Theorem breq1 4643

Description: Equality theorem for a binary relation. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Assertion

Ref	Expression
breq1	⊢ (A = B → (ARC ↔ BRC))

Proof of Theorem breq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4579	. . 3 ⊢ (A = B → ⟨A, C⟩ = ⟨B, C⟩)
2	1	eleq1d 2419	. 2 ⊢ (A = B → (⟨A, C⟩ ∈ R ↔ ⟨B, C⟩ ∈ R))
3		df-br 4641	. 2 ⊢ (ARC ↔ ⟨A, C⟩ ∈ R)
4		df-br 4641	. 2 ⊢ (BRC ↔ ⟨B, C⟩ ∈ R)
5	2, 3, 4	3bitr4g 279	1 ⊢ (A = B → (ARC ↔ BRC))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562   class class class wbr 4640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-br 4641

This theorem is referenced by:  breq12  4645  breq1i  4647  breq1d  4650  nbrne2  4658  brab1  4685  vtoclr  4817  brco  4884  brcnv  4893  dfdmf  4906  elimapw1  4945  dfrnf  4963  dfres2  5003  imasn  5019  coi1  5095  dffun6f  5124  funmo  5126  fun11  5160  fneu  5188  fveq2  5329  nfunsn  5354  dmfco  5382  dff13  5472  isorel  5490  isocnv  5492  isotr  5496  isomin  5497  isoini  5498  f1oiso  5500  f1oiso2  5501  funsi  5521  caovord  5630  caovord3  5632  brsnsi  5774  brsnsi1  5776  brco1st  5778  brco2nd  5779  trtxp  5782  elfix  5788  op1st2nd  5791  brimage  5794  txpcofun  5804  otsnelsi3  5806  addcfnex  5825  qrpprod  5837  brpprod  5840  dmpprod  5841  fnpprod  5844  clos1ex  5877  clos1conn  5880  clos1basesuc  5883  trd  5922  symd  5925  antid  5930  connexd  5932  weds  5939  en0  6043  fndmeng  6047  endisj  6052  xpassenlem  6057  xpassen  6058  enpw1  6063  enmap2  6069  enpw1pw  6076  nenpw1pwlem2  6086  enpw  6088  lecex  6116  ovmuc  6131  mucnc  6132  mucex  6134  ncdisjun  6137  ceexlem1  6174  ceex  6175  elce  6176  ltlenlec  6208  leltctr  6213  leconnnc  6219  lenc  6224  ce2le  6234  ce0lenc1  6240  tcfnex  6245  nclenn  6250  csucex  6260  addccan2nclem1  6264  ncslesuc  6268  nmembers1lem1  6269  nmembers1lem3  6271  nncdiv3lem1  6276  nncdiv3lem2  6277  nnc3n3p1  6279  spacvallem1  6282  nchoicelem11  6300  nchoicelem16  6305  nchoicelem19  6308  fnfreclem3  6320  fnfrec  6321  frecsuc  6323