft  38519  sstotbnd2  38532  equivtotbnd  38536  isbndx  38540  isbnd3  38542  ssbnd  38546  totbndbnd  38547  prdstotbnd  38552  prdsbnd2  38553  heibor1lem  38567  heibor1  38568  heiborlem3  38571  heiborlem6  38574  heiborlem8  38576  heiborlem9  38577  heiborlem10  38578  heibor  38579  bfplem1  38580  bfplem2  38581  rrncmslem  38590  ismrer1  38596  reheibor  38597  metpsmet  45931  qndenserrnbllem  47130  qndenserrnbl  47131  qndenserrnopnlem  47133  rrndsxmet  47139  hoiqssbllem2  47459  hoiqssbl  47461  opnvonmbllem2  47469