Theorem metxmet 24252

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24251	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   × cxp 5619  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  ℝcr 11014  ∞Metcxmet 21280  Metcmet 21281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-mulcl 11077  ax-i2m1 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-xadd 13016  df-xmet 21288  df-met 21289

This theorem is referenced by:  metdmdm  24254  meteq0  24257  mettri2  24259  met0  24261  metge0  24263  metsym  24268  metrtri  24275  metgt0  24277  metres2  24281  prdsmet  24288  imasf1omet  24294  blpnf  24315  bl2in  24318  isms2  24368  setsms  24398  tmsms  24405  metss2lem  24429  metss2  24430  methaus  24438  dscopn  24491  ngpocelbl  24622  cnxmet  24690  rexmet  24709  metdcn2  24758  metdsre  24772  metdscn2  24776  lebnumlem1  24890  lebnumlem2  24891  lebnumlem3  24892  lebnum  24893  xlebnum  24894  cmetcaulem  25218  cmetcau  25219  iscmet3lem1  25221  iscmet3lem2  25222  iscmet3  25223  equivcfil  25229  equivcau  25230  metsscmetcld  25245  cmetss  25246  relcmpcmet  25248  cmpcmet  25249  cncmet  25252  bcthlem2  25255  bcthlem3  25256  bcthlem4  25257  bcthlem5  25258  bcth2  25260  bcth3  25261  cmetcusp1  25283  cmetcusp  25284  minveclem3  25359  imsxmet  30676  blocni  30789  ubthlem1  30854  ubthlem2  30855  minvecolem4a  30861  hhxmet  31159  hilxmet  31179  fmcncfil  33967  blssp  37819  lmclim2  37821  geomcau  37822  caures  37823  caushft  37824  sstotbnd2  37837  equivtotbnd  37841  isbndx  37845  isbnd3  37847  ssbnd  37851  totbndbnd  37852  prdstotbnd  37857  prdsbnd2  37858  heibor1lem  37872  heibor1  37873  heiborlem3  37876  heiborlem6  37879  heiborlem8  37881  heiborlem9  37882  heiborlem10  37883  heibor  37884  bfplem1  37885  bfplem2  37886  rrncmslem  37895  ismrer1  37901  reheibor  37902  metpsmet  45215  qndenserrnbllem  46419  qndenserrnbl  46420  qndenserrnopnlem  46422  rrndsxmet  46428  hoiqssbllem2  46748  hoiqssbl  46750  opnvonmbllem2  46758