Theorem metxmet 24459

Description: A metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metxmet	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Proof of Theorem metxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismet2 24458	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   × cxp 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11098  ∞Metcxmet 21475  Metcmet 21476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-mulcl 11161  ax-i2m1 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-xadd 13137  df-xmet 21483  df-met 21484

This theorem is referenced by:  metdmdm  24461  meteq0  24464  mettri2  24466  met0  24468  metge0  24470  metsym  24475  metrtri  24482  metgt0  24484  metres2  24488  prdsmet  24495  imasf1omet  24501  blpnf  24522  bl2in  24525  isms2  24575  setsms  24605  tmsms  24612  metss2lem  24636  metss2  24637  methaus  24645  dscopn  24698  ngpocelbl  24829  cnxmet  24897  rexmet  24916  metdcn2  24965  metdsre  24979  metdscn2  24983  lebnumlem1  25088  lebnumlem2  25089  lebnumlem3  25090  lebnum  25091  xlebnum  25092  cmetcaulem  25415  cmetcau  25416  iscmet3lem1  25418  iscmet3lem2  25419  iscmet3  25420  equivcfil  25426  equivcau  25427  metsscmetcld  25442  cmetss  25443  relcmpcmet  25445  cmpcmet  25446  cncmet  25449  bcthlem2  25452  bcthlem3  25453  bcthlem4  25454  bcthlem5  25455  bcth2  25457  bcth3  25458  cmetcusp1  25480  cmetcusp  25481  minveclem3  25556  imsxmet  30984  blocni  31097  ubthlem1  31162  ubthlem2  31163  minvecolem4a  31169  hhxmet  31467  hilxmet  31487  fmcncfil  34265  blssp  38294  lmclim2  38296  geomcau  38297  caures  38298  caushft  38299  sstotbnd2  38312  equivtotbnd  38316  isbndx  38320  isbnd3  38322  ssbnd  38326  totbndbnd  38327  prdstotbnd  38332  prdsbnd2  38333  heibor1lem  38347  heibor1  38348  heiborlem3  38351  heiborlem6  38354  heiborlem8  38356  heiborlem9  38357  heiborlem10  38358  heibor  38359  bfplem1  38360  bfplem2  38361  rrncmslem  38370  ismrer1  38376  reheibor  38377  metpsmet  45700  qndenserrnbllem  46899  qndenserrnbl  46900  qndenserrnopnlem  46902  rrndsxmet  46908  hoiqssbllem2  47228  hoiqssbl  47230  opnvonmbllem2  47238