Theorem 2exp340mod341 43947

Description: Eight to the eighth power modulo nine is one. (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2exp340mod341	⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1

Proof of Theorem 2exp340mod341

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		4nn0 11917	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
4		1nn 11649	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12119	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℕ
6		2nn 11711	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
7		1nn0 11914	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		7nn0 11920	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
10		0nn0 11913	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11	9, 10	deccl 12114	. . 3 ⊢ ;;170 ∈ ℕ0
12		0z 11993	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
13		8nn0 11921	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
14		5nn0 11918	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
15	13, 14	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;85 ∈ ℕ0
16		3z 12016	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
17		2nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
18	1, 17	deccl 12114	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
19	13, 2	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
20		6nn0 11919	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12114	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
22	2, 17	deccl 12114	. . . . . 6 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
23	17, 7	deccl 12114	. . . . . . 7 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
24	17, 10	deccl 12114	. . . . . . . 8 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
25	7, 10	deccl 12114	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
26		2exp5 43804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑5) = ;32
27	26	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑5) mod ;;341) = (;32 mod ;;341)
28		5cn 11726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℂ
29		2cn 11713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		5t2e10 12199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · 2) = ;10
31	28, 29, 30	mulcomli 10650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 5) = ;10
32	25, 17	deccl 12114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;102 ∈ ℕ0
33		3p1e4 11783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 + 1) = 4
34		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;1023 = ;;;1023
35	32, 1, 33, 34	decsuc 12130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;;1023 + 1) = ;;;1024
36	1, 3, 7	decmulnc 12166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · ;;341) = ;(3 · ;34)(3 · 1)
37		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;34 = ;34
38		3t3e9 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · 3) = 9
39	38	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 · 3) + 1) = (9 + 1)
40		9p1e10 12101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 + 1) = ;10
41	39, 40	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 · 3) + 1) = ;10
42		4cn 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℂ
43		3cn 11719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		4t3e12 12197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 · 3) = ;12
45	42, 43, 44	mulcomli 10650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 4) = ;12
46	1, 1, 2, 37, 17, 7, 41, 45	decmul2c 12165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · ;34) = ;;102
47	43	mulid1i 10645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
48	46, 47	deceq12i 12108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;(3 · ;34)(3 · 1) = ;;;1023
49	36, 48	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · ;;341) = ;;;1023
50	49	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · ;;341) + 1) = (;;;1023 + 1)
51		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;32 = ;32
52	1, 1, 17	decmulnc 12166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · ;32) = ;(3 · 3)(3 · 2)
53	52	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · ;32) + 6) = (;(3 · 3)(3 · 2) + 6)
54		9nn0 11922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55		3t2e6 11804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 2) = 6
56	38, 55	deceq12i 12108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;(3 · 3)(3 · 2) = ;96
57		6p6e12 12173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 6) = ;12
58	54, 20, 20, 56, 40, 17, 57	decaddci 12160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;(3 · 3)(3 · 2) + 6) = ;;102
59	53, 58	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · ;32) + 6) = ;;102
60	17, 1, 17	decmulnc 12166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · ;32) = ;(2 · 3)(2 · 2)
61	43, 29, 55	mulcomli 10650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 3) = 6
62		2t2e4 11802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 2) = 4
63	61, 62	deceq12i 12108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;(2 · 3)(2 · 2) = ;64
64	60, 63	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ;32) = ;64
65	18, 1, 17, 51, 2, 20, 59, 64	decmul1c 12164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;32 · ;32) = ;;;1024
66	35, 50, 65	3eqtr4i 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · ;;341) + 1) = (;32 · ;32)
67	5, 6, 14, 16, 18, 7, 27, 31, 66	mod2xi 16405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑;10) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
68	17, 7, 10	decmulnc 12166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · ;10) = ;(2 · 1)(2 · 0)
69	29	mulid1i 10645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 1) = 2
70		2t0e0 11807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 0) = 0
71	69, 70	deceq12i 12108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;(2 · 1)(2 · 0) = ;20
72	68, 71	eqtri 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ;10) = ;20
73		0p1e1 11760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
74	5	nncni 11648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;341 ∈ ℂ
75	74	mul02i 10829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 · ;;341) = 0
