Theorem metxmet 24365

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24364	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ℝcr 11183  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-xadd 13176  df-xmet 21380  df-met 21381

This theorem is referenced by:  metdmdm  24367  meteq0  24370  mettri2  24372  met0  24374  metge0  24376  metsym  24381  metrtri  24388  metgt0  24390  metres2  24394  prdsmet  24401  imasf1omet  24407  blpnf  24428  bl2in  24431  isms2  24481  setsms  24513  tmsms  24521  metss2lem  24545  metss2  24546  methaus  24554  dscopn  24607  ngpocelbl  24746  cnxmet  24814  rexmet  24832  metdcn2  24880  metdsre  24894  metdscn2  24898  lebnumlem1  25012  lebnumlem2  25013  lebnumlem3  25014  lebnum  25015  xlebnum  25016  cmetcaulem  25341  cmetcau  25342  iscmet3lem1  25344  iscmet3lem2  25345  iscmet3  25346  equivcfil  25352  equivcau  25353  metsscmetcld  25368  cmetss  25369  relcmpcmet  25371  cmpcmet  25372  cncmet  25375  bcthlem2  25378  bcthlem3  25379  bcthlem4  25380  bcthlem5  25381  bcth2  25383  bcth3  25384  cmetcusp1  25406  cmetcusp  25407  minveclem3  25482  imsxmet  30724  blocni  30837  ubthlem1  30902  ubthlem2  30903  minvecolem4a  30909  hhxmet  31207  hilxmet  31227  fmcncfil  33877  blssp  37716  lmclim2  37718  geomcau  37719  caures  37720  caushft  37721  sstotbnd2  37734  equivtotbnd  37738  isbndx  37742  isbnd3  37744  ssbnd  37748  totbndbnd  37749  prdstotbnd  37754  prdsbnd2  37755  heibor1lem  37769  heibor1  37770  heiborlem3  37773  heiborlem6  37776  heiborlem8  37778  heiborlem9  37779  heiborlem10  37780  heibor  37781  bfplem1  37782  bfplem2  37783  rrncmslem  37792  ismrer1  37798  reheibor  37799  metpsmet  44993  qndenserrnbllem  46215  qndenserrnbl  46216  qndenserrnopnlem  46218  rrndsxmet  46224  hoiqssbllem2  46544  hoiqssbl  46546  opnvonmbllem2  46554