Theorem opabn0 4717

Description: Nonempty ordered pair class abstraction. (Contributed by NM, 10-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opabn0	⊢ ({⟨x, y⟩ ∣ φ} ≠ ∅ ↔ ∃x∃yφ)

Proof of Theorem opabn0

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3560	. 2 ⊢ ({⟨x, y⟩ ∣ φ} ≠ ∅ ↔ ∃z z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ φ})
2		elopab 4697	. . 3 ⊢ (z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
3	2	exbii 1582	. 2 ⊢ (∃z z ∈ {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ ∃z∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
4		exrot3 1744	. . 3 ⊢ (∃z∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ ∃x∃y∃z(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
5		vex 2863	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
6		vex 2863	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
7	5, 6	opex 4589	. . . . . 6 ⊢ ⟨x, y⟩ ∈ V
8	7	isseti 2866	. . . . 5 ⊢ ∃z z = ⟨x, y⟩
9		19.41v 1901	. . . . 5 ⊢ (∃z(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ (∃z z = ⟨x, y⟩ ∧ φ))
10	8, 9	mpbiran 884	. . . 4 ⊢ (∃z(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ φ)
11	10	2exbii 1583	. . 3 ⊢ (∃x∃y∃z(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ ∃x∃yφ)
12	4, 11	bitri 240	. 2 ⊢ (∃z∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ φ) ↔ ∃x∃yφ)
13	1, 3, 12	3bitri 262	1 ⊢ ({⟨x, y⟩ ∣ φ} ≠ ∅ ↔ ∃x∃yφ)

Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∅c0 3551  ⟨cop 4562  {copab 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-opab 4624

This theorem is referenced by: (None)