76	75	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · ;;341) + 1) = (0 + 1)
77		1t1e1 11800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · 1) = 1
78	73, 76, 77	3eqtr4i 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · ;;341) + 1) = (1 · 1)
79	5, 6, 25, 12, 7, 7, 67, 72, 78	mod2xi 16405	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑;20) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
80		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ ;20 = ;20
81	17, 10, 73, 80	decsuc 12130	. . . . . . . 8 ⊢ (;20 + 1) = ;21
82	29	addid2i 10828	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 2) = 2
83	75	oveq1i 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 · ;;341) + 2) = (0 + 2)
84	29	mulid2i 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
85	82, 83, 84	3eqtr4i 2854	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · ;;341) + 2) = (1 · 2)
86	5, 6, 24, 12, 7, 17, 79, 81, 85	modxp1i 16406	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑;21) mod ;;341) = (2 mod ;;341)
87	17, 17, 7	decmulnc 12166	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · ;21) = ;(2 · 2)(2 · 1)
88	62, 69	deceq12i 12108	. . . . . . . 8 ⊢ ;(2 · 2)(2 · 1) = ;42
89	87, 88	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;21) = ;42
90	42	addid2i 10828	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 4) = 4
91	75	oveq1i 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 · ;;341) + 4) = (0 + 4)
92	90, 91, 62	3eqtr4i 2854	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;;341) + 4) = (2 · 2)
93	5, 6, 23, 12, 17, 2, 86, 89, 92	mod2xi 16405	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;42) mod ;;341) = (4 mod ;;341)
94	17, 2, 17	decmulnc 12166	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;42) = ;(2 · 4)(2 · 2)
95		4t2e8 11806	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
96	42, 29, 95	mulcomli 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
97	96, 62	deceq12i 12108	. . . . . . 7 ⊢ ;(2 · 4)(2 · 2) = ;84
98	94, 97	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
99	21	nn0cni 11910	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℂ
100	99	addid2i 10828	. . . . . . 7 ⊢ (0 + ;16) = ;16
101	75	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · ;;341) + ;16) = (0 + ;16)
102		4t4e16 12198	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 4) = ;16
103	100, 101, 102	3eqtr4i 2854	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;;341) + ;16) = (4 · 4)
104	5, 6, 22, 12, 2, 21, 93, 98, 103	mod2xi 16405	. . . . 5 ⊢ ((2↑;84) mod ;;341) = (;16 mod ;;341)
105		4p1e5 11784	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
106		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;84 = ;84
107	13, 2, 105, 106	decsuc 12130	. . . . 5 ⊢ (;84 + 1) = ;85
108	18	nn0cni 11910	. . . . . . 7 ⊢ ;32 ∈ ℂ
109	108	addid2i 10828	. . . . . 6 ⊢ (0 + ;32) = ;32
110	75	oveq1i 7166	. . . . . 6 ⊢ ((0 · ;;341) + ;32) = (0 + ;32)
111		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ;16 = ;16
112	84	oveq1i 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
113		2p1e3 11780	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
114	112, 113	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 2) + 1) = 3
115		6t2e12 12203	. . . . . . 7 ⊢ (6 · 2) = ;12
116	17, 7, 20, 111, 17, 7, 114, 115	decmul1c 12164	. . . . . 6 ⊢ (;16 · 2) = ;32
117	109, 110, 116	3eqtr4i 2854	. . . . 5 ⊢ ((0 · ;;341) + ;32) = (;16 · 2)
118	5, 6, 19, 12, 21, 18, 104, 107, 117	modxp1i 16406	. . . 4 ⊢ ((2↑;85) mod ;;341) = (;32 mod ;;341)
119		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;85 = ;85
120		6p1e7 11786	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
121		8cn 11735	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
122		8t2e16 12214	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 2) = ;16
123	121, 29, 122	mulcomli 10650	. . . . . 6 ⊢ (2 · 8) = ;16
124	7, 20, 120, 123	decsuc 12130	. . . . 5 ⊢ ((2 · 8) + 1) = ;17
125	17, 13, 14, 119, 10, 7, 124, 31	decmul2c 12165	. . . 4 ⊢ (2 · ;85) = ;;170
126	5, 6, 15, 16, 18, 7, 118, 125, 66	mod2xi 16405	. . 3 ⊢ ((2↑;;170) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
127	17, 9, 10	decmulnc 12166	. . . 4 ⊢ (2 · ;;170) = ;(2 · ;17)(2 · 0)
128		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
129	69	oveq1i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
130	129, 113	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
131		7cn 11732	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
132		7t2e14 12208	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 2) = ;14
133	131, 29, 132	mulcomli 10650	. . . . . 6 ⊢ (2 · 7) = ;14
134	17, 7, 8, 128, 2, 7, 130, 133	decmul2c 12165	. . . . 5 ⊢ (2 · ;17) = ;34
135	134, 70	deceq12i 12108	. . . 4 ⊢ ;(2 · ;17)(2 · 0) = ;;340
136	127, 135	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (2 · ;;170) = ;;340
137	5, 6, 11, 12, 7, 7, 126, 136, 78	mod2xi 16405	. 2 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = (1 mod ;;341)
138		1re 10641	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
139		nnrp 12401	. . . 4 ⊢ (;;341 ∈ ℕ → ;;341 ∈ ℝ+)
140	5, 139	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ;;341 ∈ ℝ+
141		0le1 11163	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
142		4nn 11721	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
143	1, 142	decnncl 12119	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ
144		9re 11737	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
145		1lt9 11844	. . . . 5 ⊢ 1 < 9
146	138, 144, 145	ltleii 10763	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 9
147	143, 7, 7, 146	decltdi 12138	. . 3 ⊢ 1 < ;;341
148		modid 13265	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ ;;341 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;;341)) → (1 mod ;;341) = 1)
149	138, 140, 141, 147, 148	mp4an 691	. 2 ⊢ (1 mod ;;341) = 1
150	137, 149	eqtri 2844	1 ⊢ ((2↑;;340) mod ;;341) = 1

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  6c6 11697  7c7 11698  8c8 11699  9c9 11700  ;cdc 12099  ℝ⁺crp 12390   mod cmo 13238  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  341fppr2  43948